Existen varias aplicaciones de las funciones logarítmicas en la vida cotidiana. Las funciones logarítmicas nos permiten modelar ciertas situaciones de la vida real. Por ejemplo, podemos usar escalas logarítmicas para medir las intensidades de terremotos (escala de Ritcher) y para crear la escala de decibelios del sonido y la escala del pH.

También podemos obtener modelos para la disolución reguladora química y para la entropía de la información.

ÁLGEBRA
aplicaciones de los logaritmos

Relevante para

Conocer algunas de las aplicaciones de las funciones logarítmicas.

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Magnitud de un terremoto

Una de las aplicaciones de las funciones logarítmicas es la medición de las intensidades de los terremotos (escala Ritcher), el sonido (decibeles) y las bases y ácidos (pH). Analicemos la medición de las intensidades de los terremotos.

En 1935 Charles Ritcher definió a la magnitud de un terremoto con la fórmula:

M=\log \left( \frac{I}{S}\right)

en donde I es la intensidad del terremoto medida por la amplitud de un sismómetro tomada a 100 km del epicentro y S es la intensidad de un terremoto estándar, el cual es definido con una amplitud de 1 micrómetro o {{{10}^{-4}}} cm.

Esto significa que la magnitud de un terremoto estándar es:

M=\log \left( \frac{S}{S}\right)=\log (1)=0

Uno de los terremotos más grandes registrados tuvo una magnitud de 8.9 en la escala de Ritcher. Esto equivaldría a una intensidad de 800 000 000, por lo que la escala de Ritcher nos permite obtener números más manejables.

Cada incremento de un número en la escala de Ritcher indica un aumento de 10 veces en la intensidad. Por ejemplo, un terremoto con una magnitud de 6 es diez veces más fuerte que un terremoto con una magnitud de 5. Un terremoto con una magnitud de 8 es 100 veces más fuerte que un terremoto con una magnitud de 6

aplicaciones de las funciones logaritmicas escala richter

EJEMPLO

A comienzos del siglo, un terremoto en California registró 8.3 en la escala de Ritcher. En el mismo año, otro terremoto fue registrado en Sudamérica que fue 4 veces más fuerte. ¿Cuál fue la magnitud del terremoto registrado en Sudamérica?

Solución: Formamos una ecuación con los datos dados en la primera frase:

M_{C}=\log \left( \frac{I_{C}}{S}\right)=8.3

8.3=\log \left( \frac{I_{C}}{S}\right)

Ahora, usamos los datos de la segunda frase para formar la segunda ecuación:

M_{SA}=\log \left( \frac{I_{SA}}{S}\right)

M_{SA}=\log \left( \frac{4I_{C}}{S}\right)

Ahora, resolvemos para M_{SA}:

M_{SA}=\log \left( \frac{4I_{C}}{S}\right)

=\log (4I_{C})-\log (S)

=\log (4)+\log (I_{C})-\log (S)

=\log (4)+(\log (I_{C})-\log (S))

=\log (4)+\frac{\log (I_{C})}{\log (S)}

=\log (4)+8.3

=0.602+8.3

=8.902

M_{SA}=8.9

Entonces, la intensidad del terremoto en Sudamérica fue 8.9 en la escala de Ritcher.


Disolución reguladora química

Sistemas químicos conocidos como disoluciones reguladoras o tampones químicos tienen la habilidad de adaptarse a cambios pequeños en acidad para mantener un rango de valores pH. Las disoluciones reguladoras tienen una gran variedad de aplicaciones desde el mantenimiento de un acuario hasta la regulación de niveles de pH en la sangre.

aplicaciones de las funciones logaritmicas escala de ph

EJEMPLO

La sangre es una disolución reguladora. Cuando el dióxido de carbono es absorbido en los flujos de sangre, esta produce ácido carbónico y reduce los niveles de pH. El cuerpo compensa produciendo bicarbonato, que es una base débil, para neutralizar el ácido.

La ecuación Henderson-Hasselbalch puede ser usada para calcular el pH de una disolución reguladora. Hasselbalch estaba estudiando el dióxido de carbono que se disuelve en la sangre y el modelo del pH de la sangre en esta situación es  \text{pH}=6.1+\log \left( \frac{800}{x} \right), en donde x es la presión parcial del dióxido de carbono en las arterias, medida en torr.

Encuentra la presión parcial del dióxido de carbono en las arterias si es que el pH es 7.2.

Solución: Usamos \text{pH}=7.2 en la ecuación logarítmica dada y obtenemos:

 7.2=6.1+\log \left( \frac{800}{x} \right)

 1.1=\log \left( \frac{800}{x} \right)

Al resolver esto para x, encontramos:

x=\frac{800}{{{10}^{1.1}}}=63.55

Entonces, la presión parcial del dióxido de carbono en las arterias es 63.55 torr.


Entropía de la información

Otra aplicación de las funciones logarítmicas es con la entropía de la información. La entropía de la información H, en bits, de una contraseña generada aleatoriamente que consiste de L caracteres está dada por L\log_{2}(N), en donde N es el número de símbolos posibles para cada caracter en la contraseña. En general, entre más grande la entropía, más fuerte es la contraseña.

aplicaciones de las funciones logaritmicas entropia de la informacion

EJEMPLO

  • Si es que una contraseña de 8 caracteres tiene sensibilidad a mayúsculas y minúsculas, es decir, las mayúsculas y minúsculas son consideradas caracteres diferentes, es compuesta sólo de letras y números, encuentra la entropía de la información.

Solución: Hay 27 letras en el abecedario, 54 si es que las mayúsculas y las minúsculas son contadas separadamente. Hay 10 dígitos desde el 0 al 9. Esto es igual a un total de N=63 símbolos. Dado que la contraseña debe tener 8 caracteres, tenemos L=8. Entonces:

H=8\log_{2}(64)

H=\frac{8\ln(64)}{\ln(2)}=48

  • ¿Cuántos símbolos por caracter necesitamos para producir una contraseña de 6 caracteres con una entropía de 40 bits?

Solución: Tenemos L=6 y H=40 y tenemos que encontrar N. Entonces, tenemos:

40=6\log_{2}(N)

⇒    N={{2}^{\frac{40}{6}}}=101.6

Entonces, necesitaríamos 102 caracteres para obtener una contraseña con una entropía de 40 bits.


Véase también

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