Podemos realizar cualquier operación matemática con números imaginarios y complejos. Similar a como podemos sumar, restar, multiplicar y dividir a estos números, también podemos elevarlos a potencias.

A continuación, aprenderemos cuál es el resultado de elevar a la unidad imaginaria a varias potencias. Además, aprenderemos una fórmula que nos permitirá elevar a cualquier número complejo a diferentes potencias.

ÁLGEBRA
potencias de números imaginarios y números complejos

Relevante para

Conocer las potencias de números imaginarios y complejos.

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potencias de números imaginarios y números complejos

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Potencias de números imaginarios

Al elevar a los números imaginarios a potencias incrementales, obtenemos lo siguiente:

{{i}^0}=1

{{i}^1}=i

{{i}^2}=-1

{{i}^3}=-i

{{i}^4}=1

Podemos observar que las potencias pares resultan en números reales y las potencias impares resultan en números imaginarios. Existe un patrón de 1, i, -1, -i que se repite cuando tomamos las potencias de i, empezando desde {{i}^0}.

Si es que queremos simplificar potencias grandes de i, podemos descomponer las potencias para formar partes más pequeñas. Recordando que {{i}^4}=1, podemos factorizar a {{i}^4} que es igual a 1.

Podemos hacer esto repetidamente hasta que tengamos potencias de i pequeñas iguales o menores a 3.


Potencias de números complejos

Para resolver problemas de potencias de números complejos fácilmente, tenemos que usar la forma exponencial de un número complejo. Recuerda que la forma exponencial de un número complejo es z=r{{e}^{i \theta}, en donde r representa a la distancia desde el origen hasta el número complejo y  \theta representa al ángulo del número complejo.

Si es que tenemos un número complejo z=a+bi, podemos encontrar su radio con la fórmula:

r=\sqrt{{{a}^2}+{{b}^2}}

Y encontramos su ángulo con la fórmula:

 \tan(\theta)=\frac{b}{a}

Luego, aplicamos cualquier potencia n al número complejo en su forma polar:

{{z}^n}={{r}^n}{{i}^{in\theta}}

La expresión puede simplificada y escrita en la forma a+bi al usar la fórmula de Euler:

{{e}^{i\theta}}=\cos(\theta)+i~\sin(\theta)


Ejercicios de potencias de números complejos resueltos

Practica lo aprendido sobre potencias de números imaginarios y complejos con los siguientes ejercicios. Cada ejercicio tiene su respectiva respuesta, pero es recomendable que intentes resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.

EJERCICIO 1

Simplifica la expresión {{i}^{58}}.

Podemos simplificar esto al recordar que {{i}^4}=1. Entonces, obtenemos factores que tengan exponentes divisibles por 4 y simplificamos:

{{i}^{58}}={{i}^{56}}\times {{i}^2}

={{({{i}^{4}})}^{14}}\times {{i}^2}

={{1}^{14}}\times {{i}^2}

={{i}^2}

 {{i}^{58}}=-1

EJERCICIO 2

Simplifica la expresión {{i}^{91}}.

Para simplificar usamos el hecho que {{i}^4}=1. Podemos extraer el factor {{i}^3} para obtener un factor divisible por 4:

{{i}^{91}}={{i}^{88}}\times {{i}^3}

={{({{i}^{4}})}^{22}}\times {{i}^3}

={{1}^{22}}\times {{i}^3}

={{i}^3}

 {{i}^{91}}=-i

EJERCICIO 3

Calcula el resultado de {{(2-3i)}^3}.

Dado que esta es una potencia pequeña, podemos resolver esto al multiplicar al número complejo por sí mismo tres veces. Entonces, tenemos:

{{(2-3i)}^3}=(2-3i)(2-3i)(2-3i)

=(4-6i-6i+9{{i}^2})(2-3i)

=(4-12i-9)(2-3i)

=(-5-12i)(2-3i)

=-10+15i-24i+36{{i}^2}

=-10-9i-36

=-46-9i

EJERCICIO 4

¿A qué es igual {{(4+4i)}^5}?

Tenemos que empezar escribiendo a este número en su forma exponencial. Entonces, empezamos encontrando su radio:

r= \sqrt{{{4}^2}+{{4}^2}}

= \sqrt{16+16}

 = \sqrt{32}

=4\sqrt{2}

Ahora, encontramos el ángulo:

 \tan(\theta)=\frac{3}{3}

 \theta={{\tan}^{-1}(1)

 \theta=\frac{\pi}{4}

Entonces, el número en forma exponencial es z=4\sqrt{2}{{e}^{i\frac{\pi}{4}}}. Por lo tanto, al elevar a la potencia, tenemos:

{{(4+4i)}^5}={{(4\sqrt{2})}^5}{{e}^{i\frac{5\pi}{4}}}

Podemos usar la fórmula de Euler para simplificar la expresión obtenida:

=4096\sqrt{2}(\cos(\frac{5\pi}{4})+i~\sin(\frac{5\pi}{4})

=4096\sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)

=-4096-4096i

EJERCICIO 5

Resuelve la expresión {{(1- \sqrt{3}i)}^6}.

Reescribimos al número complejo en su forma exponencial, por lo que empezamos con su radio:

r= \sqrt{{{1}^2}+{{(-\sqrt{3})}^2}}

= \sqrt{1+3}

 = \sqrt{4}

=2

Ahora, encontramos el ángulo:

 \tan(\theta)=\frac{\sqrt{3}}{1}

 \theta={{\tan}^{-1}(\sqrt{3})

 \theta=\frac{\pi}{3}

Entonces, el número en forma exponencial es z=2{{e}^{i\frac{\pi}{3}}}. Por lo tanto, al elevar a la potencia, tenemos:

{{(1+\sqrt{3}i)}^6}={{2}^6}{{e}^{i\frac{6\pi}{3}}}

Podemos usar la fórmula de Euler para simplificar la expresión obtenida:

=64(\cos(2\pi)+i~\sin(2\pi)

=64(1+0i)

=64

EJERCICIO 6

Resuelve la expresión {{( \sqrt{3}-i)}^6}.

Encontramos el radio del número complejo para escribirlo en su forma exponencial:

r= \sqrt{{{(\sqrt{3})}^2}+{{(-1)}^2}}

= \sqrt{3+1}

 = \sqrt{4}

=2

Ahora, encontramos el ángulo:

 \tan(\theta)=\frac{-1}{\sqrt{3}}

 \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{-1}{\sqrt{3}})

 \theta=-\frac{\pi}{6}

Entonces, el número en forma exponencial es z=2{{e}^{i\frac{-\pi}{6}}}. Por lo tanto, al elevar a la potencia, tenemos:

{{(\sqrt{3}-i)}^6}={{2}^6}{{e}^{-i\frac{6\pi}{6}}}

Podemos usar la fórmula de Euler para simplificar la expresión obtenida:

=64(\cos(-\pi)+i~\sin(-\pi)

=64(-1+0i)

=-64

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Ejercicios de potencias de números complejos para resolver

Pon a prueba tu conocimiento sobre potencias de números complejos para resolver los siguientes ejercicios. Selecciona una respuesta y haz clic en “Verificar” para comprobar que seleccionaste la correcta.

Simplifica la expresión {{i}^{33}}.

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Simplifica la expresión {{i}^{62}}.

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¿A qué es igual {{(3+3i)}^5}?

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¿A qué es igual {{(1-i)}^8}?

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Resuelve la expresión {{(2+2i)}^9}.

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Véase también

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