El logaritmo natural de x al cuadrado, también denotado como ln(x2), es el logaritmo de x2 en base e (número de Euler). La derivada del logaritmo natural de x2 es igual a dos sobre x, 2/x. Podemos probar esta derivada usando la regla de la cadena o la diferenciación implícita.
En este artículo, veremos cómo encontrar la derivada del logaritmo natural de x al cuadrado. Veremos demostraciones, comparaciones gráficas de la función original y su derivada, y algunos ejemplos.
CÁLCULO
Relevante para…
Aprender a encontrar la derivada del logaritmo natural de x al cuadrado.
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Demostración de la derivada del logaritmo natural de x^2
A continuación se enumeran las pruebas de la derivada de \(\ln{\left(x^2\right)}\). Estas pruebas también pueden servir como los métodos principales para derivar esta función.
Demostración de la derivada de \(\ln{\left(x^2\right)}\) usando la fórmula de la regla de la cadena
Dado que se trata de una función compuesta, la fórmula de la regla de la cadena se puede utilizar para demostrar la fórmula derivada del logaritmo natural de \(x^2\). En la función compuesta \(\ln{\left(x^2\right)}\), la función logarítmica natural será la función exterior f(u), mientras que \(x^2\) será la función interior g(x).
Puedes revisar la fórmula de la regla de la cadena consultando este artículo: Regla de la Cadena. También puedes consultar este artículo para ver la demostración de la derivada del logaritmo natural: Derivada de Logaritmo Natural (ln(x)).
Tengamos la derivada de la función
$$ F(x) = \ln{\left(x^2\right)}$$
Podemos determinar las dos funciones que componen F(x). En este caso, hay una función logarítmica natural y un monomio. Podemos configurar la función externa de la siguiente manera:
$$ f(u) = \ln{(u)}$$
en donde
$$ u = x^2$$
Al establecer el monomio \(x^2\) como la función interna de f(u) denotándolo como g(x), tenemos
$$ f(u) = f(g(x))$$
$$ g(x) = x^2$$
$$ u = g(x)$$
Derivando la función externa f(u) usando la derivada del logaritmo natural en términos de u, tenemos
$$ f(u) = \ln{(u)}$$
$$ f'(u) = \frac{1}{u}$$
Derivando la función interna g(x) usando la regla de potencia ya que es un monomio, tenemos
$$ g(x) = x^2$$
$$ g'(x) = 2x$$
Multiplicando algebraicamente la derivada de la función exterior $latex f'(u)$ por la derivada de la función interior $latex g'(x)$, tenemos
$$ \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$$
$$ \frac{dy}{dx} = \left(\frac{1}{u} \right) \cdot (2x)$$
Sustituyendo u en f‘(u) y simplificando, tenemos
$$ \frac{dy}{dx} = \left(\frac{1}{\left(x^2\right)} \right) \cdot (2x)$$
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^2}$$
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x}$$
Como resultado, llegamos a la fórmula de la derivada \(\ln{\left(x^2\right)}\).
$$ \frac{d}{dx} \ln{\left(x^2\right)} = \frac{2}{x}$$
Demostración de la derivada de \(\ln{\left(x^2\right)}\) usando diferenciación implícita
En esta demostración, se le recomienda aprender/repasar las derivadas de las funciones exponenciales y la diferenciación implícita.
Supongamos que tenemos la ecuación
$$ y = \ln{\left(x^2\right)}$$
En forma logarítmica general, tenemos
$$ \log_{e}{x^2} = y$$
Y en forma exponencial, tenemos
$$ e^y = x^2$$
Derivando implícitamente la forma exponencial en términos de x, tenemos
$$ e^y = x^2$$
$$ \frac{d}{dx} (e^y) = \frac{d}{dx} (x^2) $$
$$ e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 2x $$
Aislando \( \frac{dy}{dx} \), tenemos
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{e^y} $$
Recordamos, \( y = \ln{\left(x^2\right)} \). Sustituyendo esto en la y de nuestra derivada, tenemos
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{e^{\left(\ln{\left(x^2\right)}\right)}} $$
Simplificando y aplicando una propiedad del logaritmo, tenemos
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^2} $$
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x} $$
Evaluando, ahora tenemos la derivada de \( y = \ln{\left(x^2\right)} \)
$$ y’ = \frac{2}{x} $$
Gráfica de ln(x^2) vs. su derivada
La gráfica de la función
$$ f(x) = \ln{\left(x^2\right)}$$
es
Y como ya sabemos, al derivar \(f(x) = \ln{\left(x^2\right)}\), obtenemos
$$ f'(x) = \frac{2}{x}$$
que se ilustra gráficamente como
Comparando sus gráficas, tenemos
Usando estas gráficas, puedes observar que la función original \(f(x) = \ln{\left(x^2\right)}\) tiene un dominio de
\( (-\infty,0) \cup (0,\infty) \) o \( x | x \neq 0 \)
y existe dentro del rango de
\( (-\infty, \infty) \) o todos los números reales
mientras que la derivada \(f'(x) = \frac{2}{x}\) tiene un dominio de
\( (-\infty,0) \cup (0,\infty) \) o \( x | x \neq 0 \)
y existe dentro del rango de
\( (-\infty,0) \cup (0,\infty) \) o \( y | y \neq 0 \)
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre derivadas de funciones logarítmicas? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
