La diferencia de cuadrados nos permite factorizar expresiones algebraicas. La diferencia de cuadrados nos indica que es posible escribir a una expresión cuadrática como el producto de dos binomios, uno que contiene la suma de las raíces cuadradas y el otro que contiene la resta de las raíces cuadradas.
A continuación, miraremos un resumen de la diferencia de cuadrados junto con varios ejercicios resueltos y ejercicios para resolver.
Resumen de diferencia de cuadrados
Recordemos que la diferencia de cuadrados es un teorema que nos indica si es que una ecuación cuadrática puede ser escrita como el producto de dos binomios.
Uno de estos binomios muestra la diferencia de las raíces cuadradas y el otro binomio muestra la suma de las raíces cuadradas. Una diferencia de cuadrados es expresada en la forma:
$latex {{a}^2}-{{b}^2}$
en donde, tanto el primero como el segundo término son cuadrados perfectos. Al factorizar la diferencia de cuadrados, tenemos:
$latex {{a}^2}-{{b}^2}=(a+b)(a-b)$
Para factorizar usando la diferencia de cuadrados, podemos seguir los siguientes pasos:
Paso 1: Extraer el factor común si es que existe alguno. No olvides incluir este factor común en la respuesta final.
Paso 2: Determinamos los números que producirán los mismos resultados y usamos la fórmula $latex {{a}^2}-{{b}^2}=(a+b)(a-b)$.
Paso 3: Factoriza y simplifica la expresión resultante si es que es posible.
10 Ejercicios de diferencia de cuadrados resueltos
EJERCICIO 1
Factoriza la expresión $latex {{x}^2}-25$.
Solución
Paso 1: No tenemos factores comunes.
Paso 2: Dado que sabemos que 5 al cuadrado es igual a 25, podemos reescribir la expresión de la siguiente forma:
$latex {{x}^2}-{{5}^2}$
Ahora, aplicamos la fórmula $latex {{a}^2}-{{b}^2}=(a+b)(a-b)$:
$latex=(x+5)(x-5)$
Paso 3: Ya no podemos factorizar.
EJERCICIO 2
Usa la diferencia de cuadrados para factorizar $latex x^2-64$.
Solución
Paso 1: No tenemos factores comunes.
Paso 2: Podemos escribir a la expresión de la siguiente forma:
$latex x^2-8^2$
Ahora, aplicamos la fórmula de la diferencia de cuadrados $latex a^2-b^2=(a+b)(a-b)$:
$latex=(x+8)(x-8)$
Paso 3: La expresión ya está simplificada.
EJERCICIO 3
Factoriza la expresión $latex x^2-81$ usando la diferencia de cuadrados
Solución
Paso 1: La expresión no tiene factores comunes.
Paso 2: Dado que tenemos $latex x^2-81=x^2-9^2$. Entonces, aplicamos la fórmula de la diferencia de cuadrados $latex a^2-b^2=(a+b)(a-b)$, en donde a es igual a x y b es igual a 9:
$latex=(x+9)(x-9)$
Paso 3: Ya no podemos factorizar.
EJERCICIO 4
Usa la diferencia de cuadrados para factorizar $latex 4x^2-36$.
Solución
Paso 1: A primera vista, pareciera que la diferencia de cuadrados no aplica aquí. Sin embargo, podemos extraer el factor común 4 de ambos términos:
$latex 4x^2-36=4(x^2-9)$
Paso 2: Ahora, podemos escribir a 9 como $latex 3^2$ y aplicamos la fórmula de la diferencia de cuadrados:
$latex 4(x^2-3^2)=4(x+3)(x-3)$
Paso 3: La expresión ya está simplificada.
EJERCICIO 5
Factoriza la expresión $latex 4x^2-121y^2$.
Solución
Paso 1: Los términos no tienen factores comunes.
Paso 2: Podemos escribir a los términos de la expresión de la siguiente forma:
$latex (2x)^2-(11y)^2$
Ahora, podemos aplicar la fórmula de la diferencia de cuadrados y tenemos:
$latex (2x)^2-(11y)^2=(2x+11y)(2x-11y)$
Paso 3: La expresión ya está simplificada.
EJERCICIO 6
Aplica la diferencia de cuadrados para factorizar $latex 8a^2-50b^2$.
Solución
Paso 1: Podemos extraer el factor común 2 de ambos términos:
$latex 2(4a^2-25b^2)$
Paso 2: Ahora, escribimos a la expresión de la siguiente forma:
$latex =2((2a)^2-(5b)^2)$
Usando la fórmula de la diferencia de cuadrados, tenemos:
$latex 2((2a)^2-(5b)^2)=2(2a+5b)(2a-5b)$
Paso 3: La expresión ya está simplificada.
EJERCICIO 7
Factoriza la expresión $latex 3x^2-27y^2$.
Solución
Paso 1: En este caso, el 3 es un factor común de ambos términos, por lo que lo factorizamos:
$latex 3x^2-27y^2=3(x^2-9y^2)$
Paso 2: Podemos escribir a $latex 9y^2$ como $latex (3y)^2$. Ahora, aplicamos la fórmula de la diferencia de cuadrados:
$latex 3(x^2-(3y)^2)=3(x+3y)(x-3y)$
Paso 3: Ya no podemos factorizar.
EJERCICIO 8
Factoriza la expresión $latex x^3-64x$.
Solución
Paso 1: Dado que la x es un factor común, la factorizamos:
$latex x^3-64x=x(x^2-64)$
Paso 2: Podemos escribir al 64 como $latex 8^2$. Usando la fórmula de la diferencia de cuadrados, tenemos:
$latex x(x^2-64)=x(x+8)(x-8)$
Paso 3: Ya no podemos factorizar.
EJERCICIO 9
Factoriza la expresión $latex (y-3)^2-(y+5)^2$.
Solución
Paso 1: No tenemos nada para factorizar.
Paso 2: En este caso, tenemos que a es igual a $latex (y-3)$ y b es igual a $latex (y+5)$. Entonces, usamos la fórmula de la diferencia de cuadrados:
$$[(y-3)+(y+5)][(y-3)-(y-5)]$$
Paso 3: Aquí podemos combinar términos semejantes y simplificar:
$latex =[2y+2][2]$
$latex =4y+4$
EJERCICIO 10
Factoriza la expresión $latex 16(x+y)^2-25(x-2y)^2$.
Solución
Paso 1: No tenemos nada para factorizar.
Paso 2: Empezamos escribiendo a la expresión de la siguiente forma:
$latex (4(x+y))^2-(5(x-2y))^2$
Aquí, tenemos que a es igual a $latex 4(x+y)$ y b es igual a $latex 5(x-2y)$. Entonces, usamos la fórmula de la diferencia de cuadrados:
$$[4(x+y)+5(x-2y)][4(x+y)-5(x-2y)]$$
Paso 3: Aquí podemos expandir, combinar términos semejantes y simplificar:
$$=[4x+4y+5x-10y][4x+4y-5x+10y]$$
$latex =(9x-6y)(-x+14y)$
Ejercicios de diferencia de cuadrados para resolver
Factoriza la expresión $latex x^3-144x$. usando la diferencia de cuadrados.
Escribe la respuesta en la casilla.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
