Ecuaciones trigonométricas – Ejercicios resueltos

Podemos escribir de la siguiente forma:

$$\tan^2x-3=0\Rightarrow\tan^2x=3$$

$$\tan x=\pm\sqrt{3}$$

La incógnita se despeja mediante el uso de la correspondiente función trigonométrica inversa:

$$x =\arctan (\pm\sqrt{3})$$

Es decir, hay que encontrar todos los ángulos cuya tangente sea $latex \pm\sqrt{3}$ y que a la vez pertenezcan al intervalo $latex 0\leq x\leq 360º$. La ecuación posee cuatro de estas soluciones:

• $latex x_1 = 60º$
• $latex x_2 = 120º$
• $latex x_3 = 240º$
• $latex x_4 = 300º$

El lector puede comprobar fácilmente que:

$latex \tan 60º=\sqrt {3}=\tan 240º$

Mientras que:

$latex \tan 120º=-\sqrt {3}=\tan 300º$

$$2\cos x -6=-4\Rightarrow 2\cos x=2$$

$$\cos x=1$$

Por lo tanto:

$$x=\arccos 1$$

La solución de esta ecuación en el intervalo solicitado es:

$latex x = 0º$

En esta ecuación se observa que la incógnita $latex x$ está en el argumento del coseno y del seno, así que el primer paso es escribir la ecuación en términos de una sola función trigonométrica, para lo cual se requiere una identidad que las relacione.

Esta identidad es: $latex \cos^2 x + \sin^2 x = 1$.

Mediante la cual se puede expresar el coseno en términos del seno como:

$latex \cos^2 x = 1- \sin^2 x$

Y esto se sustituye en la ecuación original:

$$2\cos^2x-\sin x-1=0\Rightarrow 2(1- \sin^2 x)-\sin x-1=0$$

Que conduce a:

$$2- 2\sin^2 x-\sin x-1=0$$

$$- 2\sin^2 x-\sin x+1=0$$

Multiplicando a ambos lados por $latex -1$, queda:

$$2\sin^2 x+\sin x-1=0$$

Ahora se hace el siguiente cambio de variable:

$latex y=\sin x $

Mediante el cual la ecuación se transforma en:

$$2y^2 +y-1=0$$

Esta es una ecuación de segundo grado en $latex y$ que se resuelve fácilmente mediante factorización o bien utilizando la fórmula resolvente.

Mediante factorización se obtiene:

$$2y^2 +y-1=(2y-1)(y+1)=0$$

Cuyas raíces son:

$latex y_1 =\dfrac{1}{2}$

$latex y_2 =-1$

El próximo paso es devolver el cambio, que conduce a dos ecuaciones sencillas:

Ecuación 1

$$\sin x =\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\arcsin \left(\dfrac{1}{2}\right)$$

En el intervalo $latex 0\leq x\leq 360º$ hay dos ángulos cuyo seno vale $latex \dfrac{1}{2}$, y son:

• $latex x_1 =30º$
• $latex x_2 = 150º$

Ecuación 2

$$\sin x =-1\Rightarrow x=\arcsin (-1)$$

En el intervalo $latex 0\leq x\leq 360º$ hay un solo ángulo cuyo seno vale $latex -1$, y es:

• $latex x_3=270º$

Al igual que en el ejemplo anterior, es necesario dejar una misma función trigonométrica en la ecuación, y como aquí aparecen tangente y secante, se utiliza:

$latex \sec^2 x = 1+\tan ^2x$

Sustituyendo en la ecuación original, esta se transforma en:

$$\tan x+\sec^2 x – 3 = 0\Rightarrow \tan x+(1+\tan ^2x) – 3 = 0 $$

Por lo tanto, la ecuación queda:

$$ \tan ^2x+\tan x- 2 = 0 $$

Esta ecuación también se transforma en una ecuación cuadrática mediante el cambio de variable $latex y=\tan x $ en:

$$y^2 +y-2=0$$

Que se resuelve fácilmente por factorización:

$$y^2 +y-2=(y+2)(y-1)=0$$

Cuyas raíces son:

$latex y_1 =-2$

$latex y_2 =1$

Devolviendo el cambio, esto conduce a dos ecuaciones sencillas:

Ecuación 1

$latex \tan x =-2$

Cuya solución es:

$latex x = \arctan (-2)$

• $latex x_1=-63,4º; 116.6º; -243.40º;…$

Obsérvese que en el enunciado no se especificó un intervalo para la solución. Cuando las soluciones de una ecuación trigonométrica se encuentran en el intervalo $latex 0\leq x\leq 360º$, se las llama soluciones principales.

