Resolver Ecuaciones Cuadráticas – Métodos y Ejercicios

Las ecuaciones cuadráticas tienen la forma ax²+bx+c=0. Estas ecuaciones pueden ser resueltas usando varios métodos dependiendo del tipo de ecuación cuadrática que tengamos. Podemos usar métodos para ecuaciones incompletas, resolver ecuaciones por factorización, completando el cuadrado o con la fórmula cuadrática.

A continuación, aprenderemos a resolver ecuaciones cuadráticas usando varios métodos diferentes. Usaremos varios ejemplos para mejorar el aprendizaje de los métodos.

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Resolver ecuaciones cuadráticas metodos y ejercicios

Relevante para

Aprender a resolver ecuaciones cuadráticas con varios métodos.

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Aprender a resolver ecuaciones cuadráticas con varios métodos.

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Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas

Una ecuación cuadrática incompleta es una ecuación que no tiene un término de la forma $latex ax^2+bx+c=0$, siempre y cuando el término x² siempre esté presente. Entonces, tenemos dos tipos de ecuaciones cuadráticas incompletas dependiendo del término faltante.

Resolver ecuaciones cuadráticas que no tienen el término bx

Para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma $latex ax^2+c=0$ que no tienen el término bx, tenemos que despejar a x² y sacar la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación.

Por ejemplo, supongamos que queremos resolver la ecuación $latex x^2-9=0$. Primero, tenemos que escribirla de la siguiente manera:

$latex x^2=9$

Ahora que tenemos a x² despejado, podemos sacar la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación:

$latex x=\sqrt{9}$

$latex x=\pm 3$

Nota: Debemos considerar tanto la solución positiva como la solución negativa, ya que $latex (-3)^2=9$.

Resolver ecuaciones cuadráticas que no tienen el término c

Para resolver ecuaciones de la forma $latex ax^2+bx=0$ que no tienen el término constante c, tenemos que factorizar la x del lado izquierdo de la ecuación. Luego, formamos dos ecuaciones con los factores y resolvemos.

Por ejemplo, supongamos que queremos resolver la ecuación $latex x^2-5x=0$. Primero, la factorizamos de la siguiente manera:

$latex x(x-5)=0$

Dado que tenemos dos factores, podemos formar una ecuación con cada factor y resolvemos:

$latex x=0~~$ o $latex ~~x-5=0$

$latex x=0~~$ o $latex ~~x=5$

Nota: En este tipo de ecuaciones, una de las soluciones siempre sera $latex x=0$.


Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización

El método de factorización consiste en encontrar los factores de la ecuación cuadrática de modo que tengamos expuestas a las raíces de la ecuación. Al formar una ecuación con cada factor, podremos encontrar las raíces.

Podemos resolver ecuaciones cuadráticas por factorización al seguir los siguientes pasos:

Paso 1: Simplifica la ecuación si es que es posible y escríbela en la forma $latex ax^2+bx+c=0$.

Paso 2: Encuentra los factores de la ecuación usando cualquier método y escríbela en la forma $latex (x+p)(x+q)=0$.

Paso 3: Toma cada factor e iguálalo a cero para formar una ecuación. Por ejemplo $latex x+p=0$.

Paso 4: Resuelve la ecuación de cada factor.

Existen varios métodos que podemos usar para factorizar ecuaciones cuadráticas. La idea general consiste en encontrar dos factores de la forma $latex (x+p)(x+q)=0$, los cuales resulten en la forma $latex x^2+bx+c=0$ al ser multiplicados.

Por ejemplo, la ecuación $latex x^2+2x-3=0$ puede ser factorizada en la forma $latex (x+3)(x-2)=0$, ya que al multiplicar los factores, obtenemos la ecuación original.

Puedes aprender o hacer una revisión de la factorización de ecuaciones cuadráticas al visitar nuestro artículo: Factorización de Ecuaciones Cuadráticas.

Este método nos permite encontrar ambas raíces de la ecuación relativamente fácil. Sin embargo, no siempre es posible factorizar una ecuación cuadrática.


Resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado

Completar el cuadrado es una técnica de factorización que nos permite escribir a una ecuación de la forma $latex ax^2+bx+c=0$ a la forma $latex (x-h)^2+k=0$. Así, podemos resolver ecuaciones cuadráticas que no pueden ser factorizadas fácilmente.

