La derivada de x multiplicada por el logaritmo natural de x, x ln(x) es igual a 1+ln(x). Esta derivada se puede encontrar usando la regla del producto de derivadas.
En este artículo, veremos cómo obtener la derivada de x ln(x). Revisaremos algunos principios, comparaciones gráficas de x ln(x) derivadas y no derivadas y demostraciones.
Demostraciones de la derivada del logaritmo natural, x ln(x)
A continuación se enumeran las demostraciones de la derivada de \(x\ln{(x)}\). Estas demostraciones también pueden servir como los métodos principales para derivar esta función.
Demostración de la derivada de x ln(x) usando la fórmula de la regla del producto
En el proceso de derivada de \(x\ln{(x)}\), se usa la regla del producto ya que el logaritmo natural de x se multiplica por otra x. Aquí, tenemos dos multiplicandos. Son dos funciones multiplicadas juntas que no podemos simplificar algebraicamente.
Puedes revisar la fórmula de la regla del producto consultando este artículo: Regla del Producto. También puedes consultar este artículo para ver la demostración de la derivada del logaritmo natural usando límites: Derivada de Logaritmo Natural (ln(x)).
Tenemos la función
$$ f(x) = x\ln{(x)}$$
Podemos averiguar las dos funciones que se multiplican. Hay una función logarítmica natural y un monomio en este caso. Al establecer el primer multiplicando/término como u, tenemos
$$ u = x$$
y estableciendo el segundo multiplicando/término como v, tenemos
$$ v = \ln{(x)}$$
Recuerde que la fórmula del producto derivado es
$$ \frac{d}{dx} uv = u \frac{d}{dx} v + v \frac{d}{dx} u$$
Es decir, la función u por v se obtiene multiplicando u por la derivada de v y luego sumando v multiplicada por la derivada de u. Aplicando esta fórmula a nuestra función dada, tenemos
$$ \frac{d}{dx} uv = (x) \frac{d}{dx} (\ln{(x)}) + (\ln{(x)}) \frac{d}{dx} (x)$$
Evaluando la derivada de u usando la regla de la potencia y v usando la derivada del logaritmo natural, tenemos
$$ \frac{d}{dx} uv = (x) \cdot \left(\frac{1}{x} \right) + (\ln{(x)}) \cdot (1)$$
Simplificando, tenemos
$$ \frac{d}{dx} uv = \frac{x}{x} + (\ln{(x)}) $$
$$ \frac{d}{dx} uv = 1 + (\ln{(x)}) $$
Como resultado, llegamos a la fórmula de la derivada \(x\ln{(x)}\).
$$ \frac{d}{dx} x\ln{(x)} = 1 + (\ln{(x)}) $$
Demostración de la derivada de x ln(x) usando diferenciación implícita
Se recomienda aprender/repasar las derivadas de funciones exponenciales y la diferenciación implícita para esta demostración.
Tenemos la función
$$ y = x\ln{(x)}$$
Aplicando una propiedad logarítmica, tenemos
$$ y = \ln{(x)^x}$$
$$ y = \ln{\left(x^x\right)}$$
En forma logarítmica general, tenemos
$$ \log_{e}{x^x} = y$$
Y en forma exponencial, tenemos
$$ e^y = x^x$$
Derivando implícitamente la forma exponencial en términos de x, tenemos
$$ e^y = x^x$$
$$ e^y \cdot \frac{d}{dx} = \frac{d}{dx} (x^x) $$
$$ e^y \cdot \frac{d}{dx} = \frac{d}{dx} (x^x + x^x \ln{(x)}) $$
Despejando a\( \frac{dy}{dx} \), tenemos
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x^x + x^x \ln{(x)}}{e^y} $$
Recordamos que al principio, \( y = x\ln{(x)} \) o \( y = \ln{\left(x^x\right)} \). Sustituyendo esto en la y de nuestra derivada, tenemos
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x^x + x^x \ln{(x)}}{e^{\left(\ln{\left(x^x\right)}\right)}} $$
Simplificando y aplicando una propiedad del logaritmo, tenemos
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x^x + x^x \ln{(x)}}{x^x} $$
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x^x}{x^x} + \frac{x^x \ln{(x)}}{x^x} $$
$$ \frac{dy}{dx} = 1 + \ln{(x)} $$
Evaluando, ahora tenemos la derivada de \( y = x\ln{(x)} \)
$$ y’ = 1 + \ln{(x)} $$
Gráfica de x ln(x) vs. su derivada
Tenemos la función
$$ f(x) = x\ln{(x)}$$
y su gráfica es
Y como aprendimos anteriormente, al derivar \(f(x) = x\ln{(x)}\), tenemos
$$ f'(x) = 1 + \ln{(x)}$$
que se ilustra gráficamente como
Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos
Al examinar las diferencias entre estas funciones usando estos gráficas, puedes ver que la función original \(f(x) = x\ln{(x)}\) tiene un dominio de
\( (0,\infty) \) o \( x | x > 0 \)
y se encuentra dentro del rango de
\( \left[-\frac{1}{e}, \infty \right) \) o \( y | y \geq -\frac{1}{e} \)
mientras que la derivada \(f'(x) = 1 + \ln{(x)}\) tiene un dominio de
\( (0,\infty) \) o \( x | x > 0 \)
que se encuentra dentro del rango de
\( (-\infty,\infty) \) o todos los números reales
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
