20 Ejercicios de Ecuaciones Cuadráticas

Las ecuaciones cuadráticas tienen la forma $latex ax^2+bx+c$. Dependiendo del tipo de ecuación cuadrática que tengamos, podemos usar varios métodos para resolverla. Algunos de los métodos más importantes son, métodos para ecuaciones incompletas, el método de factorización, el método de completar el cuadrado y la fórmula cuadrática.

A continuación, miraremos un resumen breve sobre las ecuaciones cuadráticas. Luego, veremos 20 ejercicios resueltos de ecuaciones cuadráticas para dominar los varios métodos de resolución.

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20 Ejercicios de Ecuaciones Cuadráticas

Relevante para

Aprender a resolver ecuaciones cuadráticas con ejercicios.

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Resumen de ecuaciones cuadráticas

Recordemos que las ecuaciones cuadráticas son ecuaciones en las que las variables tienen una potencia máxima de 2. Estas ecuaciones tienen la forma general $latex ax^2+bx+c=0$. Por ejemplo, las ecuaciones $latex 4x^2+x+2=0$ y $latex 2x^2-2x-3=0$ son ecuaciones cuadráticas.

Existen varios métodos que podemos usar para resolver ecuaciones cuadráticas dependiendo del tipo de ecuación que tengamos. Los métodos más comunes son por factorización, completando el cuadrado y usando la fórmula cuadrática.

Podemos resolver ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma $latex ax^2+c=0$ al despejar completamente a x². Luego, podemos sacar la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación.

Para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma $latex ax^2+bx=0$, tenemos que factorizar a la x de ambos términos. Luego, podemos formar una ecuación con cada factor y resolver.

Cuando tenemos ecuaciones cuadráticas completas de la forma $latex ax^2+bx+c=0$, podemos usar factorización y escribir a la ecuación en la forma $latex (x+p)(x+q)=0$ que nos permitirá encontrar sus raíces fácilmente.

Finalmente, cuando no es posible resolver una ecuación cuadrática con factorización, podemos usar la fórmula cuadrática general:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Puedes aprender o hacer una revisión de los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas al visitar nuestro artículo: Resolver Ecuaciones Cuadráticas – Métodos y Ejercicios.


20 ejercicios de ecuaciones cuadráticas resueltos

Los siguientes 20 ejercicios de ecuaciones cuadráticas tienen su respectiva solución usando diferentes métodos. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.

EJERCICIO 1

Encuentra las soluciones de la ecuación $latex x^2-25=0$.

Esta ecuación es una ecuación cuadrática incompleta que no tiene el término bx. Podemos resolver esta ecuación al despejar al término x² y sacar la raíz cuadrada que ambos lados de la ecuación:

$latex x^2-25=0$

$latex x^2=25$

Sacando la raíz de ambos lados, tenemos:

$latex x=\pm \sqrt{25}$

$latex x=\pm 5$

Entonces, las soluciones de la ecuación son $latex x=5$ y $latex x=-5$.

EJERCICIO 2

¿Cuáles son las soluciones de la ecuación $latex x^2-4x=0$?

Esta es una ecuación cuadrática incompleta que no tiene el término c. Para resolver esta ecuación, tenemos que factorizar a x y luego formar una ecuación con cada factor:

$latex x^2-4x=0$

$latex x(x-4)=0$

Formando una ecuación con cada factor, tenemos:

$latex x=0~~$ o $latex ~~x-4=0$

$latex x=0~~$ o $latex ~~x=4$

Las soluciones de la ecuación son $latex x=0$ y $latex x=4$.

EJERCICIO 3

Resuelve la ecuación $latex x^2+5x+6=0$.

Podemos resolver esta ecuación usando el método de factorización. Para esto, buscamos dos números los cuales al ser multiplicados sean iguales a 6 y al ser sumamos sean iguales a 5.

Los dos números que buscamos son 2 y 3. Entonces, tenemos:

$latex x^2+5x+6=0$

$latex (x+2)(x+3)=0$

Ahora, formamos una ecuación con cada factor y resolvemos:

$latex x+2=0~~$ o $latex ~~x+3=0$

$latex x=-2~~$ o $latex ~~x=-3$

Las soluciones de la ecuación son $latex x=-2$ y $latex x=-3$.

EJERCICIO 4

¿Cuáles son las raíces de la ecuación $latex x^2-6x-7=0$?

Podemos resolver esta ecuación por factorización. Para esto, buscamos dos números, los cuales al ser multiplicados sean igual a -7 y al ser sumados sean igual a -6.

