Las asíntotas de una función son valores a los que una función se acerca a medida que los valores de x se acercan a un valor específico. Por ejemplo, una función puede acercarse, pero nunca topar al eje x a medida que los valores de x tienden a infinito.
A continuación, veremos un resumen de los tres tipos de asíntotas que pueden tener las funciones. Además, veremos varios ejercicios de asíntotas resueltos para aprender a encontrar las asíntotas de funciones.
Resumen y ejercicios de asíntotas verticales
Para encontrar las asíntotas verticales de una función, tenemos que examinar los factores del denominador que no son comunes con los factores del numerador. Los ceros de estos factores representan a las asíntotas verticales.
Podemos usar los siguientes pasos para identificar las asíntotas verticales de funciones racionales:
Paso 1: Si es que es posible, factoriza al numerador y al denominador.
Paso 2: Determina si es que el dominio de la función tiene alguna restricción.
Paso 3: Cancela factores comunes si los hay para simplificar a la expresión.
Paso 4: Si es que en la versión simplificada hay algún valor que hace que el denominador sea cero, entonces, esos valores representan a las asíntotas verticales.
EJERCICIO 1
Considerando la función racional $latex f(x)= \frac{{{x}^2}+2x-3}{{{x}^2}-5x-6}$, encuentra sus asíntotas verticales.
Solución: Podemos factorizar tanto al numerador como al denominador de la siguiente manera:
$latex f(x)= \frac{(x+3)(x-1)}{(x-6)(x+1)}$
Mirando al denominador, sabemos que x no puede ser ni 6 ni -1 ya que tendríamos división por cero. La siguiente es la gráfica de la función racional:
En la gráfica vemos que las curvas evitan las líneas verticales $latex x=6$ y $latex x=-1$. Los valores de x no pueden ser iguales ni a 6 ni a -1, por lo que estas son las asíntotas. Podemos trazar a las asíntotas verticales como líneas entrecortadas:
EJERCICIO 2
Dada la función $latex g(x)= \frac{x+2}{{{x}^2}+2x-8}$, encuentra sus asíntotas verticales.
Solución: Aquí, solo tenemos que factorizar al denominador:
$latex f(x)= \frac{x+2}{(x+4)(x-2)}$
Mirando al denominador, sabemos que x no puede ser igual a $latex x=-4$ o $latex x=2$ ya que esto causaría división por cero. Esto nos indica que las asíntotas verticales de la función están ubicadas en $latex x=-4$ y $latex x=2$:
Inténtalo tú mismo – Resuelve el ejercicio
Resumen y ejercicios de asíntotas horizontales
Para encontrar las asíntotas horizontales de funciones racionales, podemos usar los siguientes métodos que varían dependiendo en cómo se comparan los grado del polinomio en el numerador y en el denominador de la función:
- Cuando el grado del polinomio en el numerador es igual al grado del polinomio en el denominador, dividimos los coeficientes líder (de la variable con mayor exponente) para obtener las asíntotas horizontales.
- Cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador, tenemos la asíntota horizontal $latex y=0$.
- Cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, entonces, la función no tiene asíntotas horizontales.
Veamos algunos ejercicios:
EJERCICIO 1
Dada la función $latex g(x)= \frac{x+2}{2x}$, determina sus asíntotas horizontales.
Solución: Tanto en el numerador como en el denominador, tenemos un polinomio de grado 1. Entonces, encontramos la asíntota horizontal al considerar los coeficientes de x.
Por lo tanto, la asíntota horizontal de la función es $latex y= \frac{1}{2}$:
EJERCICIO 2
Dada la función $latex g(x)= \frac{x}{{{x}^2}+2}$, determina sus asíntotas horizontales.
Solución: En esta función, el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Esto significa que la asíntota horizontal está ubicada en $latex y=0$:
EJERCICIO 3
Dada la función $latex f(x)= \frac{{{x}^2}+2}{x+1}$, encuentra sus asíntotas horizontales.
Solución: Vemos que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador. Esto significa que la función no tiene una asíntota horizontal:
Inténtalo tú mismo – Resuelve los ejercicios
→ Calculadora de Asíntotas de Funciones
Resumen y ejercicios de asíntotas oblícuas
Las asíntotas oblícuas, también denominadas inclinadas, pueden ser determinadas al comparar el grado del numerador y el grado del denominador.
Cuando el grado del numerador es exactamente uno más que el grado del denominador, entonces, la función racional producirá una gráfica que se verá aproximadamente como una recta inclinada con complicadas divergencias en el medio.
La asíntota de este tipo de función es llamada una asíntota oblícua o inclinada.
Para obtener la ecuación de esta asíntota, debemos realizar división de polinomios larga. La ecuación de la asíntota es la parte entera del resultado de la división.
EJERCICIO
Dada la función $latex f(x)=\frac{-3{{x}^2}+2}{x-1}$, determina su asíntota oblícua.
Solución: Tenemos que realizar la división larga de esta función racional:
El cociente de la división, ubicado en la parte superior, es la expresión lineal $latex -3x-3$. El residuo está ubicado en la parte de abajo. Entonces, luego de la división, convertimos a la función en una expresión mixta:
$latex f(x)=-3x-3+\frac{-1}{x-1}$
La asíntota oblícua de la función es la línea $latex y=-3x-3$, es decir, la parte entera de la división:
Inténtalo tú mismo – Resuelve el ejercicio
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
