Derivada de ln(x+1) – Fórmula, Demostración y Gráficas

El logaritmo natural de x+1, también indicado como ln(x+1), es el logaritmo de x+1 en base e (número de Euler). La derivada del logaritmo natural de x+1 es igual a uno sobre x+1, 1/(x+1). Esta derivada se puede encontrar usando la regla de la cadena o con diferenciación implícita.

En este artículo, veremos cómo obtener la derivada de ln(x+1). Revisaremos algunos principios, definiciones, fórmulas, comparaciones gráficas de ln(x+1) derivado y no derivado, demostraciones, técnicas de derivación y ejemplos.

CÁLCULO
Derivada del logaritmo natural de x+1

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada del logaritmo natural de x+1.

Ver demostración

CÁLCULO
Derivada del logaritmo natural de x+1

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada del logaritmo natural de x+1.

Ver demostración

Demostraciones de la derivada del logaritmo natural de x+1

A continuación se enumeran las demostraciones de la derivada de \(\ln{(x+1)}\). Estas demostraciones también pueden servir como los métodos principales para derivar esta función.

Demostración de la derivada de ln(x+1) usando la fórmula de la regla de la cadena

En el proceso de derivada del logaritmo natural de x+1, se utiliza la fórmula de la regla de la cadena para verificar la fórmula de la derivada del logaritmo natural de x+1 ya que está formada por estas dos funciones.

La función logarítmica natural será la función exterior f(u) en la función compuesta ln(x+1), mientras que el binomio x+1 será la función interior g(x).

Puede revisar la fórmula de la regla de la cadena consultando este artículo: Regla de la Cadena. También puede consultar este artículo para ver la prueba de la derivada del logaritmo natural usando límites: Derivada de Logaritmo Natural (ln(x)).

Tenemos la función

$$ F(x) = \ln{(x+1)}$$

Podemos averiguar las dos funciones que forman F(x). Hay una función logarítmica natural y un monomio en este caso. La función externa se puede configurar de la siguiente manera.

$$ f(u) = \ln{(u)}$$

en donde

$$ u = x+1$$

Al establecer el binomio x+1 como la función interna de f(u) denotándolo como g(x), tenemos

$$ f(u) = f(g(x))$$

$$ g(x) = x+1$$

$$ u = g(x)$$

Derivando la función externa f(u) usando la derivada del logaritmo natural en términos de u, tenemos

$$ f(u) = \ln{(u)}$$

$$ f'(u) = \frac{1}{u}$$

Derivando la función interna g(x) usando la regla de potencia ya que es un monomio, tenemos

$$ g(x) = x+1$$

$$ g'(x) = 1$$

Multiplicando algebraicamente la derivada de la función exterior $latex f'(u)$ por la derivada de la función interior $latex g'(x)$, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$$

$$ \frac{dy}{dx} = \left(\frac{1}{u} \right) \cdot (1)$$

Sustituyendo u en f‘(u), tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \left(\frac{1}{(x+1)} \right) \cdot (1)$$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+1}$$

Como resultado, llegamos a la fórmula de la derivada ln(x+1).

$$ \frac{d}{dx} \ln{(x+1)} = \frac{1}{x+1}$$

Demostración de la derivada de ln(x+1) usando diferenciación implícita

Se recomienda aprender/repasar las derivadas de funciones exponenciales y la diferenciación implícita para esta demostración.

Tenemos la ecuación

$$ y = \ln{(x+1)}$$

En forma logarítmica general, es

$$ \log_{e}{(x+1)} = y$$

Y en forma exponencial es

$$ e^y = x+1$$

Derivando implícitamente la forma exponencial en términos de x, tenemos

$$ e^y = x+1$$

$$ \frac{d}{dx} (e^y) = \frac{d}{dx} (x+1) $$

$$ e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 $$

Aislando a \( \frac{dy}{dx} \), tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} $$

Recordemos que \( y = \ln{(x+1)} \). Sustituyendo esto en la y de nuestra derivada, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^{(\ln{(x+1)})}} $$

Simplificando y aplicando una propiedad de logaritmos, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+1} $$

Evaluando, ahora tenemos la derivada de \( y = \ln{(x+1)} \).

$$ y’ = \frac{1}{x+1} $$


Otros métodos para derivar el logaritmo natural de x+1

Además de las dos pruebas mencionadas anteriormente, que también sirven como métodos principales para derivar ln(x+1), se puede utilizar otro método para derivar esta función.

Derivada del logarítmico natural de x+1 usando la derivada de la función logarítmica general.

Paso 1: Expresa la función como \(f(x) = \log_{e}{(x+1)}\) en lugar de \(\ln{(x+1)}\).

Paso 2: Ten en cuenta que la fórmula derivada de una función logarítmica general es

$$ \frac{d}{dx} (\log_{b}{u}) = \frac{1}{u\ln{(b)}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$$

donde b es cualquier número real positivo excepto 0 y 1 y u es cualquier función distinta de x que es el argumento de la función logarítmica.

