Derivada de x ln(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas

La derivada de x multiplicada por el logaritmo natural de x, x ln(x) es igual a 1+ln(x). Esta derivada se puede encontrar usando la regla del producto de derivadas.

En este artículo, veremos cómo obtener la derivada de x ln(x). Revisaremos algunos principios, comparaciones gráficas de x ln(x) derivadas y no derivadas y demostraciones.

CÁLCULO
Derivada de x ln(x)

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de x ln(x).

Ver demostración

CÁLCULO
Derivada de x ln(x)

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de x ln(x).

Ver demostración

Demostraciones de la derivada del logaritmo natural, x ln(x)

A continuación se enumeran las demostraciones de la derivada de \(x\ln{(x)}\). Estas demostraciones también pueden servir como los métodos principales para derivar esta función.

Demostración de la derivada de x ln(x) usando la fórmula de la regla del producto

En el proceso de derivada de \(x\ln{(x)}\), se usa la regla del producto ya que el logaritmo natural de x se multiplica por otra x. Aquí, tenemos dos multiplicandos. Son dos funciones multiplicadas juntas que no podemos simplificar algebraicamente.

Puedes revisar la fórmula de la regla del producto consultando este artículo: Regla del Producto. También puedes consultar este artículo para ver la demostración de la derivada del logaritmo natural usando límites: Derivada de Logaritmo Natural (ln(x)).

Tenemos la función

$$ f(x) = x\ln{(x)}$$

Podemos averiguar las dos funciones que se multiplican. Hay una función logarítmica natural y un monomio en este caso. Al establecer el primer multiplicando/término como u, tenemos

$$ u = x$$

y estableciendo el segundo multiplicando/término como v, tenemos

$$ v = \ln{(x)}$$

Recuerde que la fórmula del producto derivado es

$$ \frac{d}{dx} uv = u \frac{d}{dx} v + v \frac{d}{dx} u$$

Es decir, la función u por v se obtiene multiplicando u por la derivada de v y luego sumando v multiplicada por la derivada de u. Aplicando esta fórmula a nuestra función dada, tenemos

$$ \frac{d}{dx} uv = (x) \frac{d}{dx} (\ln{(x)}) + (\ln{(x)}) \frac{d}{dx} (x)$$

Evaluando la derivada de u usando la regla de la potencia y v usando la derivada del logaritmo natural, tenemos

$$ \frac{d}{dx} uv = (x) \cdot \left(\frac{1}{x} \right) + (\ln{(x)}) \cdot (1)$$

Simplificando, tenemos

$$ \frac{d}{dx} uv = \frac{x}{x} + (\ln{(x)}) $$

$$ \frac{d}{dx} uv = 1 + (\ln{(x)}) $$

Como resultado, llegamos a la fórmula de la derivada \(x\ln{(x)}\).

$$ \frac{d}{dx} x\ln{(x)} = 1 + (\ln{(x)}) $$

Demostración de la derivada de x ln(x) usando diferenciación implícita

Se recomienda aprender/repasar las derivadas de funciones exponenciales y la diferenciación implícita para esta demostración.

Tenemos la función

$$ y = x\ln{(x)}$$

Aplicando una propiedad logarítmica, tenemos

$$ y = \ln{(x)^x}$$

$$ y = \ln{\left(x^x\right)}$$

En forma logarítmica general, tenemos

$$ \log_{e}{x^x} = y$$

Y en forma exponencial, tenemos

$$ e^y = x^x$$

Derivando implícitamente la forma exponencial en términos de x, tenemos

$$ e^y = x^x$$

$$ e^y \cdot \frac{d}{dx} = \frac{d}{dx} (x^x) $$

$$ e^y \cdot \frac{d}{dx} = \frac{d}{dx} (x^x + x^x \ln{(x)}) $$

Despejando a\( \frac{dy}{dx} \), tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x^x + x^x \ln{(x)}}{e^y} $$

Recordamos que al principio, \( y = x\ln{(x)} \) o \( y = \ln{\left(x^x\right)} \). Sustituyendo esto en la y de nuestra derivada, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x^x + x^x \ln{(x)}}{e^{\left(\ln{\left(x^x\right)}\right)}} $$

Simplificando y aplicando una propiedad del logaritmo, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x^x + x^x \ln{(x)}}{x^x} $$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x^x}{x^x} + \frac{x^x \ln{(x)}}{x^x} $$

$$ \frac{dy}{dx} = 1 + \ln{(x)} $$

Evaluando, ahora tenemos la derivada de \( y = x\ln{(x)} \)

$$ y’ = 1 + \ln{(x)} $$


Gráfica de x ln(x) vs. su derivada

Tenemos la función

$$ f(x) = x\ln{(x)}$$

y su gráfica es

Gráfica de xlnx

Y como aprendimos anteriormente, al derivar \(f(x) = x\ln{(x)}\), tenemos

$$ f'(x) = 1 + \ln{(x)}$$

que se ilustra gráficamente como

Gráfica de la derivada de xlnx

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Gráfica de xlnx y su derivada

Al examinar las diferencias entre estas funciones usando estos gráficas, puedes ver que la función original \(f(x) = x\ln{(x)}\) tiene un dominio de

\( (0,\infty) \) o \( x | x > 0 \)

y se encuentra dentro del rango de

\( \left[-\frac{1}{e}, \infty \right) \) o \( y | y \geq -\frac{1}{e} \)

mientras que la derivada \(f'(x) = 1 + \ln{(x)}\) tiene un dominio de

\( (0,\infty) \) o \( x | x > 0 \)

que se encuentra dentro del rango de

\( (-\infty,\infty) \) o todos los números reales


Véase también

¿Interesado en aprender más sobre derivadas de funciones logarítmicas? Mira estas páginas:

Imagen de perfil del autor Jefferson Huera Guzman

Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

Explora nuestros recursos de matemáticas.

Explorar