Cómo calcular integrales indefinidas – Paso a paso

La integración es el proceso inverso de la diferenciación de funciones. Para calcular integrales indefinidas, tenemos que escribir a la función con exponentes numéricos, luego sumamos 1 al exponente de cada término y lo dividimos por el nuevo exponente. Por último, sumamos la contante de integración al resultado.

A continuación, aprenderemos cómo calcular integrales indefinidas de funciones polinomiales, racionales e irracionales. Conoceremos la fórmula que podemos usar y la aplicaremos para resolver algunos ejercicios.

CÁLCULO
Fórmula de la integral de un polinomio

Relevante para

Aprender a encontrar la integral indefinida de una función.

Ver proceso

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Fórmula de la integral de un polinomio

Relevante para

Aprender a encontrar la integral indefinida de una función.

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Proceso usado para encontrar la integral indefinida de una función

La integral indefinida de una función se refiere a la integral que no es evaluada con ningún límite y es expresada como una función de x e incluye una constante de integración.

Para obtener la integral indefinida de una función expresada con exponentes numéricos, podemos usar la siguiente fórmula:

$$\int ax^n dx =\frac{ax^{n+1}}{n+1}+c$$

en donde, $latex n \neq -1$.

Podemos encontrar la integral indefinida de una función, aplicando los siguientes pasos:

Paso 1: Si es que la función contiene términos con raíces cuadradas o expresiones racionales, los escribimos usando exponentes numéricos.

Nota: Un ejemplo sería escribir a $latex \sqrt{x}$ como $latex x^{\frac{1}{2}}$ o escribir a $latex \frac{1}{x^2}$ como $latex x^{-2}$.

Paso 2: Sumamos 1 a los exponentes de cada término de la función.

Nota: Un término constante puede ser considerado como multiplicado por $latex x^0$, por lo que al sumar 1, tenemos $latex x^1=x$.

Paso 3: Dividimos al término por el nuevo exponente, es decir, por $latex n+1$.

Paso 4: Simplificamos la integral resultante y sumamos el término constante $latex c$.


¿Por qué las integrales indefinidas tienen una constante de integración?

Las integrales indefinidas tienen una constante de integración, ya que la derivada de un término constante es igual a cero. Entonces, es posible que no tomemos en cuenta a un término constante al integrar la función.

Por ejemplo, supongamos que tenemos la función $latex y=x^2$. Cuando la derivamos, tenemos $latex \frac{dy}{dx}=2x$. Sin embargo, cuando derivamos $latex y=x^2+1$ y $latex y=x^2+2$, también obtenemos $latex \frac{dy}{dx}=2x$.

Es decir, sin información adicional no sabemos si es que la función original contenía un término constante o no. Por esta razón, escribimos $latex y=x^2+c$, en donde, $latex c$ es la constante de integración.

Para encontrar el valor específico de la contante de integración, necesitamos información adicional sobre la función integrada. Por ejemplo, en muchos casos, conocer las coordenadas de un punto por donde pasa la función integrada es suficiente.


Ejemplos resueltos de integrales indefinidas

El proceso visto arriba es aplicado para resolver los siguientes ejemplos de integrales indefinidas. Intenta resolver los ejercicios tú mismo.

EJEMPLO 1

Encuentra la integral de la función $latex f(x)=3x^2 $.

Empezamos formando la integral indefinida a ser encontrada:

$latex \int 3x^2 dx$

Ahora, podemos resolver considerando lo siguiente:

  1. Sumamos 1 al exponente de x.
  2. Dividimos por el nuevo exponente (n+1).
  3. Sumamos la constante de integración.

Entonces, tenemos:

$$\int 3x^2 dx=\frac{3x^3}{3}+c$$

$$\int 3x^2 dx=x^3+c$$

EJEMPLO 2

¿Cuál es la integral de $latex f(x)=\frac{1}{x^2}$?

En este caso, podemos escribir a la función de la siguiente forma:

$$f(x)=\frac{1}{x^2}=x^{-2}$$

Ahora, formamos la integral indefinida:

$latex \int x^{-2} dx$

Resolvemos aplicando lo siguiente:

  1. Sumamos 1 al exponente de x.
  2. Dividimos por el nuevo exponente.
  3. Añadimos la constante de integración.

Entonces, tenemos:

$$\int x^{-2} dx=\frac{x^{-1}}{-1}+c$$

$$\int x^{-2} dx=-\frac{1}{x}+c$$

EJEMPLO 3

Encuentra la integral de la función $latex f(x)=6\sqrt{x}$.

Empezamos escribiendo a la función dada de la siguiente forma:

$latex f(x)=6\sqrt{x}=6x^{\frac{1}{2}}$

Ahora, formamos la siguiente integral indefinida:

$latex \int 6x^{\frac{1}{2}} dx$

Al resolver esto, tenemos:

$$\int 6x^{\frac{1}{2}} dx=\frac{2}{3}(6x^{\frac{3}{2}})+c$$

$$\int 6x^{\frac{1}{2}} dx=4\sqrt{x^3}+c$$

EJEMPLO 4

Si es que tenemos la función $latex f(x)=x^2+6x-3$, ¿cuál es su integral?

En este caso, tenemos una función con varios términos. Sin embargo, el proceso para encontrar su integral indefinida es el mismo, con la diferencia que aplicamos los pasos a cada término.

Entonces, al formar la integral, tenemos:

$latex \int x^2+6x-3 dx$

Resolvemos al aplicar lo siguiente a cada término:

  1. Cada exponente de x es incrementado por 1.
  2. Cada término es dividido por el nuevo exponente de x.

Aplicando esto y sumando la constante de integración, tenemos:

$$\int x^2+6x-3 dx=\frac{x^3}{3}+3x^2-3x+c$$

EJEMPLO 5

Encuentra la integral de $latex f(x)=1-\frac{1}{x^2}$.

Para resolver esto, tenemos que empezar escribiendo a la función de la siguiente forma:

$latex f(x)=1-\frac{1}{x^2}=1-x^{-2}$

Ahora, podemos formar la integral indefinida y resolver al aplicar los mismos pasos vistos arriba:

$$\int 1-x^{-2} dx=x-\frac{x^{-1}}{-1}+c$$

Podemos simplificar de la siguiente forma:

$$\int 1-x^{-2} dx=x+\frac{1}{x}+c$$

EJEMPLO 6

Si es que tenemos la función $latex f(x)=(x-4)^2$, ¿cuál es su integral?

Vamos a empezar expandiendo el binomio al cuadrado:

$latex f(x)=(x-4)^2$

$latex f(x)=x^2-8x+16$

Ahora, formamos la integral indefinida y la resolvemos de la siguiente forma:

$$\int x^2-8x+16 dx=\frac{x^3}{3}-4x^2+16x+c$$


Integrales indefinidas – Ejercicios para resolver

Aplica todo lo aprendido sobre las integrales indefinidas para resolver los siguientes ejercicios de práctica.

¿Cuál es la integral indefinida de la función $latex f(x)= 2x^3$?

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Encuentra la integral de la función $latex f(x)=x^{-2}$.

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¿Cuál es la integral de la función $latex f(x)=x^2-\frac{3}{x^2}$?

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Encuentra la integral de $latex f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$.

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Véase también

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