El logaritmo natural, también denominado ln(x), es el logaritmo de x en base e (número de Euler). La derivada del logaritmo natural es igual a uno sobre x, 1/x. Podemos demostrar esta derivada usando límites o diferenciación implícita.
En este artículo, veremos cómo derivar la función logarítmica natural. Repasaremos algunos fundamentos, definiciones, fórmulas, comparaciones gráficas de ln(x) y su derivada, demostraciones, y algunos ejemplos.
CÁLCULO
Relevante para…
Aprender a demostrar la derivada del logaritmo natural, ln(x).
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Aprender a demostrar la derivada del logaritmo natural, ln(x).
Demostración de la derivada del logaritmo natural de x
Demostración de la derivada de ln(x) usando límites
Antes de aprender la demostración de la derivada de la función logarítmica natural, se recomienda aprender/repasar el primer principio de los límites, el número de Euler y la regla de L’hopital como requisitos previos.
Para repasar, cualquier función se puede derivar igualándola al límite de
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$
Supongamos que nos piden obtener la derivada de
$$ f(x) = \ln{(x)}$$
entonces, tenemos
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \ln{(x+h)} – \ln{(x)} }{h}}$$
Con esta ecuación aún no es posible expresar el límite debido al denominador h donde si se sustituye por cero, quedará indefinido. Por tanto, podemos comprobar si aplicar algunas propiedades de los logaritmos puede resultar útil.
La propiedad de división del logaritmo establece que el logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos. Podemos observar que el numerador cumple esta condición. Aplicando esto, tenemos
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \ln{(x+h)} – \ln{(x)} }{h}}$$
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \ln{\left(\frac{x+h}{x} \right)} }{h}}$$
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} { \ln{\left(\frac{x+h}{x} \right)} \cdot \frac{1}{h}}$$
Reordenando, tenemos
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} { \frac{1}{h} \cdot \ln{\left(\frac{x+h}{x} \right)} }$$
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} { \frac{1}{h} \cdot \ln{\left(1 + \frac{h}{x} \right)} }$$
Podemos intentar eliminar el denominador h sustituyendo
$$ h = vx $$
en donde
$$ v = \frac{h}{x} $$
lo que prueba algebraicamente que cuando h tiende a 0, v también tiende a 0.
Sustituyendo, tenemos
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{v \to 0} { \frac{1}{vx} \cdot \ln{\left(1 + v \right)} }$$
Reorganizando, tenemos
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{v \to 0} { \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{v} \ln{\left(1 + v \right)} }$$
Ahora podemos evaluar el límite de \(\frac{1}{x}\) cuando v tiende a 0
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim \limits_{v \to 0} { \frac{1}{v} \ln{\left(1 + v \right)} }$$
Al aplicar la propiedad de la potencia de los logaritmos a nuestro límite restante, tenemos
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim \limits_{v \to 0} { \left( \ln{\left(1 + v \right)} \right)^{\frac{1}{v}} }$$
Como te darás cuenta, el logaritmo natural que tenemos en el límite restante ahora es exactamente la definición matemática del número de Euler e.
Si es que
$$ (1 + v)^{\frac{1}{v}} = e $$
basado en la definición de número de Euler, entonces
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim \limits_{v \to 0} {\ln{(e)}}$$
Evaluando ln(e), sabemos que es igual a uno. Por lo tanto, tenemos
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim \limits_{v \to 0} {(1)}$$
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{x} \cdot (1)$$
Por tanto, la derivada del logaritmo natural en forma de \(\ln{(x)}\) es:
$$ \frac{d}{dx} (\ln{(x)}) = \frac{1}{x}$$
Alternativamente, en lugar de la definición de número de Euler, también podemos evaluar el mismo límite restante aplicando la regla de L’hopital.
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim \limits_{v \to 0} { \frac{1}{v} \ln{\left(1 + v \right)} }$$
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim \limits_{v \to 0} { \frac{\ln{\left(1 + v \right)}}{v} }$$
Este límite restante satisface la condición \(\frac{0}{0}\). Evaluando tenemos
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim \limits_{v \to 0} { \frac{\ln{\left(1 + v \right)}}{v} }$$
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim \limits_{v \to 0} { \frac{ \frac{1}{1+v} }{1} }$$
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim \limits_{v \to 0} { \frac{1}{1+v} }$$
Evaluando sustituyendo el valor de aproximación de v, tenemos
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim \limits_{v \to 0} { \frac{1}{1+(0)} }$$
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim \limits_{v \to 0} { \frac{1}{1} }$$
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim \limits_{v \to 0} { 1 }$$
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{x} \cdot (1)$$
$$ \frac{d}{dx} (\ln{(x)}) = \frac{1}{x}$$
Demostración de la derivada de ln(x) usando diferenciación implícita
En esta demostración, se le recomienda aprender/repasar las derivadas de las funciones exponenciales y la diferenciación implícita.