Pero, gracias a la periodicidad de las funciones trigonométricas, hay una cantidad ilimitada de soluciones para $latex x = \arctan (-2)$ , que pueden darse de una forma general y compacta:

• $latex x_1 = k\cdot180º-63.4º$

Con $latex k$ entero, es decir, $latex k = \pm 1;\pm 2; \pm 3; \pm 4…$

Ecuación 2

$latex \tan x =1$

Donde se deduce que:

$latex x = \arctan (1)$

• $latex x_2= 45º; 225º; -135º;…$
• $latex x_2 = k\cdot 180º+45º$

Si se prefiere, se puede dar la solución en radianes, como:

• $latex x_2 =k\pi+\dfrac{\pi}{4}$

Con $latex \dfrac{\pi}{4}=45º$, o bien:

• $latex x_2=\dfrac{(4k+1)\pi}{4}$

Donde $latex k =0; \pm 1;\pm 2; \pm 3; \pm 4…$

Puesto que el argumento del seno y el del coseno no es el mismo, se emplea una identidad trigonométrica que relacione $latex \sin 2x$ con $latex \sin x$ o $latex \cos x$, de modo que el argumento sea $latex x$.

Esta identidad es la del ángulo doble:

$latex \sin 2x =2\sin x\cos x$

La cual, al ser sustituida en la ecuación original, da como resultado:

$$\sin 2x +\cos x = 0\Rightarrow 2\sin x\cos x+\cos x=0$$

La ecuación obtenida se factoriza para buscar las soluciones, quedando:

$$\cos x(2\sin x+1)=0$$

A partir de allí se obtienen dos ecuaciones más simples:

Ecuación 1

$latex \cos x=0$

$latex x =\arccos 0$

Cuyas soluciones, en el intervalo señalado en el enunciado, son:

• $latex x_1 =90º=\dfrac{\pi}{2}$
• $latex x_2 =270º=\dfrac{3\pi}{2}$

Ecuación 2

$latex 2\sin x+1=0\Rightarrow 2\sin x=-1$

$latex \sin x=-\dfrac{1}{2}$

$latex x=\arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right)$

Que da lugar a dos soluciones en el intervalo señalado:

• $latex x_3 =210º=\dfrac{7\pi}{6}$
• $latex x_4 =330º=\dfrac{11\pi}{6}$

Esta ecuación trigonométrica es de la forma:

$latex a\sin x + b\cos x = 0$

Que se resuelve fácilmente dividiendo a ambos lados de la igualdad por $latex \cos x$, para dejar todo en términos de $latex \tan x$:

$$3\sin x-\sqrt{3}\cos x=\frac{3\sin x-\sqrt{3}\cos x}{\cos x}=0$$

Esta ecuación se transforma en:

$$3\tan x-\sqrt{3}=0$$

Por lo tanto:

$$3\tan x=\sqrt{3}\Rightarrow\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

$$x = \arctan \dfrac{\sqrt{3}}{3}$$

Como el enunciado no especificó un intervalo, significa que hay infinitas soluciones:

• $latex x_1 = 30º, 210º, 390º, 570º…$

Y su forma general es:

• $latex x = k\pi+\dfrac{\pi}{6}$

O:

• $latex x = k\cdot 180º+30º$

Con $latex k = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3…$

Para resolver esta ecuación, que contiene un término independiente distinto de $latex 0$, se utiliza el cambio de variable:

$$t=\tan \left(\dfrac{x}{2}\right)$$

De esta manera, el seno y el coseno se expresan de la siguiente forma:

$$\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$$

$$\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}$$

A este cambio de variable se le conoce como la sustitución universal o sustitución de Weierstrass. Entonces, la ecuación original queda así:

$$4\sin x+3\cos x = 3\Rightarrow 4\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) +3\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)=3$$

$$\frac{8t+3-3t^2}{1+t^2}=3\Rightarrow 8t+3-3t^2=3+3t^2$$

Reagrupando los términos, se obtiene una ecuación cuadrática en $latex t$:

$$-6t^2+8t=0$$

$$3t^2-4t=0$$

Que se resuelve factorizando:

$$3t^2-4t=0\Rightarrow t(3t-4)=0$$

Las soluciones son:

$latex t_1 =0$

$latex t_2=\dfrac{4}{3}$

Esto conduce a dos ecuaciones simples, al devolver el cambio de variable:

Ecuación 1

$$\tan \left(\dfrac{x}{2}\right)=0$$

Por lo tanto:

$latex\dfrac{x}{2}=\arctan 0$

$latex \dfrac{x}{2}=0, \pm\pi, \pm 2\pi, \pm 3\pi,…$

$latex x=0, \pm 2\pi, \pm 4\pi, \pm 6\pi,…$

$latex x=2k\pi=2k\cdot 360º$

Con $latex k$ un número entero.

