Derivada de ln(x^2) – Fórmula, Demostración y Gráficas

El logaritmo natural de x al cuadrado, también denotado como ln(x2), es el logaritmo de x2 en base e (número de Euler). La derivada del logaritmo natural de x2 es igual a dos sobre x, 2/x. Podemos probar esta derivada usando la regla de la cadena o la diferenciación implícita.

En este artículo, veremos cómo encontrar la derivada del logaritmo natural de x al cuadrado. Repasaremos algunos fundamentos, definiciones, fórmulas, comparaciones gráficas de la función original y su derivada, demostraciones, técnicas de derivación y algunos ejemplos.

CÁLCULO
Derivada del logaritmo natural de x al cuadrado

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada del logaritmo natural de x al cuadrado.

Ver demostración

CÁLCULO
Derivada del logaritmo natural de x al cuadrado

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada del logaritmo natural de x al cuadrado.

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Demostración de la derivada del logaritmo natural de x^2

A continuación se enumeran las pruebas de la derivada de \(\ln{\left(x^2\right)}\). Estas pruebas también pueden servir como los métodos principales para derivar esta función.

Demostración de la derivada de \(\ln{\left(x^2\right)}\) usando la fórmula de la regla de la cadena

Dado que se trata de una función compuesta, la fórmula de la regla de la cadena se puede utilizar para demostrar la fórmula derivada del logaritmo natural de \(x^2\). En la función compuesta \(\ln{\left(x^2\right)}\), la función logarítmica natural será la función exterior f(u), mientras que \(x^2\) será la función interior g(x).

Puedes revisar la fórmula de la regla de la cadena consultando este artículo: Regla de la Cadena. También puedes consultar este artículo para ver la demostración de la derivada del logaritmo natural: Derivada de Logaritmo Natural (ln(x)).

Tengamos la derivada de la función

$$ F(x) = \ln{\left(x^2\right)}$$

Podemos determinar las dos funciones que componen F(x). En este caso, hay una función logarítmica natural y un monomio. Podemos configurar la función externa de la siguiente manera:

$$ f(u) = \ln{(u)}$$

en donde

$$ u = x^2$$

Al establecer el monomio \(x^2\) como la función interna de f(u) denotándolo como g(x), tenemos

$$ f(u) = f(g(x))$$

$$ g(x) = x^2$$

$$ u = g(x)$$

Derivando la función externa f(u) usando la derivada del logaritmo natural en términos de u, tenemos

$$ f(u) = \ln{(u)}$$

$$ f'(u) = \frac{1}{u}$$

Derivando la función interna g(x) usando la regla de potencia ya que es un monomio, tenemos

$$ g(x) = x^2$$

$$ g'(x) = 2x$$

Multiplicando algebraicamente la derivada de la función exterior $latex f'(u)$ por la derivada de la función interior $latex g'(x)$, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$$

$$ \frac{dy}{dx} = \left(\frac{1}{u} \right) \cdot (2x)$$

Sustituyendo u en f‘(u) y simplificando, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \left(\frac{1}{\left(x^2\right)} \right) \cdot (2x)$$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^2}$$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x}$$

Como resultado, llegamos a la fórmula de la derivada \(\ln{\left(x^2\right)}\).

$$ \frac{d}{dx} \ln{\left(x^2\right)} = \frac{2}{x}$$

Demostración de la derivada de \(\ln{\left(x^2\right)}\) usando diferenciación implícita

En esta demostración, se le recomienda aprender/repasar las derivadas de las funciones exponenciales y la diferenciación implícita.

Supongamos que tenemos la ecuación

$$ y = \ln{\left(x^2\right)}$$

En forma logarítmica general, tenemos

$$ \log_{e}{x^2} = y$$

Y en forma exponencial, tenemos

$$ e^y = x^2$$

Derivando implícitamente la forma exponencial en términos de x, tenemos

$$ e^y = x^2$$

$$ \frac{d}{dx} (e^y) = \frac{d}{dx} (x^2) $$

$$ e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 2x $$

Aislando \( \frac{dy}{dx} \), tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{e^y} $$

Recordamos, \( y = \ln{\left(x^2\right)} \). Sustituyendo esto en la y de nuestra derivada, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{e^{\left(\ln{\left(x^2\right)}\right)}} $$

Simplificando y aplicando una propiedad del logaritmo, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^2} $$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x} $$

Evaluando, ahora tenemos la derivada de \( y = \ln{\left(x^2\right)} \)

$$ y’ = \frac{2}{x} $$


Otros métodos para derivar el logaritmo natural de x^2

Además de las dos pruebas dadas anteriormente, que también sirven como métodos principales para derivar \(\ln{\left(x^2\right)}\), también se puede usar un método adicional para derivar esta misma función.

Derivada del logarítmico natural de x^2 usando la derivada de la función logarítmica general

Paso 1: expresa la función como \(f(x) = \log_{e}{x^2}\) en lugar de \(\ln{\left(x^2\right)}\).

Paso 2: tenga en cuenta que la fórmula derivada de una función logarítmica general es

$$ \frac{d}{dx} (\log_{b}{u}) = \frac{1}{u\ln{(b)}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$$

donde b es cualquier número real positivo excepto 0 y 1 y u es cualquier función distinta de x que es el argumento de la función logarítmica.

Paso 3: Obtenga la derivada de \(f(x) = \log_{e}{x^2}\) aplicando la fórmula en el paso 2.

