Factorización de Diferencia de Cubos

Un polinomio de la forma a³-b³ es denominado una diferencia de cubos. Este tipo de polinomios pueden ser fácilmente factorizados usando un patrón estándar. A continuación, aprenderemos el proceso usado para factorizar una diferencia de cubos.

Miraremos varios ejercicios resueltos para dominar completamente el tema de factorización de diferencia de cubos.

ÁLGEBRA
factorización de diferencia de cubos

Relevante para

Aprender sobre la factorización de diferencia de cubos con ejercicios.

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factorización de diferencia de cubos

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¿Cómo factorizar una diferencia de cubos?

Para factorizar una diferencia de cubos, podemos seguir los siguientes pasos:

Paso 1: Decide si es que los dos términos tienen algún factor común, llamado el mayor factor común. Si es que es así, factorizamos el mayor factor común. No debemos olvidar incluir el mayor factor común como parte de la respuesta final.

Paso 2: Reescribimos al problema original como una diferencia de dos cubos perfectos.

Paso 3: Usamos las siguientes frases para escribir la respuesta:

a) “Escribe lo que ves”

b) “Eleva al cuadrado – Multiplica – Eleva al cuadrado”

c) “Negativo, Positivo, Positivo”

Paso 4: Usamos las tres partes para escribir la respuesta final.


Ejercicios de factorización de diferencia de cubos resueltos

Los siguientes ejercicios de factorización de diferencia de cubos usan el proceso de resolución indicado arriba. Cada ejercicio tiene una solución detallada que ayuda a entender el razonamiento usado para obtener la respuesta.

EJERCICIO 1

Factoriza la expresión $latex {{x}^3}-8$.

Paso 1: En este caso, los términos no tienen ningún factor común, por lo que no podemos factorizar inicialmente.

Paso 2: Reescribimos al problema original como una diferencia de dos cubos perfectos:

⇒  $latex {{(x)}^3}-{{(2)}^3}$

Paso 3: a) Si es que eliminamos los paréntesis e ignoramos los cubos, vemos a la expresión:

$latex x-2$

b) Si es que elevamos al cuadrado al primer término, x, tenemos $latex {{x}^2}$. Si es multiplicamos los términos x y 2, tenemos $latex 2x$. Si es que elevamos al cuadrado al segundo término, 2, tenemos 4.

$latex {{x}^2},~~2x,~~4$

c) “Negativo, Positivo, Positivo”. Estos son los signos del problema.

Paso 4: La respuesta final es:

$latex (x-2)({{x}^2}+2x+4)$

EJERCICIO 2

Factoriza la expresión $latex 8{{x}^3}-27$.

Paso 1: No tenemos factores comunes en los términos, por lo que no podemos factorizar inicialmente.

Paso 2: Tenemos que reescribir al problema original como una diferencia de dos cubos perfectos:

⇒  $latex {{(2x)}^3}-{{(3)}^3}$

Paso 3: a) Ignorando los paréntesis y cubos, vemos a la expresión:

$latex 2x-3$

b) Elevando al cuadrado al primer término, x, tenemos $latex 4{{x}^2}$. Multiplicando a los términos 2x y 3, tenemos $latex 6x$. Elevando al cuadrado al segundo término, 3, tenemos 9.

$latex 4{{x}^2},~~6x,~~9$

c) “Negativo, Positivo, Positivo”. Estos son los signos del problema.

Paso 4: La respuesta final es:

$latex (2x-3)(4{{x}^2}+6x+9)$

EJERCICIO 3

Obtén la factorización de $latex 27{{x}^3}-125$.

Paso 1: Esta expresión tampoco puede ser factorizada inicialmente, ya que no hay factores comunes en los términos.

Paso 2: Reescribimos al problema original como una diferencia de dos cubos perfectos:

⇒  $latex {{(3x)}^3}-{{(5)}^3}$

Paso 3: a) Al ignorar a los paréntesis y los cubos, vemos a la expresión:

$latex 3x-5$

b) Al elevar al cuadrado al primer término, 3x, tenemos $latex 9{{x}^2}$. Al multiplicar a los términos 3x y 5, tenemos $latex 15x$. Al elevar al cuadrado al segundo término, 5, tenemos 25.

