La división de números complejos es resuelta multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del número complejo en el denominador. Esto logrará que obtengamos un número real en el denominador y obtengamos el resultado a la división.
A continuación, aprenderemos a dividir números complejos usando su conjugado. También, veremos varios ejercicios resueltos para mirar la aplicación de este proceso.
¿Cómo dividir números complejos?
Para dividir números complejos, tenemos que empezar escribiendo al problema en forma fraccionaria. Luego, debemos multiplicar tanto al numerador como al denominador por el conjugado del denominador.
Recuerda que para encontrar el conjugado del denominador, simplemente tenemos que cambiar de signo al componente imaginario. Entonces, el conjugado de $latex a+bi$ es $latex a-bi$.
Por lo tanto, si queremos dividir al número $latex a+bi$ por el número $latex c+bi$, formamos la siguiente expresión:
| $latex \frac{a+bi}{c+di}=\frac{a+bi}{c+di}\times \frac{c-di}{c-di}$ |
Resolvemos esta expresión al distribuir la multiplicación tanto en el numerador como en el denominador. Luego, simplificamos las potencias de i, específicamente, recordamos que $latex {{i}^2}$ es igual a $latex -1$.
Luego, combinamos términos semejantes para simplificar la expresión obtenida y finalmente, escribimos a la respuesta en la forma $latex a+bi$.
Ejercicios de división de números complejos resueltos
Los siguientes ejercicios usan el proceso detallado arriba para resolver las divisiones de números complejos. Cada ejercicio tiene su respectiva solución, pero es recomendable que intentes resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.
EJERCICIO 1
Divide los números complejos $latex (2+4i) \div (1+2i)$.
Solución
Tenemos que empezar escribiendo al problema original en forma fraccionaria:
⇒ $latex \frac{2+4i}{1+2i}$
Ahora, multiplicamos tanto al numerador como al denominador por el conjugado del denominador. En este caso, el conjugado del denominador es $latex 1-2i$. Entonces, tenemos:
$latex \frac{2+4i}{1+2i}=\frac{2+4i}{1+2i}\times \frac{1-2i}{1-2i}$
Expandimos la multiplicación del numerador y del denominador y simplificamos al combinar términos semejantes:
$latex = \frac{2-4i+4i-8{{i}^2}}{1-2i+2i-2{{i}^2}}$
$latex = \frac{2-8{{i}^2}}{1-2{{i}^2}}$
Recordamos que $latex {{i}^2}$ es igual a $latex -1$:
$latex = \frac{2-8(-1)}{1-2(-1)}$
$latex = \frac{10}{3}$
EJERCICIO 2
Divide los números complejos $latex (5+10i) \div (4+3i)$.
Solución
Reescribimos a los números complejos en forma fraccionaria:
⇒ $latex \frac{5+10i}{4+3i}$
Aquí, el conjugado del denominador es $latex 4-3i$. Entonces, multiplicamos al numerador y al denominador por este conjugado:
$latex \frac{5+10i}{4+3i}=\frac{5+10i}{4+3i}\times \frac{4-3i}{4-3i}$
Resolvemos las multiplicaciones en el numerador y el denominador y simplificamos:
$latex = \frac{20-15i+40i-30{{i}^2}}{16-12i+12i-9{{i}^2}}$
$latex = \frac{20+25i-30{{i}^2}}{16-9{{i}^2}}$
Recordamos que $latex {{i}^2}$ es igual a $latex -1$:
$latex = \frac{20+25i-30(-1)}{16-9(-1)}$
$latex = \frac{50+25i}{25}$
Ya obtuvimos la respuesta, pero tenemos que escribirla en la forma $latex a+bi$. Entonces, tenemos:
$latex =\frac{50}{25}+\frac{25}{25}i$
$latex =2+i$
EJERCICIO 3
¿Cuál es el resultado de la división $latex (4-6i)\div (-2-4i)$?