En este caso, nuestra u es \(x^2\). Entonces,

$$ \frac{d}{dx} \left(\log_{e}{x^2}\right) = \frac{1}{x^2\ln{(e)}} \cdot \frac{d}{dx} (x^2)$$

$$ \frac{d}{dx} \left(\log_{e}{x^2}\right) = \frac{1}{x^2\ln{(e)}} \cdot (2x)$$

Paso 4: Evalúe y simplifique algebraicamente.

Evaluando ln(e), es igual a uno. Por eso,

$$ \frac{d}{dx} \left(\log_{e}{x^2}\right) = \frac{1}{x^2 \cdot (1)} \cdot (2x)$$

Simplificando, tenemos

$$ \frac{d}{dx} \left(\log_{e}{x^2}\right) = \frac{1}{x^2} \cdot (2x)$$

$$ \frac{d}{dx} \left(\log_{e}{x^2}\right) = \frac{2x}{x^2} $$

$$ \frac{d}{dx} \left(\log_{e}{x^2}\right) = \frac{2}{x} $$

Paso 5: Respuesta final.

$$ \frac{d}{dx} \left(\ln{\left(x^2\right)}\right) = \frac{2}{x}$$


Gráfica de ln(x^2) vs. su derivada

Dada la función

$$ f(x) = \ln{\left(x^2\right)}$$

la gráfica se ilustra como

Gráfica de lnx^2

Y como ya sabemos, al derivar \(f(x) = \ln{\left(x^2\right)}\), obtenemos

$$ f'(x) = \frac{2}{x}$$

que se ilustra gráficamente como

Gráfica de la derivada de lnx^2

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Gráfica de lnx^2 y su derivada

Analizando las diferencias de estas funciones a través de estas gráficas, puedes observar que la función original \(f(x) = \ln{\left(x^2\right)}\) tiene un dominio de

\( (-\infty,0) \cup (0,\infty) \) o \( x | x \neq 0 \)

y existe dentro del rango de

\( (-\infty, \infty) \) o todos los números reales

mientras que la derivada \(f'(x) = \frac{2}{x}\) tiene un dominio de

\( (-\infty,0) \cup (0,\infty) \) o \( x | x \neq 0 \)

y existe dentro del rango de

\( (-\infty,0) \cup (0,\infty) \) o \( y | y \neq 0 \)


Ejemplos

A continuación, se muestran algunos ejemplos de derivación de un logarítmico natural de una variable elevada a dos mediante el uso de la regla de la cadena o la derivada logarítmica general.

EJEMPLO 1

Derive: \(F(\beta) = \ln{\left(\beta^2\right)}\)

Solución: Usando la regla de la cadena, tenemos

Paso 1: Analiza si el logaritmo natural de \(\beta^2\) es una función de la misma variable \(\beta\). En este problema, lo es. Por lo tanto, continúe con el paso 2.

Paso 2: Aislar las dos funciones compuestas en \( F(\beta) \). La función exterior es

$$ f(u) = \ln{(u)}$$

y la función interna es

$$ u = g(\beta) = \beta^2 $$

Paso 3: Derive las funciones externa e interna por separado usando su fórmula de derivada base respectiva.

$$ f'(u) = \frac{d}{du} \ln{(u)} = \frac{1}{u} $$

$$ g'(\beta) = \frac{d}{d\beta} \beta^2 = 2\beta $$

Paso 4: Multiplica la derivada de f(u) y g(β).

$$ F'(\beta) = \left( \frac{1}{u} \right) \cdot (2\beta) $$

Paso 5: Sustituye u en la derivada de f(u).

$$ F'(\beta) = \left( \frac{1}{(\beta^2)} \right) \cdot (2\beta) $$

Paso 6: Simplifique y declare la respuesta final.

$$ F'(\beta) = \frac{2\beta}{(\beta^2)} $$

La respuesta final es:

$$ \frac{d}{d\beta} \ln{\left(\beta^2\right)} = \frac{2}{(\beta)} $$

EJEMPLO 2

Derive: \(f(\lambda) = \ln{\left(\lambda^2\right)}\)

Solución: Usando la fórmula de la derivada logarítmica general, tenemos

Paso 1: expresa la función como \(f(\lambda) = \log_{e}{\lambda^2}\) en lugar de \(\ln{(\lambda^2)}\).

Paso 2: Establecer el argumento logarítmico como u.

$$ u = x^2 $$

Paso 3: Recordando la fórmula derivada de una función logarítmica general, tenemos

$$ \frac{d}{dx} (\log_{b}{u}) = \frac{1}{u\ln{(b)}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$$

Paso 4:Derive \(f(\lambda) = \log_{e}{\lambda}^2\) aplicando la fórmula del paso 2.

$$ \frac{d}{d\lambda} \left(\log_{e}{\lambda^2}\right) = \frac{1}{u\ln{(e)}} \cdot \frac{d}{d\lambda} (u)$$

$$ \frac{d}{d\lambda} \left(\log_{e}{\lambda^2}\right) = \frac{1}{\lambda^2\ln{(e)}} \cdot \frac{d}{dx} (\lambda^2)$$

$$ \frac{d}{d\lambda} \left(\log_{e}{\lambda^2}\right) = \frac{1}{\lambda^2 \cdot (1)} \cdot (2\lambda)$$

$$ \frac{d}{d\lambda} \left(\log_{e}{\lambda^2}\right) = \frac{2\lambda}{\lambda^2}$$

$$ \frac{d}{d\lambda} \left(\log_{e}{\lambda^2}\right) = \frac{2}{\lambda}$$

$$ \frac{d}{d\lambda} \left(\ln{(\lambda^2)}\right) = \frac{2}{\lambda}$$


Véase también

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