Los números que buscamos son -7 y 1. Entonces, tenemos:

$latex x^2-6x-7=0$

$latex (x-7)(x+1)=0$

Formando una ecuación con cada factor, tenemos:

$latex x-7=0~~$ o $latex ~~x+1=0$

$latex x=7~~$ o $latex ~~x=-1$

Las soluciones de la ecuación son $latex x=7$ y $latex x=-1$.

EJERCICIO 5

Resuelve la ecuación $latex 2x^2-32=0$.

Esta ecuación es una ecuación cuadrática incompleta de la forma $latex ax^2+c=0$. Podemos resolver esta ecuación al despejar a x² y sacar la raíz cuadrada de ambos lados:

$latex 2x^2-32=0$

$latex 2x^2=32$

$latex x^2=16$

Sacando la raíz cuadrada de ambos lados, tenemos:

$latex x=\pm \sqrt{16}$

$latex x=\pm 4$

Las soluciones de la ecuación son $latex x=4$ y $latex x=-4$.

EJERCICIO 6

Encuentra las raíces de la ecuación $latex 4x^2+8x=0$.

Esta ecuación es una ecuación cuadrática incompleta de la forma $latex ax^2+bx=0$. Para resolver esta ecuación, podemos factorizar 4x de ambos términos y luego formar una ecuación con cada factor:

$latex 4x^2+8x=0$

$latex 4x(x+2)=0$

Formando una ecuación con cada factor, tenemos:

$latex 4x=0~~$ o $latex ~~x+2=0$

$latex x=0~~$ o $latex ~~x=-2$

Las soluciones de la ecuación son $latex x=0$ y $latex x=-2$.

EJERCICIO 7

Encuentra las soluciones de la ecuación $latex x^2+4x-6=0$ usando el método de completar el cuadrado.

Para completar el cuadrado, tomamos el coeficiente b, lo dividimos por 2 y lo elevamos al cuadrado. Entonces, tenemos:

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2$$

$$=2^2$$

Ahora, sumamos y restamos ese valor a la ecuación cuadrática:

$$x^2+4x-6=x^2+4x+2^2-2^2-6$$

Ahora, podemos completar el cuadrado y simplificar:

$latex = (x+2)^2-4-6$

$latex = (x+2)^2-10$

Entonces, tenemos la ecuación:

$latex (x+2)^2=10$

Sacando la raíz cuadrada de ambos lados, tenemos:

⇒ $latex x+2=\sqrt{10}$

Resolviendo, tenemos:

⇒ $latex x=-2\pm \sqrt{10}$

EJERCICIO 8

Encuentra las soluciones de la ecuación $latex x^2-8x+4=0$ en dos lugares decimales.

Podemos identificar los coeficientes $latex a=1$, $latex b=-8$ y $latex c=4$. Usando estos valores en la fórmula cuadrática, tenemos:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$x=\frac{-(-8)\pm \sqrt{( -8)^2-4(1)(4)}}{2(1)}$$

$$=\frac{8\pm \sqrt{64-16}}{2}$$

$$=\frac{8\pm \sqrt{48}}{2}$$

$$x=7.46 \text{ o } 0.54$$

Entonces, las soluciones son $latex x=7.46$ y $latex x=0.54$.

EJERCICIO 9

Resuelve la ecuación $latex 2x^2+8x-10=0$ con el método de completar el cuadrado.

Podemos dividir a toda la ecuación por 2 para lograr que el coeficiente del término cuadrático sea igual a 1:

⇒ $latex x^2+4x-5=0$

Ahora, tomamos al coeficiente b, lo dividimos por 2 y lo elevamos al cuadrado. Entonces, tenemos:

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2$$

$$=2^2$$

Sumando y restando a la expresión cuadrática, tenemos:

$$x^2+4x-5=x^2+4x+2^2-2^2-5$$

Completando el cuadrado y simplificando, tenemos:

$latex = (x+2)^2-4-5$

$latex = (x+2)^2-9$

Ahora, escribimos a la ecuación así:

⇒ $latex (x+2)^2=9$

Y sacamos la raíz cuadrada de ambos lados:

⇒ $latex x+2=\pm 3$

Resolviendo, tenemos:

⇒ $latex x=1~~$ o $latex ~~x=-5$

EJERCICIO 10

Usa la fórmula cuadrática para resolver la ecuación $latex x^2-10x+25=0$.

Podemos identificar los coeficientes $latex a=1$, $latex b=-10$ y $latex c=25$. Usándolos en la fórmula cuadrática general, tenemos:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$x=\frac{-(-10)\pm \sqrt{( -10)^2-4(1)(25)}}{2(1)}$$

$$=\frac{10\pm \sqrt{100-100}}{2}$$

$$=\frac{10\pm \sqrt{0}}{2}$$

$$=\frac{10}{2}$$

$latex x=5$

En este caso, tenemos una sola raíz repetida $latex x=5$.