$latex 9{{x}^2},~~15x,~~25$

c) “Negativo, Positivo, Positivo”. Estos son los signos del problema.

Paso 4: La versión factorizada es:

$latex (3x-5)(9{{x}^2}+15x+25)$

EJERCICIO 4

Factoriza a la expresión $latex 125{{x}^3}-216{{y}^3}$.

Paso 1: Los términos no tienen ningún factor común, por lo que continuamos con los siguientes pasos.

Paso 2: Escribimos a la expresión original como una diferencia de dos cubos perfectos:

⇒  $latex {{(5x)}^3}-{{(6y)}^3}$

Paso 3: a) Si es que ignoramos a los paréntesis y los cubos, vemos a la expresión:

$latex 5x-6y$

b) Elevamos al cuadrado al primer término, 5x, para obtener $latex 25{{x}^2}$. Multiplicamos los términos 5x y 6y, para obtener $latex 30xy$. Elevamos al cuadrado al segundo término, 6y, para obtener $latex 36{{y}^2}$.

$latex 25{{x}^2},~~30xy,~~36{{y}^2}$

c) “Negativo, Positivo, Positivo”. Estos son los signos del problema.

Paso 4: La respuesta final es:

$latex (5x-6y)(25{{x}^2}+30xy+36{{y}^2})$

EJERCICIO 5

Obtén la factorización de la expresión $latex 54{{x}^3}-16{{y}^3}$.

Paso 1: Esta expresión sí tiene factores comunes. Podemos extraer el 2 de ambos términos:

$latex 2(27{{x}^3}-8{{y}^3})$

Paso 2: Reescribimos a la expresión obtenida como una diferencia de dos cubos perfectos:

⇒  $latex 2({{(3x)}^3}-{{(2y)}^3})$

Paso 3: a) Al eliminar los paréntesis e ignorar los cubos, tenemos:

$latex 3x-2y$

b) Si es que elevamos al cuadrado al primer término, 3x, tenemos $latex 9{{x}^2}$. Si es multiplicamos los términos 3x y 2y, tenemos $latex 6xy$. Si es que elevamos al cuadrado al segundo término, 2y, tenemos $latex 4{{y}^2}$.

$latex 9{{x}^2},~~6xy,~~4{{y}^2}$

c) “Negativo, Positivo, Positivo”. Estos son los signos del problema.

Paso 4: Obtuvimos la siguiente factorización:

$latex 2(3x-2y)(9{{x}^2}+6xy+4{{y}^2})$

EJERCICIO 6

Factoriza la expresión $latex 1-125{{x}^3}{{y}^3}$.

Paso 1: No tenemos factores comunes.

Paso 2: Al reescribir a la expresión como una diferencia de dos cubos perfectos, tenemos:

⇒  $latex {{(1)}^3}-{{(5xy)}^3}$

Paso 3: a) Si es que eliminamos los paréntesis e ignoramos los cubos, vemos a la expresión:

$latex 1-5xy$

b) Elevando al cuadrado al primer término, 1, tenemos 1. Multiplicando los términos 1 y 5xy, obtenemos $latex 5xy$. Elevando al cuadrado al segundo término, 5xy, tenemos $latex 25{{x}^2}{{y}^2}$.

$latex 1,~~5xy,~~25{{x}^2}{{y}^2}$

c) “Negativo, Positivo, Positivo”. Estos son los signos del problema.

Paso 4: La respuesta final es:

$latex (1-5xy)(1+5xy+25{{x}^2}{{y}^2})$

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Ejercicios de factorización de diferencia de cubos para resolver

Pon a prueba lo aprendido sobre factorización de diferencia de cubos con los siguientes ejercicios. Resuelve los ejercicios y escoge una respuesta. Verifíca la respuesta seleccionada para comprobar si es que es la correcta.

Factoriza la expresión $latex {{x}^3}-125$.

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Obtén la factorización de $latex 127{{x}^3}-27$.

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Factoriza la expresión $latex 64{{x}^3}-343{{y}^3}$.

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Factoriza la expresión $latex 2{{x}^3}-128{{y}^3}$.

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Véase también

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