Ecuación 2

$$\tan \left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{4}{3}$$

Se deduce que:

$latex \dfrac{x}{2}=\arctan \left(\dfrac{4}{3}\right)=53.1º$

Por lo tanto, la solución principal, que se encuentra en el intervalo $latex 0\leq x\leq 360º$, es:

$latex x=106.2º$

Además, los ángulos $latex -253.8º, 466.2º,…$ también son soluciones de la ecuación propuesta, ya que la función tangente es periódica, por lo tanto, en forma general, la solución viene dada por:

$latex x = k\cdot 360º+ 106.2º$

Con $latex k = 0,\pm 1, \pm 2, \pm 3…$, es decir, $latex k$ es un entero.

Si se utiliza la identidad pitagórica:

$latex \sin^2x+\cos^2x$

$latex \cos^2x=1-\sin^2x$

Entonces:

$$3\sin^2x-\cos^2x =0\Rightarrow 3\sin^2x-(1-\sin^2x )=0 $$

Por lo tanto:

$$4\sin^2x-1 =0$$

$$\sin^2x=\dfrac{1}{4}\Rightarrow \sin x = \pm \sqrt \frac{1}{4}=\pm\dfrac{1}{2}$$

Por lo tanto, las soluciones principales de la ecuación son:

• $latex x_1=\arcsin \left(\dfrac{1}{2}\right)=30º$
• $latex x_2=\arcsin \left(-\dfrac{1}{2}\right)=210º$

Para resolver esta ecuación, se utilizan las identidades siguientes:

$latex \sec^2=1+\tan^2x$

$latex \sec x = \dfrac{1}{\cos x}$

$latex \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$

De esta forma:

$$\cos x=\dfrac{2\tan x}{1+\tan^2x}=\dfrac{\dfrac{2\sin x}{\cos x}}{\sec^2x}=$$

$$=\dfrac{\dfrac{2\sin x}{\cos x}}{\dfrac{1}{\cos^2x}}=2\sin x \cos x$$

Por lo tanto:

$$\cos x = 2\sin x \cos x$$

Dividiendo a ambos lados por $latex \cos x$, siempre y cuando $latex \cos x\neq 0$:

$$\cos x = 2\sin x \cos x\Rightarrow \dfrac{\cos x}{\cos x}=\dfrac{2\sin x \cos x}{\cos x}$$

Que conduce a:

$$2\sin x=1$$

Por lo tanto:

$$x=\arcsin\left(\dfrac{1}{2}\right)$$

$latex x = 30º, 150º,…-330º,… $

En forma general, la solución es:

$latex x = 30º+k\cdot180º$

O bien:

$latex x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi$

Donde $latex k$ es un número entero.

Usando el siguiente cambio de variable: $latex p = \sin x$, $latex ~q=\cos y$, el sistema de ecuaciones queda así:

$$ \left\{\begin{array}{rcl} p+q&=&\sqrt{2}\\ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}&=&2\sqrt{2} \end{array}\right.$$

De la primera ecuación se obtiene:

$latex p =\sqrt{2}-q$

Seguidamente, se sustituye en la segunda ecuación:

$$\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}-q}\right)+\left(\dfrac{1}{q}\right)=2\sqrt{2}$$

$$\dfrac{q+\sqrt{2}-q}{q(\sqrt{2}-q)}=2\sqrt{2}$$

$$\dfrac{\sqrt{2}}{q(\sqrt{2}-q)}=2\sqrt{2}$$

Por lo tanto:

$$q(\sqrt{2}-q)=0.5$$

Aplicando propiedad distributiva se obtiene una ecuación de segundo grado:

$latex q^2-\sqrt{2}q+0.5=0$

Cuya solución es:

$latex q=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=0.70710…$

Sustituyendo en:

$latex p =\sqrt{2}-q$

Se obtiene:

$$p =\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=0.70710…$$

Al devolver el cambio, resulta:

$$p = \sin x\Rightarrow\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x=\arcsin\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

Cuya solución general es:

$$x = 2k\pi+\dfrac{\pi}{4}$$

Donde $latex k$ es un número entero.

Por otro lado:

$latex q = \cos y$

$$q = \cos y\Rightarrow\cos y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow y=\arccos\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

$$ y = 2k\pi+\dfrac{\pi}{4}$$

Con $latex k$ entero.