Ejercicios de Diferencia de Cuadrados

La diferencia de cuadrados nos permite factorizar expresiones algebraicas. La diferencia de cuadrados nos indica que es posible escribir a una expresión cuadrática como el producto de dos binomios, uno que contiene la suma de las raíces cuadradas y el otro que contiene la resta de las raíces cuadradas.

A continuación, miraremos un resumen de la diferencia de cuadrados junto con varios ejercicios resueltos y ejercicios para resolver.

ÁLGEBRA

Relevante para…

Resolver varios ejercicios de diferencia de cuadrados.

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Resumen de diferencia de cuadrados

Recordemos que la diferencia de cuadrados es un teorema que nos indica si es que una ecuación cuadrática puede ser escrita como el producto de dos binomios.

Uno de estos binomios muestra la diferencia de las raíces cuadradas y el otro binomio muestra la suma de las raíces cuadradas. Una diferencia de cuadrados es expresada en la forma:

${{a}^2}-{{b}^2}$

en donde, tanto el primero como el segundo término son cuadrados perfectos. Al factorizar la diferencia de cuadrados, tenemos:

${{a}^2}-{{b}^2}=(a+b)(a-b)$

Para factorizar usando la diferencia de cuadrados, podemos seguir los siguientes pasos:

Paso 1: Extraer el factor común si es que existe alguno. No olvides incluir este factor común en la respuesta final.

Paso 2: Determinamos los números que producirán los mismos resultados y usamos la fórmula ${{a}^2}-{{b}^2}=(a+b)(a-b)$ .

Paso 3: Factoriza y simplifica la expresión resultante si es que es posible.

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Ejercicios de diferencia de cuadrados resueltos

Los siguientes ejercicios de diferencia de cuadrados siguen los pasos detallados arriba para obtener la factorización de las expresiones algebraicas. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.

EJERCICIO 1

Factoriza la expresión ${{x}^2}-25$ .

Solución

Paso 1: No tenemos factores comunes.

Paso 2: Dado que sabemos que 5 al cuadrado es igual a 25, podemos reescribir la expresión de la siguiente forma:

${{x}^2}-{{5}^2}$

Ahora, aplicamos la fórmula ${{a}^2}-{{b}^2}=(a+b)(a-b)$ :

$=(x+5)(x-5)$

Paso 3: Ya no podemos factorizar.

EJERCICIO 2

Factoriza la expresión ${{x}^2}-81$ .

Solución

Paso 1: La expresión no tiene factores comunes.

Paso 2: Dado que tenemos ${{x}^2}-81={{x}^2}-{{9}^2}$ . Entonces, aplicamos la fórmula de la diferencia de cuadrados ${{a}^2}-{{b}^2}=(a+b)(a-b)$ , en donde a es igual a x y b es igual a 9:

$=(x+9)(x-9)$

Paso 3: Ya no podemos factorizar.

EJERCICIO 3

Factoriza la expresión $3{{x}^2}-27{{y}^2}$ .

Solución

Paso 1: En este caso, el 3 es un factor común de ambos términos, por lo que lo factorizamos:

$3{{x}^2}-27{{y}^2}=3({{x}^2}-9{{y}^2})$

Paso 2: Podemos escribir a $9{{y}^2}$ como ${{(3y)}^2}$ . Ahora, aplicamos la fórmula de la diferencia de cuadrados:

$3({{x}^2}-{{(3y)}^2})=3(x+3y)(x-3y)$

Paso 3: Ya no podemos factorizar.

EJERCICIO 4

Factoriza la expresión ${{x}^3}-64x$ .

Solución

Paso 1: Dado que la x es un factor común, la factorizamos:

${{x}^3}-64x=x({{x}^2}-64)$

Paso 2: Podemos escribir al 64 como ${{8}^2}$ . Usando la fórmula de la diferencia de cuadrados, tenemos:

$x({{x}^2}-64)=x(x+8)(x-8)$

Paso 3: Ya no podemos factorizar.

EJERCICIO 5

Factoriza la expresión ${{(y-3)}^2}-{{(y+5)}^2}$ .

Solución

Paso 1: No tenemos nada para factorizar.

Paso 2: En este caso, tenemos que a es igual a $(y-3)$ y b es igual a $(y+5)$ . Entonces, usamos la fórmula de la diferencia de cuadrados:

$[(y-3)+(y+5)][(y-3)-(y-5)]$

Paso 3: Aquí podemos combinar términos semejantes y simplificar:

$=[2y+2][2]$

$=4y+4$

EJERCICIO 6

Factoriza la expresión $16{{(x+y)}^2-25{{(x-2y)}^2}$ .

Solución

Paso 1: No tenemos nada para factorizar.

Paso 2: Empezamos escribiendo a la expresión de la siguiente forma:

${{(4(x+y))}^2}-{{(5(x-2y))}^2}$

Aquí, tenemos que a es igual a $4(x+y)$ y b es igual a $5(x-2y)$ . Entonces, usamos la fórmula de la diferencia de cuadrados:

$[4(x+y)+5(x-2y)][4(x+y)-5(x-2y)]$

Paso 3: Aquí podemos expandir, combinar términos semejantes y simplificar:

$=[4x+4y+5x-10y][4x+4y-5x+10y]$

$=(9x-6y)(-x+14y)$

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Ejercicios de diferencia de cuadrados para resolver

Resuelve los siguientes ejercicios de diferencia de cuadrados para poner a prueba tu conocimiento sobre este tema. Los ejercicios resueltos de arriba pueden ser usados para hacer una revisión del proceso de resolución si es que tienes problemas.