Las funciones cuadráticas son funciones polinomiales que tienen un grado máximo de dos. Las gráficas de las funciones cuadráticas son denominadas parábolas y tienen una forma de “U”. Las funciones cuadráticas pueden ser usadas para modelar varias situaciones de la vida cotidiana como el movimiento parabólico producido al lanzar objetos al aire.
A continuación, veremos un resumen de las funciones cuadráticas junto con varios ejercicios resueltos que nos ayudarán a entender de mejor forma los conceptos.
Resumen de funciones cuadráticas
Una función cuadrática tiene la forma $latex f(x)=a{{x}^2}+bx+c$, en donde a, b, y c son números reales y a es diferente de cero.
La gráfica de una función cuadrática es una curva llamada una parábola. Las parábolas se abren hacia arriba o hacia abajo y tienen diferentes “anchuras” o “inclinaciones”, pero todas tienen la misma forma de U básica. Las siguientes son gráficas de parábolas:
Todas las parábolas son simétricas con respecto a una línea llamada el eje de simetría. Una parábola interseca su eje de simetría en un punto llamado el vértice de la parábola.
Sabemos que dos puntos determinan a una línea. Es decir, si es que tenemos dos puntos en el plano, existe solo una línea que contiene a ambos puntos. Existe un enunciado similar para puntos y funciones cuadráticas.
Dados tres puntos en el plano que tienen diferentes coordenadas y que no se ubican en una línea recta, existe exactamente una función cuadrática, la cual produce una gráfica que contiene a los tres puntos.
Las funciones cuadráticas pueden ser graficadas al encontrar varios puntos que son parte de la curva y usando su eje de simetría.
Podemos encontrar las raíces de una función cuadrática usando su forma factorizada y recordando que, si es que su forma factorizada es $latex f(x)=(x-a)(x-b)$, entonces, sus raíces son $latex x=a$ y $latex x=b$.
Ejercicios de funciones cuadráticas resueltos
Los siguientes ejercicios de funciones cuadráticas tienen su respectiva solución la cual detalla el proceso y el razonamiento usados para llegar a la respuesta. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.
EJERCICIO 1
Grafica la función cuadrática $latex {{x}^2}+2$.
Solución
Podemos usar tres puntos para graficar a la función cuadrática. Escogemos los valores $latex x=0$, $latex x=1$ y $latex x=2$. Entonces tenemos:
- Cuando $latex x=0$, tenemos $latex f(0)=0+2=2$
- Cuando $latex x=1$, tenemos $latex f(1)=1+2=3$
- Cuando $latex x=2$, tenemos $latex f(2)=4+2=6$
Luego, graficamos esos puntos y trazamos una curva que pasa por ello y producimos una reflexión en su eje de simetría:
Alternativamente, podemos reconocer que esta gráfica es la gráfica de una función cuadrática estándar $latex f(x)={{x}^2}$ con una traslación vertical de 2 unidades hacia arriba.
EJERCICIO 2
Grafica la función cuadrática $latex {{x}^2}-1$.
Solución
Nuevamente, podemos usar los valores $latex x=0$, $latex x=1$ y $latex x=2$ para obtener tres puntos. Entonces, tenemos:
- Cuando $latex x=0$, tenemos $latex f(0)=0-1=-1$
- Cuando $latex x=1$, tenemos $latex f(1)=1-1=0$
- Cuando $latex x=2$, tenemos $latex f(2)=4-1=3$
Graficamos esos puntos y trazamos una curva. Luego, replicamos esa curva en su eje de simetría:
Alternativamente, es posible reconocer que esa gráfica es una cuadrática estándar $latex f(x)={{x}^2}$ con una traslación vertical de 1 unidades hacia abajo.
EJERCICIO 3
Grafica la función cuadrática $latex -{{x}^2}+3$.
Solución
Usando los valores $latex x=0$, $latex x=1$ y $latex x=2$, tenemos:
- Cuando $latex x=0$, tenemos $latex f(0)=0+3=3$
- Cuando $latex x=1$, tenemos $latex f(1)=-1+3=2$
- Cuando $latex x=2$, tenemos $latex f(2)=-4+2=-2$
Ahora, graficamos los puntos y trazamos una curva. Luego, replicamos esto en su eje de simetría:
Alternativamente, es posible reconocer está función es una función cuadrática estándar $latex f(x)={{x}^2}$ con una reflexión en el eje y y una traslación vertical de 3 unidades hacia arriba.
EJERCICIO 4
Encuentra las raíces de la función cuadrática si es que existen:
Solución
Las raíces de una función cuadrática son los puntos en donde la gráfica cruza al eje x. En este caso, vemos que la gráfica de la función cuadrática cruza al eje x en los puntos $latex x=-2$ y $latex x=3$, por lo que estas son las raíces.
EJERCICIO 5
Encuentra las raíces de la siguiente función cuadrática si es que existen:
Solución
Vemos que en este caso, la gráfica de la función cuadrática no cruza al eje x, por lo que la función no tiene raíces reales.
Todas las funciones cuadráticas tienen raíces si es que no estamos restringidos a los números reales y podemos usar ls números imaginarios.
Sin embargo, para la mayoría de casos, podemos decir que esta función no tiene raíces reales.
EJERCICIO 6
Usa la forma factorizada para encontrar las raíces de la función cuadrática $latex f(x)={{x}^2}+5x+6$.
Solución
Para encontrar la forma factorizada de la función cuadrática, tenemos que encontrar dos números de modo que su suma sea igual a 5 y su producto sea igual a 6.
Dos números que cumplen estas condiciones son el 2 y el 3 ya que $latex 2+3=5$ y $latex 2\times 3=6$.
Entonces, para encontrar las raíces de la función cuadrática, reescribimos a la función en su forma factorizada usando los números encontrados e igualamos con cero:
$latex f(x)=(x+2)(x+3)=0$
Las raíces son $latex x=-2$ y $latex x=-3$.
EJERCICIO 7
Encuentra las raíces de la función cuadrática $latex f(x)={{x}^2}+2x-8$.
Solución
En este caso, tenemos que encontrar dos números de modo que su suma sea igual a 2 y su producto sea igual a -8.
Podemos cumplir estas condiciones con los números 4 y -2 ya que $latex 4-2=2$ y $latex 4\times -2=-8$.
Entonces, encontramos las raíces de la función cuadrática al reescribir a la función en su forma factorizada usando los números encontrados e igualamos con cero:
$latex f(x)=(x+4)(x-2)=0$
Las raíces son $latex x=-4$ y $latex x=2$.
EJERCICIO 8
Usa la forma factorizada para encontrar las raíces de la función cuadrática $latex f(x)=2{{x}^2}+4x-6$.
Solución
Podemos empezar sacando el factor común 2 de la función:
$latex f(x)=2{{x}^2}+4x-6$
$latex =2({{x}^2}+2x-3)$
Ahora, encontramos dos números de modo que su suma sea igual a 2 y su producto sea igual a -3.
Los números 3 y -1 cumplen estas condiciones, ya que $latex 3-1=2$ y $latex 3\times -1=-3$.
Entonces, reescribimos a la función en su forma factorizada usando los números encontrados e igualamos con cero:
$latex f(x)=2(x+2)(x-1)=0$
Las raíces son $latex x=-2$ y $latex x=1$.
→ Calculadora de Ecuaciones Cuadráticas
Ejercicios de funciones cuadráticas para resolver
Pon a prueba tu conocimiento sobre funciones cuadráticas con los siguientes ejercicios. Escoge una respuesta y verifícala para comprobar que seleccionaste la respuesta correcta.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
