Podemos realizar cualquier operación matemática con números imaginarios y complejos. Similar a como podemos sumar, restar, multiplicar y dividir a estos números, también podemos elevarlos a potencias.
A continuación, aprenderemos cuál es el resultado de elevar a la unidad imaginaria a varias potencias. Además, aprenderemos una fórmula que nos permitirá elevar a cualquier número complejo a diferentes potencias.
Potencias de números imaginarios
Al elevar a los números imaginarios a potencias incrementales, obtenemos lo siguiente:
$latex {{i}^0}=1$
$latex {{i}^1}=i$
$latex {{i}^2}=-1$
$latex {{i}^3}=-i$
$latex {{i}^4}=1$
Podemos observar que las potencias pares resultan en números reales y las potencias impares resultan en números imaginarios. Existe un patrón de $latex 1, i, -1, -i$ que se repite cuando tomamos las potencias de i, empezando desde $latex {{i}^0}$.
Si es que queremos simplificar potencias grandes de i, podemos descomponer las potencias para formar partes más pequeñas. Recordando que $latex {{i}^4}=1$, podemos factorizar a $latex {{i}^4}$ que es igual a 1.
Podemos hacer esto repetidamente hasta que tengamos potencias de i pequeñas iguales o menores a 3.
Potencias de números complejos
Para resolver problemas de potencias de números complejos fácilmente, tenemos que usar la forma exponencial de un número complejo. Recuerda que la forma exponencial de un número complejo es $latex z=r e^{i \theta}$, en donde r representa a la distancia desde el origen hasta el número complejo y $latex \theta$ representa al ángulo del número complejo.
Si es que tenemos un número complejo $latex z=a+bi$, podemos encontrar su radio con la fórmula:
$latex r=\sqrt{{{a}^2}+{{b}^2}}$
Y encontramos su ángulo con la fórmula:
$latex \tan(\theta)=\frac{b}{a}$
Luego, aplicamos cualquier potencia n al número complejo en su forma polar:
$latex {{z}^n}={{r}^n}{{i}^{in\theta}}$
La expresión puede simplificada y escrita en la forma $latex a+bi$ al usar la fórmula de Euler:
$latex {{e}^{i\theta}}=\cos(\theta)+i~\sin(\theta)$
Ejercicios de potencias de números complejos resueltos
Practica lo aprendido sobre potencias de números imaginarios y complejos con los siguientes ejercicios. Cada ejercicio tiene su respectiva respuesta, pero es recomendable que intentes resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.
EJERCICIO 1
Simplifica la expresión $latex {{i}^{58}}$.
Solución
Podemos simplificar esto al recordar que $latex {{i}^4}=1$. Entonces, obtenemos factores que tengan exponentes divisibles por 4 y simplificamos:
$latex {{i}^{58}}={{i}^{56}}\times {{i}^2}$
$latex ={{({{i}^{4}})}^{14}}\times {{i}^2}$
$latex ={{1}^{14}}\times {{i}^2}$
$latex ={{i}^2}$
$latex {{i}^{58}}=-1$
EJERCICIO 2
Simplifica la expresión $latex {{i}^{91}}$.
Solución
Para simplificar usamos el hecho que $latex {{i}^4}=1$. Podemos extraer el factor $latex {{i}^3}$ para obtener un factor divisible por 4:
$latex {{i}^{91}}={{i}^{88}}\times {{i}^3}$
$latex ={{({{i}^{4}})}^{22}}\times {{i}^3}$
$latex ={{1}^{22}}\times {{i}^3}$
$latex ={{i}^3}$
$latex {{i}^{91}}=-i$
EJERCICIO 3
Calcula el resultado de $latex {{(2-3i)}^3}$.
