La fórmula general cuadrática nos permite resolver cualquier tipo de ecuaciones cuadráticas. Esta fórmula es extremadamente útil, ya que algunas ecuaciones no pueden ser resueltas por factorización.
A continuación, veremos un resumen de la fórmula general cuadrática. Además, exploraremos varios ejercicios con la fórmula general para dominar completamente la resolución de ecuaciones cuadráticas con esta fórmula.
Resumen de la fórmula general cuadrática
Una de las maneras más simples para resolver una ecuación cuadrática con la forma general $latex a{{x}^2}+bx+c=0$ es usando factorización y resolver para cada factor. Sin embargo, muchas veces la ecuación cuadrática no puede ser factorizada fácilmente.
En estos casos, podemos usar la fórmula general cuadrática, ya que con esta fórmula, podemos encontrar las soluciones de cualquier ecuación cuadrática.
La ecuación cuadrática usa los coeficientes números de la ecuación a, b y c. Esta fórmula es derivada del proceso de completar el cuadrado. Para una ecuación cuadrática $latex a{{x}^2}+bx+c=0$, los valores de x que son las soluciones de la ecuación son dados por:
| $latex x=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}$ |
Para que la fórmula cuadrática funcione, siempre debemos colocar a la ecuación en la forma “(cuadrática)=0”. Además, debemos ser cuidados con cada uno de los números que colocamos en la fórmula. Por ejemplo, el “2a” está debajo de toda la expresión, no solo de la raíz cuadrada.
También, siempre debemos colocar el signo “más/menos” ya que esto nos permitirá obtener ambas soluciones a la ecuación cuadrática.
Ejercicios con la fórmula general resueltos
La fórmula general detallada arriba es usada para resolver estos ejercicios de ecuaciones cuadráticas. Es recomendable que intentes resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.
EJERCICIO 1
Usa la fórmula cuadrática para encontrar las soluciones de la ecuación $latex {{x}^2}-4x+3=0$.
Solución
En esta ecuación, tenemos $latex a=1$, $latex b=-4$ y $latex c=3$. Entonces, reemplazando estos valores en la fórmula cuadrática, tenemos:
$latex x=\frac{{-(-4)\pm \sqrt{{{{{(-4)}}^{2}}-4( 1 )(3)}}}}{{2(1)}}$
$latex =\frac{{4\pm \sqrt{{16-12}}}}{2}$
$latex =\frac{{4\pm \sqrt{{4}}}}{2}$
$latex =\frac{{4\pm 2}}{2}$
$latex =\frac{{4+2}}{2},~~\frac{{4-2}}{2}$
$latex =\frac{{6}}{2},~\frac{2}{2}=3,~1$
Entonces, las soluciones son $latex x=3$ y $latex x=1$.
EJERCICIO 2
Encuentra las soluciones de la ecuación cuadrática $latex {{x}^2}+3x-10=0$.
Solución
Aquí, tenemos los coeficientes $latex a=1$, $latex b=3$ y $latex c=-10$. Usando la fórmula cuadrática con estos valores, tenemos:
$latex x=\frac{{-(3)\pm \sqrt{{{{{(3)}}^{2}}-4( 1 )(-10)}}}}{{2(1)}}$
$latex =\frac{{-3\pm \sqrt{{9+40}}}}{2}$
$latex =\frac{{-3\pm \sqrt{{49}}}}{2}$
$latex =\frac{{-3\pm 7}}{2}$
$latex =\frac{{-3+7}}{2},~~\frac{{-3-7}}{2}$
$latex =\frac{{4}}{2},~\frac{-10}{2}=2,~-5$
Entonces, las soluciones son $latex x=2$ y $latex x=-5$.
EJERCICIO 3
Resuelve la ecuación cuadrática $latex 4{{x}^2}+8x-12=0$.