Paso 3: Obtenga la derivada de \(f(x) = \log_{e}{(x+1)}\) aplicando la fórmula del paso 2.

$$ \frac{d}{dx} (\log_{e}{u}) = \frac{1}{u\ln{(e)}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$$

En este caso, nuestra u es x+1. Entonces,

$$ \frac{d}{dx} (\log_{e}{(x+1)}) = \frac{1}{x+1\ln{(e)}} \cdot \frac{d}{dx} (x+1)$$

$$ \frac{d}{dx} (\log_{e}{(x+1)}) = \frac{1}{x+1\ln{(e)}} \cdot (1)$$

Paso 4: Evalúe y simplifique algebraicamente.

Evaluando ln(e), es igual a uno. Entonces,

$$ \frac{d}{dx} (\log_{e}{(x+1)}) = \frac{1}{x+1 \cdot (1)} \cdot (1)$$

Simplificando, tenemos

$$ \frac{d}{dx} (\log_{e}{(x+1)}) = \frac{1}{x+1} \cdot (1)$$

$$ \frac{d}{dx} (\log_{e}{(x+1)}) = \frac{1}{x+1} $$

Paso 5: Respuesta final.

$$ \frac{d}{dx} (\ln{(x+1)}) = \frac{1}{x+1}$$


Gráfica de ln(x+1) vs. su derivada

Tenemos la función

$$ f(x) = \ln{(x+1)}$$

y su gráfica es

Gráfica de ln de x+1

Y como aprendimos anteriormente, al derivar \(f(x) = \ln{(x+1)}\), tenemos

$$ f'(x) = \frac{1}{x+1}$$

que se ilustra gráficamente como

Gráfica de la derivada de ln de x+1

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Gráfica de ln de x+1 y su derivada

Al examinar las diferencias entre estas funciones usando estos gráficos, puedes ver que la función original \(f(x) = \ln{(x+1)}\) tiene un dominio de

\( (-1,\infty) \) o \( x | x > -1 \)

y se encuentra dentro del rango de

\( (-\infty, \infty) \) o todos los números reales

mientras que la derivada \(f'(x) = \frac{1}{x+1}\) tiene un dominio de

\( (-\infty,-1) \cup (-1,\infty) \) o \( x | x \neq -1 \)

que se encuentra dentro del rango de

\( (-\infty,0) \cup (0,\infty) \) o \( y | y \neq 0 \)


Ejemplos

Los ejemplos a continuación muestran cómo derivar un logarítmico natural de una variable agregada a otra utilizando la regla de la cadena o la derivada logarítmica general.

EJEMPLO 1

Derive: \(F(\beta) = \ln{(\beta+1)}\)

Solución: Usando la regla de la cadena, tenemos

Paso 1: Analiza si el logaritmo natural de \(\beta+1\) es una función de la misma variable \(\beta\). En este problema, lo es. Por lo tanto, continúe con el paso 2.

Paso 2: Aislar las dos funciones compuestas en \( F(\beta) \). La función exterior es

$$ f(u) = \ln{(u)}$$

y la función interna es

$$ u = g(\beta) = \beta+1 $$

Paso 3: Derive las funciones externa e interna por separado usando su fórmula de derivada base respectiva.

$$ f'(u) = \frac{d}{du} \ln{(u)} = \frac{1}{u} $$

$$ g'(\beta) = \frac{d}{d\beta} (\beta+1) = 1 $$

Paso 4: Multiplica la derivada de \( f(u) \) y \( g(\beta) \).

$$ F'(\beta) = \left( \frac{1}{u} \right) \cdot (1) $$

Paso 5: Sustituye u en la derivada de \( f(u) \).

$$ F'(\beta) = \left( \frac{1}{(\beta+1)} \right) \cdot (1) $$

Paso 6: Simplifique y declare la respuesta final.

$$ F'(\beta) = \frac{1}{(\beta+1)} $$

La respuesta final es:

$$ \frac{d}{d\beta} \ln{(\beta+1)} = \frac{1}{\beta+1} $$

EJEMPLO 2

Derive: \(f(\lambda) = \ln{(\lambda+1)}\)

Solución: Usando la fórmula de la derivada logarítmica general, tenemos

Paso 1: exprese la función como \(f(\lambda) = \log_{e}{(\lambda+1)}\) en lugar de \(\ln{(\lambda+1)}\)

Paso 2: Establecer el argumento logarítmico como u.

$$ u = \lambda + 1 $$

Paso 3: Recordando la fórmula derivada de una función logarítmica general, tenemos

$$ \frac{d}{dx} (\log_{b}{u}) = \frac{1}{u\ln{(b)}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$$

Paso 4: Deriva \(f(\lambda) = \log_{e}{(\lambda+1)}\) aplicando la fórmula del paso 2.

$$ \frac{d}{d\lambda} (\log_{e}{(\lambda+1)}) = \frac{1}{u\ln{(e)}} \cdot \frac{d}{d\lambda} (u)$$

$$ \frac{d}{d\lambda} (\log_{e}{(\lambda+1)}) = \frac{1}{(\lambda+1)\ln{(e)}} \cdot \frac{d}{d\lambda} (\lambda+1)$$

$$ \frac{d}{d\lambda} (\log_{e}{(\lambda+1)}) = \frac{1}{(\lambda+1) \cdot (1)} \cdot (1)$$

$$ \frac{d}{d\lambda} (\log_{e}{(\lambda+1)}) = \frac{1}{\lambda+1}$$

$$ \frac{d}{d\lambda} (\ln{(\lambda+1)}) = \frac{1}{\lambda+1}$$


Véase también

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