Para saber si una función es simétrica, debemos observar su gráfica e identificar algunas características que son únicas de funciones simétricas. Por ejemplo, la gráfica puede tener una reflexión en el eje x, en el eje o puede tener una simetría rotacional con respecto al origen.

En este artículo, miraremos los diferentes tipos de simetría con ejemplos para ilustrar las ideas.

ÁLGEBRA
ejercicios de simetría de funciones

Relevante para

Aprender a determinar si es que una función tiene algún tipo de simetría.

Ver gráficas

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ejercicios de simetría de funciones

Relevante para

Aprender a determinar si es que una función tiene algún tipo de simetría.

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¿Cómo saber si una gráfica es simétrica?

Podemos saber si es que una gráfica es simétrica con respecto a una línea o a un punto si es que la gráfica no cambia cuando es reflejada con respecto a esa línea o es rotada alrededor de ese punto.

La simetría puede ser útil cuando queremos graficar una ecuación, ya que nos dice que si es que conocemos una porción de la gráfica, entonces también conoceremos la porción simétrica restante de la gráfica.

Podemos distinguir tres tipos principales de simetría:

1. Una gráfica tiene simetría con respecto al eje x si es que cuando tenemos a (a, b) en la gráfica, también tenemos a (a, -b). La siguiente es una gráfica con simetría con respecto al eje x:

grafica de simetria con respecto al eje x

2. Una gráfica tiene simetría con respecto al eje y si es que cuando tenemos el punto (a, b) en la gráfica, también tenemos a (-a, b). La siguiente es una gráfica con simetría con respecto al eje y:

grafica de funcion con simetria con respecto al eje y

3. Una gráfica tiene simetría con respecto al origen si es que cuando tenemos el punto (a, b) en la gráfica, también tenemos a (-a, -b). La siguiente es una gráfica que tiene simetría con respecto al origen:

grafica de funcion con simetria con respecto al origen

Ten en cuenta que la mayoría de las gráficas no tienen ningún tipo de simetría. Además, también es posible que una gráfica tenga más de un tipo de simetría. Por ejemplo, la gráfica de un círculo centrado en el origen tiene los tres tipos de simetrías al mismo tiempo:

como saber si una funcion es simetrica

¿Cómo saber si una función tiene simetría par o impar?

Podemos distinguir dos tipos de simetrías de gráficas de funciones:

Simetría de reflexión con respecto al eje y. Esto sucede cuando tenemos f(x)=f(-x).

Simetría de rotación con respecto al origen. Esto sucede cuando tenemos f(-x)=-f(x).

Observamos que las funciones como f(x)={{x}^2} y f(x)={{x}^4}, en donde el exponente de x es par, tendrán la propiedad que f(x)=f(-x) dado que -1 elevado a un exponente par es igual a 1.

De igual forma, las funciones como f(x)=x y f(x)={{x}^3}, en donde el exponente en x es impar, tendrán la propiedad que f(-x)=-f(x) dado que -1 elevado a un exponente impar es igual a -1.

Entonces, tenemos las siguientes definiciones:

Una función es par si es que f(-x)=f(x). Una función par tiene una reflexión con respecto al eje y.

grafica de funcion con simetria par

Una función es impar si es que f(-x)=-f(x). Una función impar tiene simetría rotacional con respecto al origen.

grafica de funcion con simetria impar

Podemos decidir algebraicamente si es que una función es par, impar o ninguna al reemplazar la x por -x y calcular f(-x). Si es que tenemos f(-x)=f(x), la función es par. Si es que tenemos f(-x)=-f(x), la función es impar.


¿Cómo saber si una función es simétrica respecto al origen?

La simetría con respecto al origen es tal vez la más difícil de identificar. Para saber si una función es simétrica respecto al origen podemos identificar varios puntos en la gráfica ya que, en una gráfica de función con simetría respecto al origen tenemos el punto (a, b) y el punto (-a, -b).

Por ejemplo, en la siguiente gráfica tenemos los puntos (2, 4) y (-2, -4). Esto significa que la gráfica sí es simétrica con respecto al origen.

como saber si una funcion es simetrica

Prueba para simetría con respecto al origen

Una gráfica tendrá simetría con respecto al origen si es que obtenemos una ecuación equivalente cuando todas las y son reemplazadas por -y y todas las x son reemplazadas por –x.

EJEMPLOS

  • Determina si es que la función y=2{{x}^3}-{{x}^5} tiene simetría con respecto al origen.

Respuesta: Reemplazamos x con -x y reemplazamos y con -y.

y=2{{x}^3}-{{x}^5}

-y=2{{(-x)}^3}-{{(-x)}^5}

-5=-2{{x}^3}+{{x}^5}

Podemos ver que todos los signos de esta expresión son exactamente opuestos a los de la expresión original. Esto significa que esta expresión es equivalente a la expresión original ya que simplemente podemos multiplicar toda la expresión por -1 para obtener la expresión original.

  • ¿Tiene la función y={{x}^2}-6{{x}^4}+2  simetría con respecto al origen?.

Respuesta: Nuevamente, tenemos que reemplazar x con -x y reemplazar y con -y.

y={{x}^2}-6{{x}^4}+2

-y={{(-x)}^2}-6{{(-x)}^4}+2

-y={{x}^2}-6{{x}^4}+2

Recordamos que un número negativo elevado a una potencia par es igual a un número positivo. Vemos que en este caso el lado derecho de la expresión es idéntico a la ecuación original, pero el lado izquierdo es diferente.

Por lo tanto, la expresión no es la misma y la función no tiene simetría con respecto al origen.

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Ejercicios de gráficas con simetría

En la descripción de las siguientes gráficas se muestra si es que hay alguna simetría y se indica si es que la gráfica representa a una función.

La siguiente gráfica es simétrica con respecto a su eje, es decir, es simétrica con respecto a la línea x=2. No hay ninguna otra simetría. La gráfica sí representa a una función.

grafica de funcion con simetria con linea x igual a 2

La siguiente gráfica es simétrica con respecto al eje x y al eje y. Esta gráfica también es simétrica con respeto al origen. Dado que la gráfica no pasa la prueba de la línea vertical, es decir, una línea vertical puede ser trazada que pase por más de un punto en la gráfica, entonces, la gráfica no representa a una función.

grafica de funcion con simetria en el eje x y eje y

Esta gráfica es simétrica con respecto a las líneas x=1 y y=1. Dado que una línea vertical puede ser trazada que pasa por más de un punto en la gráfica, la gráfica no representa a una función.

grafica con simetria en linea x igual a 1 y y igual a 1

La siguiente gráfica representa a una función cúbica que es simétrica con respecto al punto (1, -2). Esta gráfica sí representa a una función.

grafica de funcion con simetria con respecto a un punto

En la descripción de las siguientes gráficas se muestra si es que la función es par, impar o ninguna.

La siguiente parábola tiene el vértice en el eje y, por lo que el eje de simetría es el eje y. Esto significa que la función es par.

grafica de funcion par negativa

La siguiente función cúbica está centrada en el origen y si es que la giramos 180°, obtendremos la misma gráfica. Esto significa que la función es impar.

grafica de funcion impar simetria en origen

La siguiente función cúbica está centrada en el punto (0, -2). Esta función es simétrica, pero no con respecto al origen o el eje y. Por lo tanto, esta función no es ni par ni impar.

grafica de funcion que no es par ni impar

Véase también

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