Fórmula Cuadrática General – Derivación y Ejemplos

Una forma fácil de resolver ecuaciones cuadráticas es a través de la factorización. Sin embargo, muchas de las ecuaciones cuadráticas no pueden ser factorizadas fácilmente. En estos casos, podemos usar la fórmula cuadrática general para resolver cualquier ecuación cuadrática.

En este artículo, aprenderemos a derivar la fórmula cuadrática y la usaremos para resolver ecuaciones.

ÁLGEBRA
ejercicios con la fórmula general

Relevante para

Aprender a resolver ecuaciones con la fórmula cuadrática.

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¿Cómo derivar la fórmula cuadrática?

La fórmula cuadrática general $latex x=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}$ es derivada usando pasos similares a los que usamos para completar el cuadrado. Esta fórmula toma en consideración el hecho que cualquier ecuación de la forma $latex a{{x}^2}+bx+c=0$ puede ser resuelta para encontrar sus raíces. Las raíces de la ecuación son puntos en donde la gráfica de la ecuación cruza al eje x.

Entonces, para encontrar las raíces de la ecuación $latex a{{x}^2}+bx+c=0$, vamos a usar los pasos usados en completar el cuadrado para obtener la fórmula general:

Paso 1: Escribimos a la ecuación en la forma general $latex a{{x}^2}+bx+c=0$, en donde a, b, y c son números reales y a≠0.

Paso 2: Movemos la constante c a la derecha de la ecuación:

$latex a{{x}^2}+bx+c-c=0-c$

$latex a{{x}^2}+bx=-c$

Paso 3: Dividimos toda la ecuación por el coeficiente a:

$latex \frac{1}{a}\left( {a{{x}^{2}}+bx=-c} \right)$

$latex {{x}^{2}}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$

Paso 4: Identificamos el coeficiente $latex \frac{b}{a}$, lo dividimos por 2, lo elevamos al cuadrado y lo simplificamos:

$latex {{\left( {\frac{{\frac{b}{a}}}{2}} \right)}^{2}}={{\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)}^{2}}=\frac{{{{b}^{2}}}}{{4{{a}^{2}}}}$

Paso 5: Sumamos el resultado del paso 4 a ambos lados de la ecuación:

$latex {{x}^{2}}+\frac{b}{a}x+\frac{{{{b}^{2}}}}{{4{{a}^{2}}}}=-\frac{c}{a}+\frac{b}{{4{{a}^{2}}}}$

Paso 6: Simplificamos el lado derecho de la ecuación:

$latex {{x}^{2}}+\frac{b}{a}x+\frac{{{{b}^{2}}}}{{4{{a}^{2}}}}=-\frac{c}{a}\left( {\frac{{4a}}{{4a}}} \right)+\frac{{{{b}^{2}}}}{{4{{a}^{2}}}}$

$latex =-\frac{{4ac}}{{4{{a}^{2}}}}+\frac{{{{b}^{2}}}}{{4{{a}^{2}}}}$

$latex {{x}^{2}}+\frac{b}{a}x+\frac{{{{b}^{2}}}}{{4{{a}^{2}}}}=\frac{{{{b}^{2}}-4ac}}{{4{{a}^{2}}}}$

Paso 7: Formamos el cuadrado del binomio en la expresión de la izquierda:

$latex {{\left( {x+\frac{b}{{2a}}} \right)}^{2}}=\frac{{{{b}^{2}}-4ac}}{{4{{a}^{2}}}}$

Paso 8: Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados y simplificamos sin olvidar el signo ± en el lado derecho:

$latex x+\frac{b}{{2a}}=\pm \sqrt{{\frac{{{{b}^{2}}-4ac}}{{4{{a}^{2}}}}}}$

Paso 9: Despejamos a la x en la izquierda y simplificamos:

$latex x+\frac{b}{{2a}}-\frac{b}{{2a}}=\pm \frac{{\sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}-\frac{b}{{2a}}$

$latex x=-\frac{b}{{2a}}\pm \frac{{\sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}$

$latex x=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}$


¿Cómo resolver ecuaciones cuadráticas con la fórmula general?

