Derivada de Logaritmo Natural (ln(x)) – Demostración y Gráficas

El logaritmo natural, también denominado ln(x), es el logaritmo de x en base e (número de Euler). La derivada del logaritmo natural es igual a uno sobre x, 1/x. Podemos demostrar esta derivada usando límites o diferenciación implícita.

En este artículo, veremos cómo derivar la función logarítmica natural. Repasaremos algunos fundamentos, definiciones, fórmulas, comparaciones gráficas de ln(x) y su derivada, demostraciones, técnicas de derivación y algunos ejemplos.

CÁLCULO
Derivada del logaritmo natural ln(x)

Relevante para

Aprender a demostrar la derivada del logaritmo natural, ln(x).

Ver demostración

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Derivada del logaritmo natural ln(x)

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Aprender a demostrar la derivada del logaritmo natural, ln(x).

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Demostración de la derivada del logaritmo natural de x

Demostración de la derivada de ln(x) usando límites

Antes de aprender la demostración de la derivada de la función logarítmica natural, se recomienda aprender/repasar el primer principio de los límites, el número de Euler y la regla de L’hopital como requisitos previos.

Para repasar, cualquier función se puede derivar igualándola al límite de

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

Supongamos que nos piden obtener la derivada de

$$ f(x) = \ln{(x)}$$

entonces, tenemos

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \ln{(x+h)} – \ln{(x)} }{h}}$$

Con esta ecuación aún no es posible expresar el límite debido al denominador h donde si se sustituye por cero, quedará indefinido. Por tanto, podemos comprobar si aplicar algunas propiedades de los logaritmos puede resultar útil.

La propiedad de división del logaritmo establece que el logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos. Podemos observar que el numerador cumple esta condición. Aplicando esto, tenemos

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \ln{(x+h)} – \ln{(x)} }{h}}$$

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \ln{\left(\frac{x+h}{x} \right)} }{h}}$$

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} { \ln{\left(\frac{x+h}{x} \right)} \cdot \frac{1}{h}}$$

Reordenando, tenemos

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} { \frac{1}{h} \cdot \ln{\left(\frac{x+h}{x} \right)} }$$

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} { \frac{1}{h} \cdot \ln{\left(1 + \frac{h}{x} \right)} }$$

Podemos intentar eliminar el denominador h sustituyendo

$$ h = vx $$

en donde

$$ v = \frac{h}{x} $$

lo que prueba algebraicamente que cuando h tiende a 0, v también tiende a 0.

Sustituyendo, tenemos

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{v \to 0} { \frac{1}{vx} \cdot \ln{\left(1 + v \right)} }$$

Reorganizando, tenemos

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{v \to 0} { \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{v} \ln{\left(1 + v \right)} }$$

Ahora podemos evaluar el límite de \(\frac{1}{x}\) cuando v tiende a 0

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim \limits_{v \to 0} { \frac{1}{v} \ln{\left(1 + v \right)} }$$

Al aplicar la propiedad de la potencia de los logaritmos a nuestro límite restante, tenemos

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim \limits_{v \to 0} { \left( \ln{\left(1 + v \right)} \right)^{\frac{1}{v}} }$$

Como te darás cuenta, el logaritmo natural que tenemos en el límite restante ahora es exactamente la definición matemática del número de Euler e.

Si es que

$$ (1 + v)^{\frac{1}{v}} = e $$

basado en la definición de número de Euler, entonces

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim \limits_{v \to 0} {\ln{(e)}}$$

Evaluando ln(e), sabemos que es igual a uno. Por lo tanto, tenemos

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim \limits_{v \to 0} {(1)}$$

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{x} \cdot (1)$$

Por tanto, la derivada del logaritmo natural en forma de \(\ln{(x)}\) es:

$$ \frac{d}{dx} (\ln{(x)}) = \frac{1}{x}$$

Alternativamente, en lugar de la definición de número de Euler, también podemos evaluar el mismo límite restante aplicando la regla de L’hopital.

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim \limits_{v \to 0} { \frac{1}{v} \ln{\left(1 + v \right)} }$$

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim \limits_{v \to 0} { \frac{\ln{\left(1 + v \right)}}{v} }$$

Este límite restante satisface la condición \(\frac{0}{0}\). Evaluando tenemos

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim \limits_{v \to 0} { \frac{\ln{\left(1 + v \right)}}{v} }$$

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim \limits_{v \to 0} { \frac{ \frac{1}{1+v} }{1} }$$

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim \limits_{v \to 0} { \frac{1}{1+v} }$$

Evaluando sustituyendo el valor de aproximación de v, tenemos

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim \limits_{v \to 0} { \frac{1}{1+(0)} }$$

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim \limits_{v \to 0} { \frac{1}{1} }$$

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim \limits_{v \to 0} { 1 }$$

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{x} \cdot (1)$$

$$ \frac{d}{dx} (\ln{(x)}) = \frac{1}{x}$$

Demostración de la derivada de ln(x) usando diferenciación implícita

En esta demostración, se le recomienda aprender/repasar las derivadas de las funciones exponenciales y la diferenciación implícita.