Solución
Tenemos que escribir a la división en forma fraccionaria:
⇒ $latex \frac{4-6i}{-2-4i}$
El conjugado del denominador es $latex -2+4i$. Por lo que tenemos:
$latex \frac{4-6i}{-2-4i}=\frac{4-6i}{-2-4i}\times \frac{-2+4i}{-2+4i}$
Ahora, resolvemos las multiplicaciones en el numerador y el denominador y simplificamos:
$latex = \frac{-8+16i+12i-24{{i}^2}}{4-8i+8i-16{{i}^2}}$
$latex = \frac{-8+28i-24{{i}^2}}{4-16{{i}^2}}$
Recordamos que $latex {{i}^2}$ es igual a $latex -1$:
$latex = \frac{-8+28i-24(-1)}{4-16(-1)}$
$latex = \frac{16+28i}{20}$
Escribiendo en la forma $latex a+bi$, tenemos:
$latex =\frac{16}{20}+\frac{28i}{20}$
$latex =\frac{4}{5}+\frac{7i}{5}$
EJERCICIO 4
¿Cuál es el resultado de la división $latex (-4-4i) \div (-4+4i)$?
Solución
La división en forma fraccionaria es:
⇒ $latex \frac{-4-4i}{-4+4i}$
Si es que multiplicamos tanto al numerador como al denominador por el conjugado del denominador, que es $latex -4-4i$, tenemos:
$latex \frac{-4-4i}{-4+4i}=\frac{-4-4i}{-4+4i}\times \frac{-4-4i}{-4-4i}$
Expandimos la multiplicación del numerador y del denominador y simplificamos al combinar términos semejantes:
$latex = \frac{16+16i+16i+16{{i}^2}}{16+16i-16i-16{{i}^2}}$
$latex = \frac{16+32i+16{{i}^2}}{16-16{{i}^2}}$
Recordamos que $latex {{i}^2}$ es igual a $latex -1$:
$latex = \frac{16+32i+16(-1)}{16-16(-1)}$
$latex = \frac{32i}{32}$
$latex =i$
EJERCICIO 5
Resuelve la división $latex \frac{10-2i}{-4+5i}$.
Solución
En este caso, ya tenemos a la división escrita en forma fraccionaria, por lo que empezamos multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del denominador.
En este caso, el conjugado del denominador es $latex -4-5i$. Entonces, tenemos:
$latex \frac{10-2i}{-4+5i}=\frac{10-2i}{-4+5i}\times \frac{-4-5i}{-4-5i}$
Resolvemos las multiplicaciones en el numerador y el denominador:
$latex = \frac{-40-50i+8i+10{{i}^2}}{16+20i-20i-25{{i}^2}}$
$latex = \frac{-40-32i+10{{i}^2}}{16-25{{i}^2}}$
Recordamos que $latex {{i}^2}$ es igual a $latex -1$:
$latex = \frac{-40-32i+10(-1)}{16-25(-1)}$
$latex = \frac{-50-32i}{41}$
$latex =-\frac{50}{41}-\frac{32}{41}i$
EJERCICIO 6
Resuelve la división $latex \frac{-4}{1-i}$.
Solución
Aquí ya tenemos una división en forma fraccionaria, por lo que empezamos multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del denominador. En este caso, el conjugado del denominador es $latex 1+i$. Entonces, tenemos:
$latex \frac{-4}{1-i}=\frac{-4}{1-i}\times \frac{1+i}{1+i}$
Ahora, distribuimos a las multiplicaciones y simplificamos:
$latex = \frac{-4-4i}{1+i-i-{{i}^2}}$
$latex = \frac{-4-4i}{1-{{i}^2}}$
Recordamos que $latex {{i}^2}$ es igual a $latex -1$:
$latex = \frac{-4-4i}{1+1}$
$latex = \frac{-4-4i}{2}$
$latex =-\frac{4}{2}-\frac{4}{2}i$
$latex =-2-2i$
Ejercicios de división de números complejos para resolver
Practica lo aprendido sobre división de números complejos con los siguientes ejercicios. Si necesitas ayuda con estos ejercicios, puedes mirar los ejercicios resueltos de arriba.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre operaciones con números complejos? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