EJERCICIO 11

Encuentra las raíces de la ecuación $latex 4x^2+5=2x^2+20$.

Primero, tenemos que simplificar esta ecuación y escribirla en la forma $latex ax^2+bx+c=0$:

$latex 4x^2+5=2x^2+20$

$latex 4x^2-2x^2+5-20=0$

$latex 2x^2-15=0$

Ahora, podemos ver que es una ecuación cuadrática incompleta que no tiene el término bx. Entonces, podemos resolverla al despejar x² y sacar la raíz cuadrada de ambos lados:

$latex 2x^2-15=0$

$latex 2x^2=15$

$latex x^2=\frac{15}{2}$

$latex x=\pm \sqrt{\frac{15}{2}}$

EJERCICIO 12

Resuelve la ecuación $latex 5x^2+5x=2x^2+10x$.

Para resolver la ecuación, tenemos que empezar escribiéndola en la forma $latex ax^2+bx+c=0$. Entonces, tenemos:

$latex 5x^2+5x=2x^2+10x$

$latex 5x^2-2x^2+5x-10x=0$

$latex 3x^2-5x=0$

Vemos que es una ecuación incompleta que no tiene el término c. Entonces, podemos resolverla al factorizar x:

$latex 3x^2-5x=0$

$latex x(3x-5)=0$

$latex x=0~~$ o $latex ~~3x-5=0$

$latex x=0~~$ o $latex ~~x=\frac{5}{3}$

EJERCICIO 13

Resuelve la ecuación $latex 3x^2+5x-4=x^2-2x$ usando la fórmula general. Expresa las soluciones con dos lugares decimales.

Para usar la fórmula general, tenemos que empezar escribiendo a la ecuación en la forma $latex ax^2+bx+c=0$:

$latex 3x^2+5x-4=x^2-2x$

$latex 2x^2+3x-4=0$

Ahora, tenemos los coeficientes $latex a=2$, $latex b=3$ y $latex c=-4$. Entonces, usando estos valores en la fórmula general, tenemos:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$x=\frac{-(3)\pm \sqrt{( 3)^2-4(2)(-4)}}{2(2)}$$

$$=\frac{-3\pm \sqrt{9+32}}{4}$$

$$=\frac{-3\pm \sqrt{41}}{2}$$

$$=-2.35 \text{ o }0.85$$

Las soluciones de la ecuación son $latex x=-2.35$ y $latex x=0.85$.

EJERCICIO 14

Resuelve la siguiente ecuación $$(3x+1)(2x-1)-(x+2)^2=5$$

Para resolver esta ecuación, tenemos que expandir los paréntesis y simplificar hasta escribirla en la forma $latex ax^2+bx+c=0$. Entonces, tenemos:

$$(3x+1)(2x-1)-(x+2)^2=5$$

$$6x^2-x-1-(x^2+4x+4)=5$$

$latex 5x^2-5x-5=5$

$latex 5x^2-5x-10=0$

Ahora, podemos resolver por factorización:

$latex 5x^2-5x-10=0$

$latex 5(x^2-x-2)=0$

$latex 5(x+1)(x-2)=0$

$latex x+1=0~~$ o $latex ~~x-2=0$

$latex x=-1~~$ o $latex ~~x=2$

EJERCICIO 15

Usa el método de completar el cuadrado para resolver la ecuación $latex -x^2+3x+1=-2x^2+6x$.

Tenemos que empezar escribiendo a la ecuación en la forma $latex ax^2+bx+c=0$:

$latex -x^2+3x+1=-2x^2+6x$

$latex x^2-3x+1=0$

Ahora, vemos que el coeficiente b en esta ecuación es igual a -3. Entonces, tenemos:

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{-3}{2}\right)^2$$

Al sumar y restar este valor a la ecuación cuadrática, tenemos:

$$x^2-3x+1=x^2-2x+\left(\frac{-3}{2}\right)^2-\left(\frac{-3}{2}\right)^2+1$$

Completando el cuadrado y simplificando, tenemos:

$latex = (x-\frac{3}{2})^2-\left(\frac{-3}{2}\right)^2+1$

$latex = (x-\frac{3}{2})^2-\frac{5}{4}$

Ahora, escribimos a la ecuación de la siguiente forma:

$latex ⇒ (x-\frac{3}{2})^2=\frac{5}{4}$

Al sacar la raíz cuadrada de ambos lados, tenemos:

⇒ $latex x-\frac{3}{2}=\sqrt{\frac{5}{4}}$

⇒ $latex x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$

Resolviendo, tenemos:

⇒ $latex x=\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$

EJERCICIO 16

Demuestra que la ecuación $latex 5x^2+4x+10=0$ no tiene soluciones reales usando la fórmula general.