Para resolver ecuaciones cuadráticas usando el método de completar el cuadrado, podemos seguir los siguientes pasos:

Paso 1: Simplificar y escribir a la ecuación en la forma $latex ax^2+bx+c=0$.

Paso 2: Cuando a es diferente de 1, toda la ecuación debe ser dividida por a para obtener una ecuación con un valor de a igual a 1:

$latex x^2+bx+c=0$

Paso 3: Dividimos al coeficiente b por 2 para obtener:

$$\left(\frac{b}{2}\right)$$

Paso 4: Elevamos al cuadrado a la expresión del paso 3:

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Paso 5: Sumamos y restamos la expresión obtenida en el paso 4 a la ecuación obtenida en el paso 2:

$$x^2+bx+\left(\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c=0$$

Paso 6: Factorizamos la ecuación usando la identidad $latex x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$:

$$\left(x+\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c=0$$

Paso 7: Simplificamos para obtener una ecuación de la siguiente forma:

$latex (x-h)^2+k=0$

Paso 8: Reorganizamos a la ecuación de la siguiente forma:

$latex (x-h)^2=-k$

Paso 9: Sacamos la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación:

$latex x-h=\sqrt{-k}$

Paso 10: Resolvemos para x:

$latex x=h\pm \sqrt{-k}$


Resolver ecuaciones cuadráticas con la fórmula cuadrática

Cuando no es posible resolver ecuaciones cuadráticas con ningún otro método, podemos usar la fórmula cuadrática, ya que este método nos permite encontrar ambas soluciones de cualquier ecuación cuadrática.

Para usar la fórmula cuadrática general, tenemos que escribir a la ecuación en la forma $latex a{{x}^2}+bx+c=0$. Esto nos permitirá identificar los valores de los coeficientes a, b y c fácilmente. Luego, usamos esos valores en la fórmula cuadrática:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Nota: No debemos olvidar el signo ±, ya que de esa forma obtendremos ambas soluciones a la ecuación cuadrática cuando sea el caso.

La expresión dentro de la raíz cuadrada de la fórmula cuadrática ($latex b^2-4ac$) es el discriminante de la ecuación cuadrática. El discriminante determina el tipo de raíz que tendrá la ecuación cuadrática.

Entonces, dependiendo del valor del discriminante, tenemos lo siguiente:

  • Cuando $latex b^2-4ac>0$, la ecuación tiene dos raíces reales.
  • Cuando $latex b^2-4ac<0$, la ecuación no tiene raíces reales.
  • Cuando $latex b^2-4ac=0$, la ecuación tiene una raíz repetida.

Entonces, cuando el valor dentro de la raíz cuadrada de la fórmula es positivo, tendremos dos raíces reales. Cuando ese valor es negativo, no tendremos raíces reales (pero sí raíces imaginarias o complejas). Cuando ese valor es igual a cero, tendremos una sola raíz.

Si es que quieres aprender más sobre la fórmula cuadrática y quieres conocer cómo demostrar o derivar esta fórmula, puedes visitar nuestro artículo Fórmula Cuadrática General – Derivación.


Resolver ecuaciones cuadráticas – Ejercicios resueltos

Los siguientes ejercicios son resueltos usando todos los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas estudiados arriba. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.

EJERCICIO 1

¿Cuáles son las soluciones de la ecuación $latex x^2-4=0$?

Esta ecuación es una ecuación cuadrática incompleta que no tiene el término bx. Entonces, podemos encontrar las soluciones al despejar al término cuadrático y sacar la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación:

$latex x^2-4=0$

$latex x^2=4$

$latex x=\pm\sqrt{4}$

$latex x=\pm 2$

Las soluciones de la ecuación son $latex x=2$ y $latex x=-2$.

EJERCICIO 2

Resulve la ecuación $latex x^2-7x=0$.

Esta ecuación es una ecuación cuadrática incompleta que no tiene el término constante c. Podemos resolverla al factorizar la x y formar una ecuación con cada factor:

$latex x^2-7x=0$

$latex x(x-7)=0$

$latex x=0 ~~$ o $latex ~~x-7=0$

$latex x=0 ~~$ o $latex ~~x=7$

Las soluciones de la ecuación son $latex x=0$ y $latex x=-7$

EJERCICIO 3

Resuelve la ecuación $latex x^2+2x-8=0$ usando el método de factorización.

