Los trinomios son polinomios de tres términos. Generalmente, cuando mencionamos a los trinomios, nos referimos a trinomios cuadráticos. Los trinomios cuadráticos pueden ser factorizados encontrando números que al ser multiplicados o sumados encajan con el trinomio original.
A continuación, haremos una revisión del proceso usado para factorizar trinomios. Además, veremos varios ejercicios de factorización de trinomios resueltos para entender el uso del proceso mencionado.
Resumen de factorización de trinomios
La forma general de un trinomio cuadrático es escrito como $latex a{{x}^2}+bx+c$, en donde a, b y c son constantes. En los siguientes ejercicios, consideraremos el caso cuando el valor de a es 1, es decir, cuando tenemos $latex a=1$ o $latex a=-1$.
Entonces, la forma general de este caso es reducida a:
$latex {{x}^2}+bx+c$
La estrategia básica usada para factorizar este tipo de trinomios es encontrar dos números, los cuales al ser multiplicados, resulten en el número constante c. Además, cuando sumamos estos dos números, debemos obtener la constante b, el coeficiente del término x.
Ejercicios de factorización de trinomios resueltos
La estrategia mencionada arriba es usada para resolver los siguientes ejercicios de factorización de trinomios. Es recomendable que intentes resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.
EJERCICIO 1
Factoriza el trinomio $latex {{x}^2}+5x+6$ como un producto de dos binomios.
Solución
Vemos que el coeficiente del término cuadrático es 1, por lo que esto es fácil de factorizar. Necesitamos identificar las otras constantes relevantes. Observa que $latex b=5$ y $latex c=6$.
Luego, tenemos que encontrar dos números los cuales al ser multiplicados sean igual al valor del término constante $latex c=6$ y que al ser sumamos sean iguales al valor de $latex b=5$.
Debido a que el producto de los dos números debe ser positivo, los números deben ser o bien ambos positivos o ambos negativos.
Podemos usar varios intentos y errores para encontrar la combinación correcta. Las siguientes son algunas combinaciones posibles:
| Números | Combinación Correcta |
| 1 y 6 | X |
| -1 y -6 | X |
| 2 y 3 | ✓ |
| -2 y -3 | X |
Dado que la combinación correcta de números es el 2 y el 3, nuestra respuesta final es:
$latex (x+2)(x+3)$
Podemos verificar esto multiplicando esta expresión:
$latex (x+2)(x+3)$
$latex ={{x}^2}+2x+3x+6$
$latex ={{x}^2}+5x+6$
Obtuvimos el trinomio original, por lo que la factorización es correcta.
EJERCICIO 2
Factoriza al trinomio $latex {{x}^2}+6x+8$.
Solución
En este trinomio tenemos $latex b=6$ y $latex c=8$. Entonces, tenemos que encontrar dos números que tengan un producto igual al término constante $latex c=8$ y una suma igual al valor de $latex b=6$.
El producto de ambos números debe ser positivo, por lo que los números deben ser o bien ambos positivos o ambos negativos.
Veamos las siguientes combinaciones posibles:
| Números | Combinación Correcta |
| 1 y 8 | X |
| -1 y -8 | X |
| 2 y 4 | ✓ |
| -2 y -4 | X |
Entonces, la combinación correcta de números es el 2 y el 4, por lo que la factorización es:
$latex (x+2)(x+4)$
Verificando, tenemos:
$latex (x+2)(x+4)$
$latex ={{x}^2}+2x+4x+8$
$latex ={{x}^2}+6x+8$
La factorización obtenida es correcta.
EJERCICIO 3
Obtén la factorización del trinomio $latex {{x}^2}-2x-8$.
Solución
Tenemos los coeficientes $latex b=-2$ y $latex c=-8$. Por lo tanto, tenemos que encontrar dos números que tengan un producto igual al valor del término constante $latex c=-8$ y que tengan una suma igual al valor de $latex b=-2$.
Aquí, el producto de los dos números debe ser negativo, por lo que un número debe ser positivo y el otro negativo.