Solución
En esta ecuación, podemos reconocer los valores $latex a=4$, $latex b=8$ y $latex c=-12$. Entonces, usando la fórmula cuadrática con estos valores, tenemos:
$latex x=\frac{{-(8)\pm \sqrt{{{{{(8)}}^{2}}-4( 4 )(-12)}}}}{{2(4)}}$
$latex =\frac{{-8\pm \sqrt{{64+192}}}}{8}$
$latex =\frac{{-8\pm \sqrt{{256}}}}{8}$
$latex =\frac{{-8\pm 16}}{8}$
$latex =\frac{{-8+16}}{8},~~\frac{{-8-16}}{8}$
$latex =\frac{{8}}{8},~\frac{-24}{8}=1,~-3$
Entonces, las soluciones son $latex x=1$ y $latex x=-3$.
EJERCICIO 4
Encuentra las soluciones a la ecuación $latex 3{{x}^2}-7x-6=0$.
Solución
En este caso, tenemos los valores $latex a=3$, $latex b=-7$ y $latex c=-6$. Entonces, reemplazando estos valores en la fórmula, tenemos:
$latex x=\frac{{-(-7)\pm \sqrt{{{{{(-7)}}^{2}}-4( 3 )(-6)}}}}{{2(3)}}$
$latex =\frac{{7\pm \sqrt{{49+72}}}}{6}$
$latex =\frac{{7\pm \sqrt{{121}}}}{6}$
$latex =\frac{{7\pm 11}}{6}$
$latex =\frac{{7+11}}{6},~~\frac{{7-11}}{6}$
$latex =\frac{{18}}{6},~\frac{-4}{6}=3,~-\frac{2}{3}$
Entonces, las soluciones son $latex x=3$ y $latex x=-\frac{2}{3}$.
EJERCICIO 5
Encuentra las soluciones a la ecuación cuadrática $latex 4{{x}^2}+12x+9=0$.
Solución
Usando los valores $latex a=4$, $latex b=12$ y $latex c=9$ con la fórmula cuadrática general, tenemos:
$latex x=\frac{{-( 12 )\pm \sqrt{{{{{(12)}}^{2}}-4( 4)(9)}}}}{{2(4)}}$
$latex =\frac{{-12\pm \sqrt{{144-144}}}}{8}$
$latex =\frac{{-12\pm \sqrt{{0}}}}{8}$
$latex =\frac{{-12\pm 0}}{8}$
$latex =\frac{{-12}}{8}=-\frac{{3}}{2}$
Vemos que obtuvimos un cero dentro de la raíz cuadrada. Esto significa que no obtenemos ningún cambio al sumar o restar cero.Por lo tanto, la única solución es $latex x=-\frac{{3}}{2}$.
EJERCICIO 6
Encuentra las soluciones a la ecuación cuadrática $latex 2{{x}^2}+4x+8=0$.
Solución
Podemos identificar los valores $latex a=2$, $latex b=4$ y $latex c=8$. Entonces, usando la fórmula cuadrática general con estos valores, tenemos:
$latex x=\frac{{-( 4 )\pm \sqrt{{{{{( 4)}}^{2}}-4( 2)( 8 )}}}}{{2( 2 )}}$
$latex =\frac{{-4\pm \sqrt{{16-64}}}}{4}$
$latex =\frac{{-4\pm \sqrt{{-48}}}}{4}$
En este caso, obtuvimos un número negativo dentro de la raíz cuadrada. Sabemos que no podemos resolver esto si es que estamos restringidos a los números reales. Por lo tanto, podemos simplemente decir que esta ecuación no tiene soluciones reales.
Sin embargo, si es que tenemos conocimiento de números complejos, podemos resolver la ecuación de la siguiente manera:
$latex =\frac{{-4\pm \sqrt{{-48}}}}{4}=\frac{{-4\pm 4\sqrt{{-3}}}}{4}$
$latex =\frac{{-4\pm 4\sqrt{{3}}i}}{4}$
$latex =-1\pm \sqrt{3}i$
Entonces, la solución de este tipo de ecuaciones depende en si estamos restringidos a los números reales o si también podemos considerar a los números complejos:
Sólo números reales: no existe solución.
Números complejos: la solución es $latex =-1\pm \sqrt{3}i$.
Ejercicios con la fórmula general para resolver
Usa la fórmula general cuadrática para resolver los siguientes ejercicios. Escoge la respuesta y verifícala para comprobar que seleccionaste la correcta. Mira los ejercicios resueltos de arriba en caso de necesitar ayuda.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