Supongamos que tenemos la ecuación

$$ y = \ln{(x)}$$

En forma logarítmica general, es

$$ \log_{e}{x} = y$$

Y en forma exponencial es

$$ e^y = x$$

Derivando implícitamente la forma exponencial en términos de x, tenemos

$$ e^y = x$$

$$ \frac{d}{dx} (e^y) = \frac{d}{dx} (x) $$

$$ e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 $$

Aislando \(\frac{dy}{dx}\), tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} $$

Recordemos que, \(y = \ln{(x)}\). Sustituyendo esto en la y de nuestra derivada, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^{(\ln{(x)})}} $$

Evaluando, ahora tenemos la derivada de \(y = \ln{(x)}\)

$$ y’ = \frac{1}{x} $$


¿Cómo derivar el logaritmo natural de x?

El proceso de derivada del logarítmico natural de x es muy fácil suponiendo que ya hayas aprendido los conceptos detrás del propósito de la función logarítmica y cómo llegamos a su fórmula derivada a través de sus pruebas.

MÉTODO 1: Derivada del logarítmico natural de x aplicando directamente su fórmula derivada

$$ \frac{d}{dx} \left( \ln{(x)} \right) = \frac{1}{x}$$

Paso 1: Analiza si ln(x) es una función en términos de la misma variable x. Por ejemplo, si el lado derecho de la ecuación es ln(x), comprueba si es una función de la misma variable x o f(x).

Nota: Si ln(x) es una función de una variable diferente, como f(t) o f(y), utilizará una diferenciación implícita que está fuera del alcance de este artículo.

Paso 2: luego aplique directamente la fórmula derivada de la función logarítmica natural

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$$

Si nada se va a simplificar más, entonces esa sería la respuesta final.

MÉTODO 2: Derivada del logarítmico natural de x usando la derivada de la función logarítmica general

$$ \frac{d}{dx} \left( \ln{(u)} \right) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{dx} (u)$$

Paso 1: Expresa la función como \(f(x) = \log_{e}{x}\) en lugar de \(\ln{(x)}\)

Paso 2: tenga en cuenta que la fórmula derivada de una función logarítmica general es

$$ \frac{d}{dx} (\log_{b}{x}) = \frac{1}{x\ln{(b)}}$$

donde b es cualquier número real positivo excepto 0 y 1.

Paso 3: Obtén la derivada de \(f(x) = \log_{e}{x}\) aplicando la fórmula del paso 2.

$$ \frac{d}{dx} (\log_{b}{x}) = \frac{1}{x\ln{(b)}}$$

$$ \frac{d}{dx} (\log_{e}{x}) = \frac{1}{x\ln{(e)}}$$

y evaluando ln(e), es igual a uno. Por eso,

$$ \frac{d}{dx} (\log_{e}{x}) = \frac{1}{x\cdot(1)}$$

$$ \frac{d}{dx} (\log_{e}{x}) = \frac{1}{x}$$

$$ \frac{d}{dx} (\ln{(x)}) = \frac{1}{x}$$

Si nada se va a simplificar más, entonces esa sería la respuesta final.

MÉTODO 3: Derivado del logarítmico natural de cualquier función u mediante el uso de la fórmula básica de la regla de la cadena.

Paso 1: Exprese la función como \(F(x) = \ln{(u)}\), donde u representa cualquier otra función incorporada por el logaritmo natural.

Paso 2: Considere ln(u) como la función externa f(u) y u como la función interna g(x) de la función compuesta F(x). Por lo tanto, tenemos

$$ f(u) = \ln{(u)}$$

y también

$$ g(x) = u$$

Paso 3: Obtener la derivada de la función exterior \(f(u)\), que debe usar la derivada de la función logarítmica natural, en términos de u.

$$ \frac{d}{dx} (\ln{(u)}) = \frac{1}{u}$$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función interna \(g(x) = u\) en términos de x. Use la fórmula derivada apropiada para derivarla.

$$ \frac{d}{dx} (g(x)) = \frac{d}{dx} (u)$$

Paso 5: Aplicar la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa \(f(u)\) por la derivada de la función interna \(g(x)\)

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{dx} (u)$$

Paso 6: Sustituir u en \(f(u)\).

