La gráfica del coseno tiene la característica principal de que es periódica con un periodo de 2π. Esto significa que la función se extiende hacia ambos lados y tiene una forma uniforme. Por lo tanto, la función puede tener cualquier valor de x, lo que significa que el dominio es igual a todos los números reales.
Por otra parte, los valores de y van desde el -1 hasta el 1, por lo que el rango de la función es todos los números reales que están dentro del -1 y el 1. Usando la forma general del coseno, podemos cambiar diferentes parámetros, como amplitud, fase, periodo y podemos cambiar la forma de la gráfica.
TRIGONOMETRÍA
Relevante para…
Aprender sobre la gráfica de la función coseno con ejercicios.
TRIGONOMETRÍA
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Aprender sobre la gráfica de la función coseno con ejercicios.
Gráfica de la función coseno básica
Para graficar a la función coseno, marcamos al ángulo a lo largo del eje horizontal x y para cada ángulo, colocamos al coseno de ese ángulo en el eje vertical y. El resultado de esto es una curva que varía de +1 hasta -1. Las curvas que siguen esta figura son llamadas sinusoidales.
La función coseno es una función periódica. Esto significa que la función se repite a sí misma en intervalos regulares. En la función coseno básica, el periodo es 2π. La función coseno también presenta una simetría con respecto al eje y. Esto significa que la función coseno es una función par.
Dominio de la función coseno
Dado que la función es periódica con un periodo de 2π o 360°, podemos encontrar el coseno de cualquier ángulo sin importar qué tan grande sea. Por ejemplo, los resultados del coseno de los ángulos 2π, 4π y 6π son equivalentes. Por lo tanto, el dominio de la función coseno es igual a todos los números reales.
Rango de la función coseno
Observando a la gráfica de la función coseno básica, podemos observar que los valores de y van desde -1 hasta 1. La curva del coseno nunca se sale de estos valores. Esto significa que el rango de la función coseno es todos los números reales que se encuentran entre 1 y -1.
Gráficas de variaciones de la función coseno
La función coseno básica puede tener variaciones que hacen que su gráfica se vea diferente. La forma general de la función coseno es:
$latex y=A~\cos(Bx-C)+D$
Los diferentes parámetros en esta forma general permiten realizar cambios a la forma de la gráfica de la función. Cada parámetro afecta a diferentes aspectos de la gráfica.
Determinar la amplitud de la función coseno
La amplitud representa al estiramiento vertical o a la altura de la función. La amplitud es la distancia desde la línea media de la gráfica hasta el punto máximo o mínimo. La amplitud es medida como un valor absoluto. En el caso de la función coseno básica, la línea media es el eje x y la amplitud es 1.
En la forma general de la función coseno, podemos encontrar la amplitud usando |A|. Por ejemplo, la amplitud de $latex y=3\cos(x)$ es 3.
Determinar el periodo de la función coseno
El periodo representa al intervalo después del cual la función empieza a repetirse. El periodo de la función coseno básica es 2π.
En la forma general, usamos el parámetro B y la relación $latex P=\frac{2\pi}{|B|}$ para calcular el periodo de la función. Cuando el valor de B es mayor que 1, el periodo es menor que 2π y la función es comprimida horizontalmente. Cuando el valor de B es menor que 1, el periodo es mayor que 2π y la función es estirada horizontalmente.
Determinar la fase de la función coseno
La fase representa al desplazamiento horizontal de la función coseno. Por definición, la función coseno básica tiene una fase o desplazamiento horizontal de 0.
Para encontrar a la fase en la forma general, la reescribimos de la siguiente forma: $latex y=A~\cos(B(x-\frac{C}{B})+D$. En esta forma, la fase es igual al valor $latex \frac{C}{B}$. Si es que tenemos C>0, la gráfica del coseno es desplazada hacia la derecha y si es que C<0, la gráfica es desplazada hacia la izquierda.
Determinar la traslación vertical de la función coseno
El valor D en la forma general corresponde al desplazamiento vertical de la línea media de la gráfica. Un valor positivo de D representa un desplazamiento hacia arriba y un valor negativo de D representa un desplazamiento hacia abajo. La función $latex y=\cos(x)+D$ tiene a su línea media en $latex y=D$.
Ejercicios de gráficas de coseno resueltos
Los siguientes ejercicios pueden ser usados practicar lo aprendido sobre las gráficas de la función coseno. Cada ejercicio tiene su respectiva solución, pero intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.
EJERCICIO 1
¿Cuál es la gráfica de la función $latex y=2\cos(2x)+1$?
Solución
Para graficar a una función coseno que tiene diferentes parámetros, nos basamos en la gráfica de la función coseno básica y aplicamos las diferentes transformaciones dependiendo en los diferentes parámetros.
Observando a la ecuación dada, vemos que tenemos:
- Amplitud: $latex |A|=2$. La gráfica será el doble de alta.
- Periodo: $latex P=\frac{2\pi}{|B|}=\frac{2\pi}{2}=\pi$. La gráfica estará comprimida por un factor de 2 horizontalmente.
- Fase: $latex \frac{C}{B}=0$. No hay ninguna traslación horizontal.
- Traslación vertical: $latex D=1$. La línea media está ubicada en $latex y=1$.
Usando esto, la gráfica de esta función es:
EJERCICIO 2
¿Cuál es la gráfica de la función $latex y=3\cos(\frac{1}{3}x-1)-2$?
Solución
Graficamos a la función basándonos en la función coseno básica y aplicando las debidas transformaciones. Observando a la ecuación dada, vemos que tenemos:
- Amplitud: $latex |A|=3$. La gráfica será el triple de alta.
- Periodo: $latex P=\frac{2\pi}{|B|}=\frac{2\pi}{\frac{1}{3}}=6\pi$. La gráfica estará estirada por un factor de 3 horizontalmente.
- Fase: $latex \frac{C}{B}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$. La gráfica es trasladada 3 unidades hacia la derecha.
- Traslación vertical: $latex D=-2$. La línea media está ubicada en $latex y=-2$.
Usando esto, la gráfica de esta función es:
EJERCICIO 3
¿Cuál es la ecuación de la siguiente función coseno?
Solución
Observamos las siguientes características en la gráfica de la función:
- La gráfica es la mitad de alta de la gráfica original. Esto significa que $latex A=\frac{1}{2}$.
- El periodo de la gráfica es π, lo que significa que el parámetro B debe ser 2.
- No hay ninguna traslación horizontal, por lo que C debe ser 0.
- La línea media es $latex y=-1$, por lo que D es igual a -1.
Usando esto, concluimos que la ecuación de esta función es:
$latex y=\frac{1}{2}\cos(2x)-1$
EJERCICIO 4
¿Cuál es la ecuación de la siguiente función coseno?
Solución
Podemos extraer la siguiente información de la gráfica:
- La distancia desde la línea media hasta el punto más alto es 2. Esto significa que $latex A=2$.
- El periodo de la gráfica es 4π, por lo que tenemos $latex B=\frac{1}{2}$.
- No hay ninguna traslación horizontal, por lo que C debe ser 0.
- La línea media es $latex y=3$, por lo que D es igual a 3.
Usando esta información, podemos determinar que la ecuación de la función es:
$latex y=2\cos(\frac{1}{2}x)+3$
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