Supongamos que tenemos la ecuación
$$ y = \ln{(x)}$$
En forma logarítmica general, es
$$ \log_{e}{x} = y$$
Y en forma exponencial es
$$ e^y = x$$
Derivando implícitamente la forma exponencial en términos de x, tenemos
$$ e^y = x$$
$$ \frac{d}{dx} (e^y) = \frac{d}{dx} (x) $$
$$ e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 $$
Aislando \(\frac{dy}{dx}\), tenemos
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} $$
Recordemos que, \(y = \ln{(x)}\). Sustituyendo esto en la y de nuestra derivada, tenemos
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^{(\ln{(x)})}} $$
Evaluando, ahora tenemos la derivada de \(y = \ln{(x)}\)
$$ y’ = \frac{1}{x} $$
Gráfica de ln(x) vs. su derivada
Dada la función
$$ f(x) = \ln{(x)}$$
su gráfica es
Y como ya sabemos, al derivar \(f(x) = \ln{(x)}\), obtenemos
$$ f'(x) = \frac{1}{x}$$
que se ilustra gráficamente como
Comparando ambas gráficas en una, tenemos
Usando sus gráficas, se puede observar que la función original \(f(x) = \ln{(x)}\) tiene un dominio de
\( (0,\infty) \) o \( x | x > 0 \)
y existe dentro del rango de
\( (-\infty, \infty) \) o todos los números reales
mientras que la derivada \(f'(x) = \frac{1}{x}\) tiene un dominio de
\( (-\infty,0) \cup (0,\infty) \) o \( x | x \neq 0 \)
y existe dentro del rango de
\( (-\infty,0) \cup (0,\infty) \) o \( y | y \neq 0 \)
Ejemplos
Los siguientes ejemplos muestran cómo derivar una función logaritmo natural compuesta.
EJEMPLO 1
Encuentra la derivada de $latex f(x) = \ln(4x)$
Solución
Esta es una función logaritmo natural compuesta, por lo que podemos usar la regla de la cadena para derivarla.
Considerando a $latex u=4x$ como la función interna, podemos escribir $latex f(u)=\ln(u)$. Entonces, al usar la regla de la cadena, tenemos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{u} \times 4$$
Sustituyendo $latex u=4x$ de vuelta en la función, tenemos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{4}{4x}$$
EJEMPLO 2
Determina la derivada de $latex F(x) = \ln(4x^2-6x)$.
Solución
Vamos a usar la regla de la cadena. Entonces, consideramos a $latex u=4x^2-6x$ como la función interna y $latex f(u)=\ln(u)$ como la función externa.
Entonces, empezamos encontrando la derivada de la función externa:
$$\frac{d}{du} ( \ln(u) ) = \frac{1}{u}$$
Ahora, encontramos la derivada de la función interna, $latex g(x)$:
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx}(4x^2-6x)$$
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = 8x-6$$
Multiplicamos a la derivada de la función interna por la derivada de la función externa:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$$
$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot 8x-6$$
Por último, usamos la sustitución $latex u=4x^2-6x$ y simplificamos:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4x^2-6x} \cdot 8x-6$$
$$\frac{dy}{dx} = \frac{8x-6}{4x^2-6x}$$
$$\frac{dy}{dx} = \frac{4x-3}{2x^2-3x}$$
EJEMPLO 3
¿Cuál es la derivada de $latex f(x) = \ln(\sin(x))$?
Solución
En este caso, consideramos a $latex u=\sin(x)$ como la función interna. Entonces, $latex f(u)=\ln(u)$ es la función externa.
Usando la regla de la cadena, podemos escribir:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{u} \times \cos(x)$$
Sustituyendo $latex u=\sin(x)$ de vuelta en la función, tenemos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sin(x)} \times \cos(x)$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$$
$$\frac{dy}{dx}=\cot(x)$$
Práctica de derivadas de funciones logaritmo natural
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre derivadas de funciones logarítmicas? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