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de función cuando corresponda para finalizar la respuesta.


Gráfica de ln(x) vs. su derivada

Dada la función

$$ f(x) = \ln{(x)}$$

su gráfica es

Gráfica de lnx

Y como ya sabemos, al derivar \(f(x) = \ln{(x)}\), obtenemos

$$ f'(x) = \frac{1}{x}$$

que se ilustra gráficamente como

Gráfica de la derivada de lnx

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Gráfica de lnx y su derivada

Analizando las diferencias de estas funciones a través de estas gráficas, puedes observar que la función original \(f(x) = \ln{(x)}\) tiene un dominio de

\( (0,\infty) \) or \( x | x > 0 \)

y existe dentro del rango de

\( (-\infty, \infty) \) o todos los números reales

mientras que la derivada \(f'(x) = \frac{1}{x}\) tiene un dominio de

\( (-\infty,0) \cup (0,\infty) \) or \( x | x \neq 0 \)

y existe dentro del rango de

\( (-\infty,0) \cup (0,\infty) \) or \( y | y \neq 0 \)


Ejemplos

A continuación se muestran algunos ejemplos del uso del primer, segundo o tercer método para derivar un logarítmico natural de una variable en términos de esa misma variable.

EJEMPLO 1

Derive: \(f(\beta) = \ln{(\beta)}\)

Solución: Usando el método 1, tenemos

Paso 1: Analiza si el logaritmo natural de \(\beta\) es una función de la misma variable \(\beta\). En este problema, lo es. Por lo tanto, continúe con el paso 2.

Paso 2: Aplicar directamente la fórmula derivada de la función logarítmica natural y derivar en términos de \(\beta\). Dado que no se necesita más simplificación, la respuesta final es:

$$ f'(\beta) = \frac{1}{\beta}$$

EJEMPLO 2

Derive: \(f(\lambda) = \ln{(\lambda)}\)

Solución: Usando el método 2, tenemos

Paso 1: exprese la función como \(f(\lambda) = \log_{e}{\lambda}\) en lugar de \(\ln{(\lambda)}\)

Paso 2: recordando la fórmula derivada de una función logarítmica general, tenemos

$$ \frac{d}{dx} (\log_{b}{x}) = \frac{1}{x\ln{(b)}}$$

Paso 3: Derive \(f(\lambda) = \log_{e}{\lambda}\) aplicando la fórmula del paso 2.

$$ \frac{d}{d\lambda} (\log_{e}{\lambda}) = \frac{1}{\lambda\ln{(e)}}$$

$$ \frac{d}{d\lambda} (\log_{e}{\lambda}) = \frac{1}{\lambda\cdot(1)}$$

$$ \frac{d}{d\lambda} (\log_{e}{\lambda}) = \frac{1}{\lambda}$$

La respuesta final es:

$$ \frac{d}{d\lambda} (\ln{(\lambda)}) = \frac{1}{\lambda}$$

EJEMPLO 3

Derive: \(F(x) = \ln{(\sin{(x)})}\)

Solución: Usando el método 3, tenemos

Paso 1: Exprese la función como \(F(x) = \ln{(u)}\), donde u representa cualquier función \( \sin{(x)} \) representada por el logaritmo natural.

Paso 2: Considere ln(u) como la función externa f(u) y u como la función interna g(x) de la función compuesta F(x). Por lo tanto, tenemos

$$ f(u) = \ln{(u)}$$

y también

$$ g(x) = u = \sin{(x)}$$

Paso 3: Obtener la derivada de la función exterior \(f(u)\), que debe usar la derivada de la función logarítmica natural, en términos de u.

$$ \frac{d}{dx} (\ln{(u)}) = \frac{1}{u}$$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función interna \(g(x) = u\) en términos de x. Usa la derivada de la función seno trigonométrica para derivarla ya que nuestra u es una función seno.

$$ \frac{d}{dx} (g(x)) = {d}{dx} (\sin{(x)})$$

$$ \frac{d}{dx} (g(x)) = \cos{(x)} $$

Paso 5: Aplicar la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa \(f(u)\) por la derivada de la función interna \(g(x)\).

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$$

$$ \frac{dy}{dx} = \left( \frac{1}{u} \right) \cdot (\cos{(x)})$$

Paso 6: Sustituir u en \(f(u)\)

$$ \frac{dy}{dx} = \left( \frac{1}{(\sin{(x)})} \right) \cdot (\cos{(x)})$$

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de función cuando corresponda para finalizar la respuesta.

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{\cos{(x)}}{\sin{(x)}} $$

La respuesta final es:

$$ \frac{d}{dx} (\ln{(\sin{(x)})}) = \cot{(x)} $$


Véase también

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