Las asíntotas de una función pueden ser calculadas al investigar el comportamiento de la gráfica de la función. Sin embargo, también es posible determinar si la función tiene asíntotas o no sin usar la gráfica de la función. El método para calcular asíntotas varía dependiendo en si la asíntota es vertical, horizontal u oblícua.
A continuación veremos cómo calcular las asíntotas de una función con ejemplos.
¿Cómo calcular las asíntotas verticales de una función?
Las asíntotas verticales de una función pueden ser encontradas al examinar los factores del denominador que no son comunes con los factores del numerador. Las asíntotas verticales ocurren en los ceros de estos factores.
Dada una función racional, podemos identificar las asíntotas verticales siguiendo los siguientes pasos:
Paso 1: Factoriza el numerador y el denominador.
Paso 2: Observa cualquier restricción en el dominio de la función.
Paso 3: Reduce la expresión al cancelar factores comunes en el numerador y el denominador.
Paso 4: Encuentra cualquier valor que hace que el denominador sea cero en la versión simplificada. Aquí es en donde ocurren las asíntotas verticales.
EJEMPLO 1
Encuentra las asíntotas verticales de la función racional $latex f(x)=\frac{{{x}^2}+2x-3}{{{x}^2}-5x-6}$.
Solución: Empezamos factorizando al numerador y al denominador:
$latex f(x)=\frac{(x+3)(x-1)}{(x-6)(x+1)}$
Esta función ya no puede ser simplificada. Entonces, x no puede ser ni 6 ni -1 ya que estaríamos dividiendo por cero. Miremos la gráfica de esta función racional:
Podemos ver que la gráfica evita las líneas verticales $latex x=6$ y $latex x=-1$. Esto ocurre debido a que x no pude ser igual a 6 ni a -1. Entonces, trazamos las asíntotas verticales como líneas entrecortadas:
EJEMPLO 2
Encuentra las asíntotas verticales de la función $latex g(x)=\frac{x+2}{{{x}^2}+2x-8}$.
Solución: El numerador ya está factorizado, por lo que factorizamos al denominador:
$latex f(x)=\frac{x+2}{(x+4)(x-2)}$
No podemos simplificar esta función y sabemos que no podemos tener cero en el denominador, por lo que x no puede ser igual a $latex x=-4$ o $latex x=2$. Esto nos dice que las asíntotas verticales de la función están ubicadas en $latex x=-4$ y $latex x=2$:
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¿Cómo se calculan las asíntotas horizontales?
El método para identificar las asíntotas horizontales cambia basado en cómo se comparan los grados del polinomio en el numerador y en el denominador de la función. Para encontrar las asíntotas horizontales, debemos recordar lo siguiente:
- Si es que el grado del polinomio del numerador es igual al grado del polinomio del denominador, dividimos los coeficientes de los términos con el grado más grande para obtener las asíntotas horizontales.
- Si es que el grado del numerador es menor que el grado del denominador, las asíntotas horizontales serán $latex y=0$.
- Si es que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, entonces no hay asíntotas horizontales.
Veamos algunos ejemplos:
EJEMPLO 1
Encuentra las asíntotas horizontales de la función $latex g(x)=\frac{x+2}{2x}$.
Solución: Dado que el grado más grande tanto en el numerador como en el denominador es 1, entonces consideramos el coeficiente de x.
En este caso, la asíntota horizontal está ubicada en $latex y=\frac{1}{2}$:
EJEMPLO 2
Encuentra las asíntotas horizontales de la función $latex g(x)=\frac{x}{{{x}^2}+2}$.
Solución: Aquí podemos ver que el grado del numerador es menor que el grado del denominador, por lo tanto, la asíntota horizontal está ubicada en $latex y=0$:
EJEMPLO 3
Encuentra las asíntotas horizontales de la función $latex f(x)=\frac{{{x}^2}+2}{x+1}$.
Solución: En este caso, el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, por lo que no existe una asíntota horizontal:
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→ Calculadora de Asíntotas de Funciones
¿Cómo calcular la asíntota oblícua de una función?
Para calcular la asíntota oblícua o inclinada de una función, debemos comparar el grado del numerador y el grado del denominador. Si es que el grado del numerador es exactamente uno más que el grado del denominador, entonces, la gráfica de la función racional será aproximadamente una recta inclinada con unas partes complicadas en el medio.
La asíntota de este tipo de función es llamada una asíntota oblícua o inclinada.
Podemos obtener la ecuación de esta asíntota al realizar división de polinomios larga. La ecuación de la asíntota es la parte entera del resultado de la división.
EJEMPLO
Encuentra la asíntota oblícua de la función $latex f(x)=\frac{-3{{x}^2}+2}{x-1}$.
Solución: Empezamos realizando la división larga de esta expresión racional:
En la parte superior tenemos al cociente, la expresión lineal $latex -3x-3$. En la parte inferior tenemos al residuo. Esto significa que, a través de la división, convertimos a la función en una expresión mixta:
$latex f(x)=-3x-3+\frac{-1}{x-1}$
Esta es la misma función, simplemente la reorganizamos. Al graficar a la función junto con la línea $latex y=-3x-3$, podemos ver que esta línea es la asíntota oblícua de la función:
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Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
