Derivada de x ln(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas

La derivada de x multiplicada por el logaritmo natural de x, simbolizada como x ln(x), es la diferenciación de una variable x multiplicada por el logaritmo de x en base e (número de Euler). La derivada de x ln(x) es igual a 1+ln(x). Esta derivada se puede encontrar usando la regla del producto de derivadas.

En este artículo, veremos cómo obtener la derivada de x ln(x). Revisaremos algunos principios, definiciones, fórmulas, comparaciones gráficas de x ln(x) derivadas y no derivadas, demostraciones, técnicas de derivación y ejemplos.

CÁLCULO
Derivada de x ln(x)

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de x ln(x).

Ver demostración

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Derivada de x ln(x)

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de x ln(x).

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Demostraciones de la derivada del logaritmo natural, x ln(x)

A continuación se enumeran las demostraciones de la derivada de \(x\ln{(x)}\). Estas demostraciones también pueden servir como los métodos principales para derivar esta función.

Demostración de la derivada de x ln(x) usando la fórmula de la regla del producto

En el proceso de derivada de \(x\ln{(x)}\), se usa la regla del producto ya que el logaritmo natural de x se multiplica por otra x. Aquí, tenemos dos multiplicandos. Son dos funciones multiplicadas juntas que no podemos simplificar algebraicamente.

Puedes revisar la fórmula de la regla del producto consultando este artículo: Regla del Producto. También puedes consultar este artículo para ver la demostración de la derivada del logaritmo natural usando límites: Derivada de Logaritmo Natural (ln(x)).

Tenemos la función

$$ f(x) = x\ln{(x)}$$

Podemos averiguar las dos funciones que se multiplican. Hay una función logarítmica natural y un monomio en este caso. Al establecer el primer multiplicando/término como u, tenemos

$$ u = x$$

y estableciendo el segundo multiplicando/término como v, tenemos

$$ v = \ln{(x)}$$

Recuerde que la fórmula del producto derivado es

$$ \frac{d}{dx} uv = u \frac{d}{dx} v + v \frac{d}{dx} u$$

Es decir, la función u por v se obtiene multiplicando u por la derivada de v y luego sumando v multiplicada por la derivada de u. Aplicando esta fórmula a nuestra función dada, tenemos

$$ \frac{d}{dx} uv = (x) \frac{d}{dx} (\ln{(x)}) + (\ln{(x)}) \frac{d}{dx} (x)$$

Evaluando la derivada de u usando la regla de la potencia y v usando la derivada del logaritmo natural, tenemos

$$ \frac{d}{dx} uv = (x) \cdot \left(\frac{1}{x} \right) + (\ln{(x)}) \cdot (1)$$

Simplificando, tenemos

$$ \frac{d}{dx} uv = \frac{x}{x} + (\ln{(x)}) $$

$$ \frac{d}{dx} uv = 1 + (\ln{(x)}) $$

Como resultado, llegamos a la fórmula de la derivada \(x\ln{(x)}\).

$$ \frac{d}{dx} x\ln{(x)} = 1 + (\ln{(x)}) $$

Demostración de la derivada de x ln(x) usando diferenciación implícita

Se recomienda aprender/repasar las derivadas de funciones exponenciales y la diferenciación implícita para esta demostración.

Tenemos la función

$$ y = x\ln{(x)}$$

Aplicando una propiedad logarítmica, tenemos

$$ y = \ln{(x)^x}$$

$$ y = \ln{\left(x^x\right)}$$

En forma logarítmica general, tenemos

$$ \log_{e}{x^x} = y$$

Y en forma exponencial, tenemos

$$ e^y = x^x$$

Derivando implícitamente la forma exponencial en términos de x, tenemos

$$ e^y = x^x$$

$$ e^y \cdot \frac{d}{dx} = \frac{d}{dx} (x^x) $$

$$ e^y \cdot \frac{d}{dx} = \frac{d}{dx} (x^x + x^x \ln{(x)}) $$

Despejando a\( \frac{dy}{dx} \), tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x^x + x^x \ln{(x)}}{e^y} $$

Recordamos que al principio, \( y = x\ln{(x)} \) o \( y = \ln{\left(x^x\right)} \). Sustituyendo esto en la y de nuestra derivada, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x^x + x^x \ln{(x)}}{e^{\left(\ln{\left(x^x\right)}\right)}} $$

Simplificando y aplicando una propiedad del logaritmo, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x^x + x^x \ln{(x)}}{x^x} $$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x^x}{x^x} + \frac{x^x \ln{(x)}}{x^x} $$

$$ \frac{dy}{dx} = 1 + \ln{(x)} $$

Evaluando, ahora tenemos la derivada de \( y = x\ln{(x)} \)

$$ y’ = 1 + \ln{(x)} $$


Gráfica de x ln(x) vs. su derivada

Tenemos la función

$$ f(x) = x\ln{(x)}$$

y su gráfica es

Gráfica de xlnx

Y como aprendimos anteriormente, al derivar \(f(x) = x\ln{(x)}\), tenemos

$$ f'(x) = 1 + \ln{(x)}$$

que se ilustra gráficamente como

Gráfica de la derivada de xlnx

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Gráfica de xlnx y su derivada

Al examinar las diferencias entre estas funciones usando estos gráficas, puedes ver que la función original \(f(x) = x\ln{(x)}\) tiene un dominio de

\( (0,\infty) \) o \( x | x > 0 \)

y se encuentra dentro del rango de

\( \left[-\frac{1}{e}, \infty \right) \) o \( y | y \geq -\frac{1}{e} \)

mientras que la derivada \(f'(x) = 1 + \ln{(x)}\) tiene un dominio de

\( (0,\infty) \) o \( x | x > 0 \)

que se encuentra dentro del rango de

\( (-\infty,\infty) \) o todos los números reales


Ejemplos

El siguiente ejemplo muestra cómo derivar una variable multiplicada por el logarítmico natural de la misma variable utilizando la fórmula de la regla del producto.

EJEMPLO 1

Derive: \(f(\beta) = \beta\ln{(\beta)}\)

Solución: Usando la fórmula de la regla del producto, tenemos

Paso 1: Analiza si \( \beta\ln{(\beta)} \) es una función de la misma variable \(\beta\). En este problema, lo es. Por lo tanto, continúe con el paso 2.

Paso 2: Establece el primer multiplicando/término de \(f(\beta) \) como u y el segundo como v.

$$ u = \beta$$

$$ v = \ln{(\beta)} $$

Paso 3: Aplicar la fórmula de la regla del producto.

$$ \frac{d}{d\beta} uv = u \frac{d}{d\beta} v + v \frac{d}{d\beta} u$$

$$ \frac{d}{d\beta} uv = (\beta) \frac{d}{d\beta} (\ln{(\beta)}) + (\ln{(\beta)}) \frac{d}{d\beta} (\beta)$$

Paso 4: Evalúa las derivadas de u y v.

$$ \frac{d}{d\beta} uv = (\beta) \cdot \left(\frac{1}{\beta}\right) + (\ln{(\beta)}) \cdot (1)$$

Paso 5: Simplifique y declare la respuesta final.

$$ \frac{d}{d\beta} uv = \left(\frac{\beta}{\beta}\right) + (\ln{(\beta)})$$

La respuesta final es:

$$ \frac{d}{d\beta} \beta\ln{(\beta)} = 1 + \ln{(\beta)} $$


Véase también

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