Vemos las siguientes combinaciones posibles:
| Números | Combinación Correcta |
| -1 y 8 | X |
| 1 y -8 | X |
| 2 y -4 | ✓ |
| -2 y 4 | X |
La combinación correcta de números es el 2 y el -4, por lo que la factorización es:
$latex (x+2)(x-4)$
Verificando esto, tenemos:
$latex (x+2)(x-4)$
$latex ={{x}^2}+2x-4x-8$
$latex ={{x}^2}-2x-8$
Obtuvimos el trinomio original, por lo que la factorización es correcta.
EJERCICIO 4
Factoriza al trinomio $latex {{x}^2}+4x-12$.
Solución
Identificamos a los coeficientes $latex b=4$ y $latex c=-12$.
Luego, tenemos que encontrar dos números los cuales al ser multiplicados sean iguales a $latex c=-12$ y que al ser sumamos sean iguales a $latex b=4$.
El producto de estos números es negativo, por lo que un número debe ser positivo y el otro negativo.
Podemos usar la siguiente tabla para probar con diferentes combinaciones posibles:
| Números | Combinación Correcta |
| 4 y -3 | X |
| -4 y 3 | X |
| 6 y -2 | ✓ |
| -6 y 2 | X |
La combinación correcta de números es el 6 y el -2, entonces tenemos:
$latex (x+6)(x-2)$
Verificando esto, tenemos:
$latex (x+6)(x-2)$
$latex ={{x}^2}+6x-2x-12$
$latex ={{x}^2}+4x-12$
La factorización es correcta, ya que obtuvimos el trinomio original.
EJERCICIO 5
Factoriza al trinomio $latex {{x}^2}-8x+15$.
Solución
Tenemos los coeficientes $latex b=-8$ y $latex c=15$. Entonces, tenemos que encontrar dos números cuyo producto sea igual a $latex c=15$ y que su suma sea igual a $latex b=-8$.
El producto de los dos números debe ser positivo, por lo que los números podrían ser o bien ambos positivos o ambos negativos. Sin embargo, vemos que la suma es negativa, por lo que los números deben ser ambos negativos
Probando algunas combinaciones tenemos:
| Números | Combinación Correcta |
| -15 y -1 | X |
| -5 y -3 | ✓ |
Dado que la combinación correcta de números es el -5 y el -3, tenemos:
$latex (x-5)(x-3)$
Verificando, tenemos:
$latex (x-5)(x-3)$
$latex ={{x}^2}-5x-3x+15$
$latex ={{x}^2}-8x+15$
Obtuvimos el trinomio original, por lo que la factorización es correcta.
EJERCICIO 6
Obtén la factorización del trinomio $latex {{x}^2}+17x+16$.
Solución
Identificamos a las constantes relevantes $latex b=17$ y $latex c=16$.
Luego, debemos encontrar dos números con un producto igual al valor del término constante $latex c=16$ y con una suma igual al valor de $latex b=17$. El producto debe ser positivo, por lo que los números deben ser o bien ambos positivos o ambos negativos.
Sin embargo, vemos que el valor de b (el resultado de la suma) es mayor que el producto, por lo que sólo podemos obtener esto si ambos números son positivos.
Las siguientes son algunas combinaciones posibles:
| Números | Combinación Correcta |
| 4 y 4 | X |
| 1 y 16 | ✓ |
Dado que la combinación correcta de números es el 1 y el 16, nuestra respuesta final es:
$latex (x+1)(x+16)$
Podemos verificar esto multiplicando esta expresión:
$latex (x+1)(x+16)$
$latex ={{x}^2}+1x+16x+16$
$latex ={{x}^2}+17x+16$
Obtuvimos el trinomio original, por lo que la factorización es correcta.
Ejercicios de factorización de trinomios para resolver
Practica la estrategia mencionada arriba factorizando los siguientes trinomios cuadráticos. Si necesitas ayuda, puedes mirar los ejercicios resueltos de arriba cuidadosamente.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre factorización de expresiones? Mira estas páginas:
