20 Ejercicios de Ecuaciones Cuadráticas

Esta ecuación es una ecuación cuadrática incompleta que no tiene el término bx. Podemos resolver esta ecuación al despejar al término x² y sacar la raíz cuadrada que ambos lados de la ecuación:

$latex x^2-25=0$

$latex x^2=25$

Sacando la raíz de ambos lados, tenemos:

$latex x=\pm \sqrt{25}$

$latex x=\pm 5$

Entonces, las soluciones de la ecuación son $latex x=5$ y $latex x=-5$.

Esta es una ecuación cuadrática incompleta que no tiene el término c. Para resolver esta ecuación, tenemos que factorizar a x y luego formar una ecuación con cada factor:

$latex x^2-4x=0$

$latex x(x-4)=0$

Formando una ecuación con cada factor, tenemos:

$latex x=0~~$ o $latex ~~x-4=0$

$latex x=0~~$ o $latex ~~x=4$

Las soluciones de la ecuación son $latex x=0$ y $latex x=4$.

Podemos resolver esta ecuación usando el método de factorización. Para esto, buscamos dos números los cuales al ser multiplicados sean iguales a 6 y al ser sumamos sean iguales a 5.

Los dos números que buscamos son 2 y 3. Entonces, tenemos:

$latex x^2+5x+6=0$

$latex (x+2)(x+3)=0$

Ahora, formamos una ecuación con cada factor y resolvemos:

$latex x+2=0~~$ o $latex ~~x+3=0$

$latex x=-2~~$ o $latex ~~x=-3$

Las soluciones de la ecuación son $latex x=-2$ y $latex x=-3$.

Podemos resolver esta ecuación por factorización. Para esto, buscamos dos números, los cuales al ser multiplicados sean igual a -7 y al ser sumados sean igual a -6.

Los números que buscamos son -7 y 1. Entonces, tenemos:

$latex x^2-6x-7=0$

$latex (x-7)(x+1)=0$

Formando una ecuación con cada factor, tenemos:

$latex x-7=0~~$ o $latex ~~x+1=0$

$latex x=7~~$ o $latex ~~x=-1$

Las soluciones de la ecuación son $latex x=7$ y $latex x=-1$.

Esta ecuación es una ecuación cuadrática incompleta de la forma $latex ax^2+c=0$. Podemos resolver esta ecuación al despejar a x² y sacar la raíz cuadrada de ambos lados:

$latex 2x^2-32=0$

$latex 2x^2=32$

$latex x^2=16$

Sacando la raíz cuadrada de ambos lados, tenemos:

$latex x=\pm \sqrt{16}$

$latex x=\pm 4$

Las soluciones de la ecuación son $latex x=4$ y $latex x=-4$.

Esta ecuación es una ecuación cuadrática incompleta de la forma $latex ax^2+bx=0$. Para resolver esta ecuación, podemos factorizar 4x de ambos términos y luego formar una ecuación con cada factor:

$latex 4x^2+8x=0$

$latex 4x(x+2)=0$

Formando una ecuación con cada factor, tenemos:

$latex 4x=0~~$ o $latex ~~x+2=0$

$latex x=0~~$ o $latex ~~x=-2$

Las soluciones de la ecuación son $latex x=0$ y $latex x=-2$.

Para completar el cuadrado, tomamos el coeficiente b, lo dividimos por 2 y lo elevamos al cuadrado. Entonces, tenemos:

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2$$

$$=2^2$$

Ahora, sumamos y restamos ese valor a la ecuación cuadrática:

$$x^2+4x-6=x^2+4x+2^2-2^2-6$$

Ahora, podemos completar el cuadrado y simplificar:

$latex = (x+2)^2-4-6$

$latex = (x+2)^2-10$

Entonces, tenemos la ecuación:

$latex (x+2)^2=10$

Sacando la raíz cuadrada de ambos lados, tenemos:

⇒ $latex x+2=\sqrt{10}$

Resolviendo, tenemos:

⇒ $latex x=-2\pm \sqrt{10}$

Podemos identificar los coeficientes $latex a=1$, $latex b=-8$ y $latex c=4$. Usando estos valores en la fórmula cuadrática, tenemos:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$x=\frac{-(-8)\pm \sqrt{( -8)^2-4(1)(4)}}{2(1)}$$

$$=\frac{8\pm \sqrt{64-16}}{2}$$

$$=\frac{8\pm \sqrt{48}}{2}$$

$$x=7.46 \text{ o } 0.54$$

Entonces, las soluciones son $latex x=7.46$ y $latex x=0.54$.

Podemos dividir a toda la ecuación por 2 para lograr que el coeficiente del término cuadrático sea igual a 1:

⇒ $latex x^2+4x-5=0$

Ahora, tomamos al coeficiente b, lo dividimos por 2 y lo elevamos al cuadrado. Entonces, tenemos:

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2$$

$$=2^2$$

Sumando y restando a la expresión cuadrática, tenemos:

$$x^2+4x-5=x^2+4x+2^2-2^2-5$$

Completando el cuadrado y simplificando, tenemos:

$latex = (x+2)^2-4-5$

$latex = (x+2)^2-9$

Ahora, escribimos a la ecuación así:

⇒ $latex (x+2)^2=9$

Y sacamos la raíz cuadrada de ambos lados:

⇒ $latex x+2=\pm 3$

Resolviendo, tenemos:

⇒ $latex x=1~~$ o $latex ~~x=-5$

Podemos identificar los coeficientes $latex a=1$, $latex b=-10$ y $latex c=25$. Usándolos en la fórmula cuadrática general, tenemos:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$x=\frac{-(-10)\pm \sqrt{( -10)^2-4(1)(25)}}{2(1)}$$

$$=\frac{10\pm \sqrt{100-100}}{2}$$

$$=\frac{10\pm \sqrt{0}}{2}$$

$$=\frac{10}{2}$$

$latex x=5$

En este caso, tenemos una sola raíz repetida $latex x=5$.

Primero, tenemos que simplificar esta ecuación y escribirla en la forma $latex ax^2+bx+c=0$:

$latex 4x^2+5=2x^2+20$

$latex 4x^2-2x^2+5-20=0$

$latex 2x^2-15=0$

Ahora, podemos ver que es una ecuación cuadrática incompleta que no tiene el término bx. Entonces, podemos resolverla al despejar x² y sacar la raíz cuadrada de ambos lados:

$latex 2x^2-15=0$

$latex 2x^2=15$

$latex x^2=\frac{15}{2}$

$latex x=\pm \sqrt{\frac{15}{2}}$

Para resolver la ecuación, tenemos que empezar escribiéndola en la forma $latex ax^2+bx+c=0$. Entonces, tenemos:

$latex 5x^2+5x=2x^2+10x$

$latex 5x^2-2x^2+5x-10x=0$

$latex 3x^2-5x=0$

Vemos que es una ecuación incompleta que no tiene el término c. Entonces, podemos resolverla al factorizar x:

$latex 3x^2-5x=0$

$latex x(3x-5)=0$

$latex x=0~~$ o $latex ~~3x-5=0$

$latex x=0~~$ o $latex ~~x=\frac{5}{3}$

Para usar la fórmula general, tenemos que empezar escribiendo a la ecuación en la forma $latex ax^2+bx+c=0$:

$latex 3x^2+5x-4=x^2-2x$

$latex 2x^2+3x-4=0$

Ahora, tenemos los coeficientes $latex a=2$, $latex b=3$ y $latex c=-4$. Entonces, usando estos valores en la fórmula general, tenemos:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$x=\frac{-(3)\pm \sqrt{( 3)^2-4(2)(-4)}}{2(2)}$$

$$=\frac{-3\pm \sqrt{9+32}}{4}$$

$$=\frac{-3\pm \sqrt{41}}{2}$$

$$=-2.35 \text{ o }0.85$$

Las soluciones de la ecuación son $latex x=-2.35$ y $latex x=0.85$.

Para resolver esta ecuación, tenemos que expandir los paréntesis y simplificar hasta escribirla en la forma $latex ax^2+bx+c=0$. Entonces, tenemos:

$$(3x+1)(2x-1)-(x+2)^2=5$$

$$6x^2-x-1-(x^2+4x+4)=5$$

$latex 5x^2-5x-5=5$

$latex 5x^2-5x-10=0$

Ahora, podemos resolver por factorización:

$latex 5x^2-5x-10=0$

$latex 5(x^2-x-2)=0$

$latex 5(x+1)(x-2)=0$

$latex x+1=0~~$ o $latex ~~x-2=0$

$latex x=-1~~$ o $latex ~~x=2$

Tenemos que empezar escribiendo a la ecuación en la forma $latex ax^2+bx+c=0$:

$latex -x^2+3x+1=-2x^2+6x$

$latex x^2-3x+1=0$

Ahora, vemos que el coeficiente b en esta ecuación es igual a -3. Entonces, tenemos:

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{-3}{2}\right)^2$$

Al sumar y restar este valor a la ecuación cuadrática, tenemos:

$$x^2-3x+1=x^2-2x+\left(\frac{-3}{2}\right)^2-\left(\frac{-3}{2}\right)^2+1$$

Completando el cuadrado y simplificando, tenemos:

$latex = (x-\frac{3}{2})^2-\left(\frac{-3}{2}\right)^2+1$

$latex = (x-\frac{3}{2})^2-\frac{5}{4}$

Ahora, escribimos a la ecuación de la siguiente forma:

$latex ⇒ (x-\frac{3}{2})^2=\frac{5}{4}$

Al sacar la raíz cuadrada de ambos lados, tenemos:

⇒ $latex x-\frac{3}{2}=\sqrt{\frac{5}{4}}$

⇒ $latex x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$

Resolviendo, tenemos:

⇒ $latex x=\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$

Podemos usar los valores $latex a=5$, $latex b=4$ y $latex c=10$ en la fórmula cuadrática:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$x=\frac{-(4)\pm \sqrt{( 4)^2-4(5)(10)}}{2(5)}$$

$$=\frac{-5\pm \sqrt{16-200}}{10}$$

$$=\frac{-5\pm \sqrt{-184}}{10}$$

Podemos ver que obtuvimos un número negativo dentro de la raíz cuadrada. $latex \sqrt{-184}$ no es un número real, por lo que la ecuación no tiene raíces reales.

Esta ecuación no pareciera ser cuadrática a primera vista. Sin embargo, podemos multiplicarla por $latex x(x-1)$ para eliminar las fracciones y tenemos:

$$\frac{4}{x-1}+\frac{3}{x}=3$$

$$4x+3(x-1)=3x(x-1)$$

$$4x+3x-3=3x^2-3x$$

$latex 3x^2-10x+3=0$

Ahora, podemos factorizar esta ecuación para resolverla:

$latex 3x^2-10x+3=0$

$latex (3x-1)(x-3)=0$

$latex 3x-1=0~~$ o $latex ~~x-3=0$

$latex x=\frac{1}{3}~~$ o $latex ~~x=3$

Para simplificar las fracciones, podemos multiplicar en cruz para obtener:

$$ (2x+1)(x+7)=(3x-1)(x+5)$$

Al expandir y simplificar, tenemos:

$$ 2x^2+15x+7=3x^2+14x-5 $$

$latex x^2-x-12=0$

Factorizando y resolviendo, tenemos:

$latex (x+3)(x-4)=0$

$latex x+3=0~~$ o $latex ~~x-4=0$

$latex x=-3~~$ o $latex ~~x=4$

Para resolver este problema, podemos formar ecuaciones usando la información del enunciado. Usamos letras X (número menor) y Y (número mayor) para representar a los números:

$latex X+Y=17~~[1]$

$latex XY=60~~[2]$

Escribiendo a la ecuación 1 como $latex Y=17-X$ y sustituyéndola en la segunda ecuación, tenemos:

$latex X(17-X)=60$

Podemos expandir y escribirla en la forma $latex ax^2+bx+c=0$:

$latex 17X-X^2=60$

$latex X^2-17X+60=0$

Ahora, podemos resolver la ecuación por factorización:

$latex X^2-17X+60=0$

$latex (X-12)(X-5)=0$

$latex X-12=0~~$ o $latex ~~X-5=0$

$latex X=12~~$ o $latex ~~X=5$

Entonces, tenemos:

• Si es que $latex X=5$, tenemos $latex Y=17-5=12$. Esta solución es la correcta porque X<Y.
• Si es que $latex X=12$, tenemos $latex Y=17-12=5$

Los números son 12 y 5.

Para resolver este problema, tenemos que usar la información dada para formar ecuaciones. Vamos a representar al lado más corto con x. Esto significa que el lado más largo es igual a x+7.

Ahora, considerando que el área de un rectángulo es encontrada al multiplicar las longitudes de sus lados, tenemos:

$latex x(x+7)=78$

Expandiendo y escribiendo a la ecuación en la forma $late ax^2+bx+c=0$, tenemos:

$latex x^2+7x-78=0$

Resolviendo por factorización, tenemos:

$latex (x+13)(x-6)=0$

$latex x+13=0~~$ o $latex ~~x-6=0$

$latex x=-13~~$ o $latex ~~x=6$

Dado que no podemos tener longitudes negativas, tenemos $latex x=6$, por lo que las longitudes son 6 y 13.