Solución
Dado que esta es una potencia pequeña, podemos resolver esto al multiplicar al número complejo por sí mismo tres veces. Entonces, tenemos:
$latex {{(2-3i)}^3}=(2-3i)(2-3i)(2-3i)$
$latex =(4-6i-6i+9{{i}^2})(2-3i)$
$latex =(4-12i-9)(2-3i)$
$latex =(-5-12i)(2-3i)$
$latex =-10+15i-24i+36{{i}^2}$
$latex =-10-9i-36$
$latex =-46-9i$
EJERCICIO 4
¿A qué es igual $latex {{(4+4i)}^5}$?
Solución
Tenemos que empezar escribiendo a este número en su forma exponencial. Entonces, empezamos encontrando su radio:
$latex r= \sqrt{{{4}^2}+{{4}^2}}$
$latex = \sqrt{16+16}$
$latex = \sqrt{32}$
$latex =4\sqrt{2}$
Ahora, encontramos el ángulo:
$latex \tan(\theta)=\frac{3}{3}$
$latex \theta=\tan^{-1}(1)$
$latex \theta=\frac{\pi}{4}$
Entonces, el número en forma exponencial es $latex z=4\sqrt{2}{{e}^{i\frac{\pi}{4}}}$. Por lo tanto, al elevar a la potencia, tenemos:
$latex {{(4+4i)}^5}={{(4\sqrt{2})}^5}{{e}^{i\frac{5\pi}{4}}}$
Podemos usar la fórmula de Euler para simplificar la expresión obtenida:
$latex =4096\sqrt{2}(\cos(\frac{5\pi}{4})+i~\sin(\frac{5\pi}{4})$
$latex =4096\sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)$
$latex =-4096-4096i$
EJERCICIO 5
Resuelve la expresión $latex {{(1- \sqrt{3}i)}^6}$.
Solución
Reescribimos al número complejo en su forma exponencial, por lo que empezamos con su radio:
$latex r= \sqrt{{{1}^2}+{{(-\sqrt{3})}^2}}$
$latex = \sqrt{1+3}$
$latex = \sqrt{4}$
$latex =2$
Ahora, encontramos el ángulo:
$latex \tan(\theta)=\frac{\sqrt{3}}{1}$
$latex \theta=\tan^{-1}(\sqrt{3})$
$latex \theta=\frac{\pi}{3}$
Entonces, el número en forma exponencial es $latex z=2{{e}^{i\frac{\pi}{3}}}$. Por lo tanto, al elevar a la potencia, tenemos:
$latex {{(1+\sqrt{3}i)}^6}={{2}^6}{{e}^{i\frac{6\pi}{3}}}$
Podemos usar la fórmula de Euler para simplificar la expresión obtenida:
$latex =64(\cos(2\pi)+i~\sin(2\pi)$
$latex =64(1+0i)$
$latex =64$
EJERCICIO 6
Resuelve la expresión $latex {{( \sqrt{3}-i)}^6}$.
Solución
Encontramos el radio del número complejo para escribirlo en su forma exponencial:
$latex r= \sqrt{{{(\sqrt{3})}^2}+{{(-1)}^2}}$
$latex = \sqrt{3+1}$
$latex = \sqrt{4}$
$latex =2$
Ahora, encontramos el ángulo:
$latex \tan(\theta)=\frac{-1}{\sqrt{3}}$
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{-1}{\sqrt{3}})$
$latex \theta=-\frac{\pi}{6}$
Entonces, el número en forma exponencial es $latex z=2{{e}^{i\frac{-\pi}{6}}}$. Por lo tanto, al elevar a la potencia, tenemos:
$latex {{(\sqrt{3}-i)}^6}={{2}^6}{{e}^{-i\frac{6\pi}{6}}}$
Podemos usar la fórmula de Euler para simplificar la expresión obtenida:
$latex =64(\cos(-\pi)+i~\sin(-\pi)$
$latex =64(-1+0i)$
$latex =-64$
Ejercicios de potencias de números complejos para resolver
Pon a prueba tu conocimiento sobre potencias de números complejos para resolver los siguientes ejercicios. Selecciona una respuesta y haz clic en “Verificar” para comprobar que seleccionaste la correcta.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre operaciones con números complejos? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