Factorizando el lado izquierdo de la ecuación, tenemos:

$latex x^2+2x-8=0$

$latex (x+4)(x-2)=0$

Ahora, formamos una ecuación con cada factor y resolvemos:

$latex x+4=0~~$ o $latex ~~x-2=0$

$latex x=-4~~$ o $latex ~~x=2$

Las soluciones de la ecuación son $latex x=-4$ y $latex x=2$.

EJERCICIO 4

Resuelve la ecuación $latex 2x^2-13x-24=0$ usando el método de factorización.

Podemos factorizar el lado izquierdo de la ecuación de la siguiente manera:

$latex 2x^2-13x-24=0$

$latex (2x+3)(x-8)=0$

Ahora, formamos una ecuación con cada factor y resolvemos:

$latex 2x+3=0~~$ o $latex ~~x-8=0$

$latex x=-\frac{3}{2}~~$ o $latex ~~x=8$

Las soluciones de la ecuación son $latex x=-\frac{3}{2}$ y $latex x=8$.

EJERCICIO 5

Usa el método de completar el cuadrado para resolver la ecuación $latex x^2+4x-6=0$.

En esta ecuación, el coeficiente b es igual a 4. Entonces, tenemos:

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2$$

$$=2^2$$

Ahora, tenemos que sumar y restar ese valor a la ecuación cuadrática:

$$x^2+4x-6=x^2+4x+2^2-2^2-6$$

Al completar el cuadrado y simplificar, tenemos:

$latex = (x+2)^2-4-6$

$latex = (x+2)^2-10$

Reorganizando, formamos la ecuación:

$latex (x+2)^2=10$

Al sacar la raíz cuadrada de ambos lados, tenemos:

⇒ $latex x+2=\sqrt{10}$

Resolviendo, tenemos:

⇒ $latex x=-2\pm \sqrt{10}$

EJERCICIO 6

Resuelve la ecuación $latex 2x^2+8x-10=0$ completando el cuadrado.

Podemos dividir a toda la ecuación por 2 para lograr que el coeficiente del término cuadrático sea igual a 1:

⇒ $latex x^2+4x-5=0$

Ahora, podemos ver que el coeficiente b es igual a 4. Entonces, tenemos:

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2$$

$$=2^2$$

Si es que sumamos y restamos esa expresión a la ecuación cuadrática, tenemos:

$$x^2+4x-5=x^2+4x+2^2-2^2-5$$

Al completar el cuadrado y simplificar, tenemos:

$latex = (x+2)^2-4-5$

$latex = (x+2)^2-9$

Ahora, reorganizamos a la ecuación de la siguiente manera:

⇒ $latex (x+2)^2=9$

Y sacamos la raíz cuadrada de ambos lados:

⇒ $latex x+2=\pm3$

Resolviendo, tenemos:

⇒ $latex x=1$, $latex x=-5$

EJERCICIO 7

Usa la fórmula general para resolver la ecuación $latex 2x^2+3x-4=0$. Expresa las soluciones con dos lugares decimales.

Esta ecuación tiene los coeficientes $latex a=2$, $latex b=3$ y $latex c=-4$. Entonces, usando la fórmula cuadrática con esos valores, tenemos:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$x=\frac{-(3)\pm \sqrt{( 3)^2-4(2)(-4)}}{2(2)}$$

$$=\frac{-3\pm \sqrt{9+32}}{4}$$

$$=\frac{-3\pm \sqrt{41}}{2}$$

$$=-2.35 \text{ o }0.85$$

Las soluciones de la ecuación son $latex x=-2.35$ y $latex x=0.85$.

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Resolver ecuaciones cuadráticas – Ejercicios para resolver

Resuelve los siguientes ejercicios usando cualquiera de los métodos que estudiamos arriba.

Encuentra las soluciones a la ecuación $latex 4x^2-24=0$.

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Resuelve la ecuación $latex 3x^2+5x=0$.

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Usa el método de factorización para resolver la ecuación $latex 2x^2+5x+2=0$.

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Usa el método de completar el cuadrado para resolver la ecuación $latex x^2-8x-3=0$.

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Usa la fórmula cuadrática para resolver la ecuación $latex 5x^2+2x-1=0$. Usa dos lugares decimales.

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Véase también

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