Podemos usar los valores $latex a=5$, $latex b=4$ y $latex c=10$ en la fórmula cuadrática:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$x=\frac{-(4)\pm \sqrt{( 4)^2-4(5)(10)}}{2(5)}$$

$$=\frac{-5\pm \sqrt{16-200}}{10}$$

$$=\frac{-5\pm \sqrt{-184}}{10}$$

Podemos ver que obtuvimos un número negativo dentro de la raíz cuadrada. $latex \sqrt{-184}$ no es un número real, por lo que la ecuación no tiene raíces reales.

EJERCICIO 17

Resuelve la siguiente ecuación $$\frac{4}{x-1}+\frac{3}{x}=3$$

Esta ecuación no pareciera ser cuadrática a primera vista. Sin embargo, podemos multiplicarla por $latex x(x-1)$ para eliminar las fracciones y tenemos:

$$\frac{4}{x-1}+\frac{3}{x}=3$$

$$4x+3(x-1)=3x(x-1)$$

$$4x+3x-3=3x^2-3x$$

$latex 3x^2-10x+3=0$

Ahora, podemos factorizar esta ecuación para resolverla:

$latex 3x^2-10x+3=0$

$latex (3x-1)(x-3)=0$

$latex 3x-1=0~~$ o $latex ~~x-3=0$

$latex x=\frac{1}{3}~~$ o $latex ~~x=3$

EJERCICIO 18

Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación $$\frac{2x+1}{x+5}=\frac{3x-1}{x+7}$$

Para simplificar las fracciones, podemos multiplicar en cruz para obtener:

$$ (2x+1)(x+7)=(3x-1)(x+5)$$

Al expandir y simplificar, tenemos:

$$ 2x^2+15x+7=3x^2+14x-5 $$

$latex x^2-x-12=0$

Factorizando y resolviendo, tenemos:

$latex (x+3)(x-4)=0$

$latex x+3=0~~$ o $latex ~~x-4=0$

$latex x=-3~~$ o $latex ~~x=4$

EJERCICIO 19

Encuentra dos números de modo que su suma sea igual a 17 y su producto sea igual a 60.

Para resolver este problema, podemos formar ecuaciones usando la información del enunciado. Usamos letras X (número menor) y Y (número mayor) para representar a los números:

$latex X+Y=17~~[1]$

$latex XY=60~~[2]$

Escribiendo a la ecuación 1 como $latex Y=17-X$ y sustituyéndola en la segunda ecuación, tenemos:

$latex X(17-X)=60$

Podemos expandir y escribirla en la forma $latex ax^2+bx+c=0$:

$latex 17X-X^2=60$

$latex X^2-17X+60=0$

Ahora, podemos resolver la ecuación por factorización:

$latex X^2-17X+60=0$

$latex (X-12)(X-5)=0$

$latex X-12=0~~$ o $latex ~~X-5=0$

$latex X=12~~$ o $latex ~~X=5$

Entonces, tenemos:

  • Si es que $latex X=5$, tenemos $latex Y=17-5=12$. Esta solución es la correcta porque X<Y.
  • Si es que $latex X=12$, tenemos $latex Y=17-12=5$

Los números son 12 y 5.

EJERCICIO 20

Si es que el área de un rectángulo es 78 unidades cuadradas y su lado más largo tiene 7 unidades de longitud más que el lado más corto, ¿cuáles son las longitudes de los lados?

Para resolver este problema, tenemos que usar la información dada para formar ecuaciones. Vamos a representar al lado más corto con x. Esto significa que el lado más largo es igual a x+7.

Ahora, considerando que el área de un rectángulo es encontrada al multiplicar las longitudes de sus lados, tenemos:

$latex x(x+7)=78$

Expandiendo y escribiendo a la ecuación en la forma $late ax^2+bx+c=0$, tenemos:

$latex x^2+7x-78=0$

Resolviendo por factorización, tenemos:

$latex (x+13)(x-6)=0$

$latex x+13=0~~$ o $latex ~~x-6=0$

$latex x=-13~~$ o $latex ~~x=6$

Dado que no podemos tener longitudes negativas, tenemos $latex x=6$, por lo que las longitudes son 6 y 13.


Véase también

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