Para resolver ecuaciones cuadráticas con la fórmula cuadrática general, tenemos que empezar organizando a la ecuación en la forma $latex a{{x}^2}+bx+c=0$. Una vez tengamos la ecuación escrita en esa forma, simplemente reemplazamos los coeficientes a, b y c en la fórmula cuadrática:

$latex x=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}$

Algo importante que no debemos olvidar es el signo ±, ya que de esa forma obtendremos ambas soluciones a la ecuación cuadrática.

EJEMPLO 1

Resuelve la ecuación $latex {{x}^2}+3x-4=0$.

Solución: Usando $latex a=1$, $latex b=3$ y $latex c=-4$, tenemos:

$latex x=\frac{{-\left( 3 \right)\pm \sqrt{{{{{\left( 3 \right)}}^{2}}-4\left( 1 \right)\left( {-4} \right)}}}}{{2\left( 1 \right)}}$

$latex =\frac{{-3\pm \sqrt{{9+16}}}}{2}$

$latex =\frac{{-3\pm \sqrt{{25}}}}{2}$

$latex =\frac{{-3\pm 5}}{2}$

$latex =\frac{{-3-5}}{2},~~\frac{{-3+5}}{2}$

$latex =\frac{{-8}}{2},~\frac{2}{2}=-4,~1$

Entonces, las soluciones son $latex x=-4$ y $latex x=1$.

EJEMPLO 2

Resuelve la ecuación $latex 9{{x}^2}+12x+4=0$.

Solución: Usando $latex a=9$, $latex b=12$ y $latex c=4$ con la fórmula cuadrática general, tenemos:

$latex x=\frac{{-\left( 12 \right)\pm \sqrt{{{{{\left( 12 \right)}}^{2}}-4\left( 9 \right)\left( {4} \right)}}}}{{2\left( 9 \right)}}$

$latex =\frac{{-12\pm \sqrt{{144-144}}}}{18}$

$latex =\frac{{-12\pm \sqrt{{0}}}}{18}$

$latex =\frac{{-12\pm 0}}{18}$

$latex =\frac{{-12}}{18}=-\frac{{2}}{3}$

En este caso, obtuvimos un cero dentro de la raíz cuadrada, por lo que no otenemos ningún cambio al sumar o restar cero. Entonces, la única solución es $latex x=-\frac{{2}}{3}$.

EJEMPLO 3

Resuelve la ecuación $latex 3{{x}^2}+4x+2=0$.

Solución: Usando $latex a=3$, $latex b=4$ y $latex c=2$ con la fórmula cuadrática general, tenemos:

$latex x=\frac{{-\left( 4 \right)\pm \sqrt{{{{{\left( 4 \right)}}^{2}}-4\left( 3 \right)\left( {2} \right)}}}}{{2\left( 3 \right)}}$

$latex =\frac{{-4\pm \sqrt{{16-24}}}}{6}$

$latex =\frac{{-4\pm \sqrt{{-8}}}}{6}$

Podemos ver que obtuvimos un número negativo dentro de la raíz cuadrada. Esto no tiene solución si es que estamos restringidos a los números reales. Si es que aún no has aprendido sobre los números complejos, entonces, nos detendríamos aquí y llegaríamos a la conclusión de que esta ecuación “no tiene solución”.

Sin embargo, esto sí puede ser resuelto con conocimiento sobre números complejos:

$latex =\frac{{-4\pm \sqrt{{-8}}}}{6}=\frac{{-4\pm 2\sqrt{{-2}}}}{6}$

$latex =\frac{{-2\pm \sqrt{{2}}i}}{3}$

$latex =-\frac{2}{3}\pm \frac{{\sqrt{2}}}{3}i$

Entonces, dependiendo en si solo considerados a los números reales o también consideramos a los números complejos, tenemos las soluciones:

Solo números reales: no existe solución.

Números complejos: la solución es $latex =-\frac{2}{3}\pm \frac{{\sqrt{2}}}{3}i$.


Inténtalo tú mismo – Resuelve los ejercicios

Resuelve la ecuación $latex -3{{x}^2}-24x-48=0$.

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Resuelve la ecuación $latex 2{{x}^2}-4x-3=0$.

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Encuentra el valor de x en la ecuación $latex 5{{x}^2}+6x+1=0$.

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