Las funciones logarítmicas son las funciones inversas de las exponenciales, ya que revierten el efecto de estas funciones. Para resolver funciones logarítmicas, es necesario conocer las propiedades de los logaritmos ya que nos permiten reescribir a expresiones logarítmicas en formas más manejables.
A continuación, veremos un resumen de las funciones logarítmicas junto con sus propiedades más importantes. Además, veremos varios ejercicios resueltos para conocer cómo resolver funciones logarítmicas usando sus propiedades y su función inversa.
Resumen de funciones logarítmicas
Las funciones logarítmicas son las funciones inversas de las funciones exponenciales. Recordemos que una función exponencial tiene la forma general $latex f(x)={{b}^x}$, en donde, $latex b>0<x$ y $latex b\neq 1$. La cantidad b es la base y x es el exponente.
Por otra parte, dado que las funciones logarítmicas son definidas como la función inversa de la exponenciación, la función logarítmica es escrita como $latex \log_{b}(x)=y$, en donde b es la base, y es el exponente y x es el argumento.
Resolver funciones logarítmicas
Para resolver funciones logarítmicas, podemos hacer uso de las funciones exponenciales en la función dada. Por ejemplo, el logaritmo natural denotado ln es el inverso de e. Esto significa que podemos revertir el efecto de una función con la otra:
$latex \ln ({{e}^x})=x$
$latex {{e}^{\ln (x)}}=x$
También tenemos que conocer las propiedades de los logarítmos para resolver funciones logarítmicas:
Regla del producto: La regla del producto de logaritmos indica que el logaritmo del producto de dos números con base común es igual a la suma de los logaritmos individuales:
$latex \log_{b}(pq)=\log_{b}(p)+\log_{b}(q)$
Regla del cociente: La regla del cociente de logaritmos indica que el logaritmo de la razón de dos números con la misma base es igual a la diferencia de los logaritmos:
$latex \log_{b}(p/q)=\log_{b}(p)-\log_{b}(q)$
Regla de la potencia: La regla de la potencia de logaritmos indica que el logaritmo de un número con un exponente racional es igual al producto del exponente y su logaritmo:
$latex \log_{b}({{p}^q})=q\log_{b}(p)$
Regla del exponente cero:
$latex \log_{b}(1)=0$
Regla de cambio de bases:
$latex \log_{a}(p)=\frac{\log_{x}(p)}{\log_{x}(a)}$
Ejercicios de funciones logarítmicas resueltos
Con los siguientes ejercicios, puedes practicar lo aprendido sobre funciones logarítmicas. Cada ejercicio tiene la respectiva solución para conocer el razonamiento usado. Es recomendable intentar resolver el problema primero antes de mirar la solución.
EJERCICIO 1
Reescribe a la función exponencial $latex {{8}^2}=64$ a su función logarítmica equivalente.
Solución
En la función exponencial $latex {{8}^2}=64$, la base es 8, el exponente es 2 y el argumento es 64. Entonces, $latex {{8}^2}=64$ en función logarítmica es:
$latex \log_{8}(64)=2$
EJERCICIO 2
Escribe el logaritmo equivalente de $latex {{6}^3}=216$.
Solución
En este caso, la base es igual a 6, el exponente es 3 y el argumento es 216. Entonces, la función logarítmica equivalente es:
$latex \log_{6}(216)=3$
EJERCICIO 3
Resuelve la expresión logarítmica para x: $latex \log_{5}(x)=2$.
Solución
Muchas de las ecuaciones logarítmicas son resueltas más facilmente al reescribirlas como ecuaciones exponenciales.
Entonces, podemos reescribir a la función logarítmica de la siguiente manera:
$latex \log_{5}(x)=2$
⇒ $latex {{5}^2}=x$
⇒ $latex x=25$
Si es que $latex 2\log (x)=4 \log (3)$, encuentra el valor de x.
Solución
Podemos empezar dividiendo toda la expresión para 2 para simplificar:
$latex \frac{2\log (x)}{2}=\frac{4 \log (3)}{2}$
$latex \log (x)=2\log (3)$
Ahora, podemos usar la regla de la potencia de logaritmos para reescribir a la expresión de la derecha:
$latex \log (x)=\log ({{3}^2})$
$latex \log (x)=\log (9)$
$latex x=9$
EJERCICIO 5
Resuelve para x en la siguiente función logarítmica: $latex \log_{2}(x-1)=5$.
Solución
Para facilitar la resolución, reescribimos al logaritmo en forma exponencial:
$latex \log_{2}(x-1)=5$
⇒ $latex x-1={{2}^5}$
Ahora, tenemos una ecuación algebraica y fácilmente podemos resolver para x:
$latex x-1=32$
$latex x=32+1$
$latex x=33$
EJERCICIO 6
Resuelve la función logarítmica $latex \log(x)=\log(2)+\log(5)$.
Solución
Aquí, tenemos que usar la regla del producto para combinar los logaritmos de la parte derecha de la expresión:
$latex \log(x)=\log(2)+\log(5)$
$latex \log(x)=\log(2\times 5)$
$latex \log(x)=\log(10)$
$latex x=10$
EJERCICIO 7
Resuelve la función logarítmica $latex \log_{x}(4x-3)=2$.
Solución
Tenemos que escribir al logaritmo en forma exponencial para facilitar la resolución del problema:
$latex \log_{x}(4x-3)=2$
⇒ $latex {{x}^2}=4x-3$
Ahora, tenemos una ecuación cuadrática, la cual podemos resolver usando factorización:
$latex {{x}^2}=4x-3$
$latex {{x}^2}-4x+3=0$
$latex (x-1)(x-3)=0$
$latex x=1$ o $latex x=3$
La base de un logaritmo nunca puede ser igual a 1, por lo que la solución a la función logarítmica es $latex x=3$.
Ejercicios de funciones logarítmicas para resolver
Practica y pon a prueba tu conocimiento sobre las funciones logarítmicas con estos ejercicios. Simplemente, escoge una respuesta y verifícala al hacer clic en “Verificar”.
Puedes mirar los ejercicios resueltos de arriba cuidadosamente si es que tienes problemas para resolver estos ejercicios.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre funciones logarítmicas? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
