10 Problemas Verbales de Ecuaciones Cuadráticas

Los problemas verbales de ecuaciones cuadráticas son problemas matemáticos en los que las ecuaciones no se dan directamente. Estos problemas pueden ser resueltos al usar la información dada para obtener una ecuación cuadrática de la forma $latex ax^2+bx+c$. Luego, podemos usar el método de factorización, el método de completar el cuadrado o la fórmula cuadrática para resolver la ecuación.

A continuación, miraremos 10 problemas verbales resueltos de ecuaciones cuadráticas. Además, también podrás practicar con 5 problemas verbales para resolver.

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10 problemas verbales de Ecuaciones Cuadráticas

Relevante para

Aprender a resolver problemas verbales de ecuaciones cuadráticas.

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10 Problemas verbales de ecuaciones cuadráticas resueltos

Los siguientes ejercicios son resueltos al formar una ecuación cuadrática con el problema verbal dado. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.

EJERCICIO 1

Si es que la suma de dos números es igual a 17 y su producto es igual a 60, ¿cuáles son los números?

Podemos usar las letras X (número menor) y Y (número mayor) para representar a ambos números. Entonces, del enunciado podemos obtener las siguientes ecuaciones:

$latex X+Y=17~~[1]$

$latex XY=60~~[2]$

Ahora, podemos reorganizar a la ecuación 1 para obtener $latex Y=17-X$. Sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación, tenemos:

$latex X(17-X)=60$

Expandiendo el paréntesis y reorganizando a la ecuación, tenemos:

$latex 17X-X^2=60$

$latex X^2-17X+60=0$

Ahora, podemos factorizar la ecuación para resolver:

$latex X^2-17X+60=0$

$latex (X-12)(X-5)=0$

$latex X-12=0~~$ o $latex ~~X-5=0$

$latex X=12~~$ o $latex ~~X=5$

Entonces, tenemos:

  • Si es que $latex X=5$, tenemos $latex Y=17-5=12$. Esta solución es la correcta porque X<Y.
  • Si es que $latex X=12$, tenemos $latex Y=17-12=5$

Los números son 12 y 5.

EJERCICIO 2

La diferencia de dos números es igual a 5 y su producto es igual a 126. ¿Cuáles son estos números?

Usando la información del enunciado y usando las letras X (número menor) y Y (número mayor) para representar a los números, podemos obtener las siguientes ecuaciones:

$latex Y-X=5 ~~[1]$

$latex XY=126~~[2]$

Ahora, podemos escribir a la primera ecuación como $latex Y=5+X$ y sustituyéndola en la segunda ecuación, tenemos:

$latex X(5+X)=126$

$latex 5X+X^2=126$

$latex X^2+5X-126=0$

Ahora, podemos factorizar y resolver:

$latex (X+13)(X-9)=0$

$latex X+13=0~~$ o $latex ~~X-9=0$

$latex X=-13~~$ o $latex ~~X=9$

Entonces, tenemos:

  • Si es que $latex X=-13$, tenemos $latex Y=5-13=-8$
  • Si es que $latex X=9$, tenemos $latex Y=5+9=14$. Esta solución es la correcta porque $latex XY=126$.

Los números son 12 y 5.

EJERCICIO 3

Si es que el área de un rectángulo es 78 unidades cuadradas y su lado más largo tiene 7 unidades de longitud más que el lado más corto, ¿cuáles son las longitudes de los lados?

Podemos representar al lado más corto con x. Esto significa que el lado más largo es igual a x+7.

Además, recordamos que el área de un rectángulo es igual al producto de sus lados. Entonces, podemos formar la siguiente ecuación:

$latex x(x+7)=78$

Expandiendo y escribiendo a la ecuación en la forma $late ax^2+bx+c=0$, tenemos:

$latex x^2+7x-78=0$

Ahora, podemos usar factorización para resolver:

$latex (x+13)(x-6)=0$

$latex x+13=0~~$ o $latex ~~x-6=0$

$latex x=-13~~$ o $latex ~~x=6$

Dado que no podemos tener longitudes negativas, tenemos $latex x=6$, por lo que las longitudes son 6 y 13.

EJERCICIO 4

Encuentra las longitudes de los lados de un rectángulo que tiene un área de 200 unidades cuadradas si es que el lado más largo tiene el doble de la longitud del lado corto.

Usando las letras X (lado corto) y Y (lado largo) para representar a los lados, podemos obtener las siguientes ecuaciones usando la información dada:

$latex Y=2X~~[1]$

$latex XY=200~~[2]$

Ahora, podemos sustituir la ecuación 1 en la ecuación 2 y tenemos:

$latex X(2X)=200$

$latex 2X^2=200$

Para resolver esta ecuación, tenemos que despejar a X² completamente y sacar la raíz cuadrada de ambos lados:

$latex X^2=100$

$latex X=\pm\sqrt{100}$

$latex X=\pm 10$

Dado que una longitud no puede ser negativa, tenemos $latex X=10$. Entonces, tenemos $latex Y=20$.

EJERCICIO 5

La diferencia de los cuadrados de dos números impares consecutivos es igual a 48. Encuentra ambos números.

Representando con x al primer número, podemos deducir que un número impar consecutivo es igual a $latex x+2$. Entonces, usando la información del enunciado, formamos una ecuación con los cuadrados de los números consecutivos:

$latex (x+2)^2-x^2=48$

Expandiendo, simplificando y resolviendo, tenemos:

$latex x^2+4x+4-x^2=48$

$latex 4x+4=48$

$latex 4x=44$

$latex x=11$

Entonces, los números impares consecutivos son 11 y 13.

EJERCICIO 6

Los lados de un triángulo rectángulo tienen las longitudes x, x+2 y 10. Si es que 10 es la hipotenusa del triángulo, encuentra el valor de x.

Dado que el triángulo es rectángulo, podemos usar el teorema de Pitágoras para relacionar a las longitudes de los tres lados del triángulo.

El enunciado nos dice que 10 es la hipotenusa del triángulo. Entonces, tenemos:

$latex x^2+(x+2)^2=10^2$

Expandiendo y simplificando la ecuación, tenemos:

$latex x^2+(x+2)^2=10^2$

$latex x^2+x^2+4x+4=100$

$latex 2x^2+4x+4=100$

$latex 2x^2+4x-96=0$

Ahora, podemos dividir a toda la ecuación por 2 para simplificarla:

$latex x^2+2x-48=0$

Resolviendo por factorización, tenemos:

$latex (x+8)(x-6)=0$

$latex x+8=0~~$ o $latex ~~x-6=0$

$latex x=-8~~$ o $latex ~~x=6$

Como no podemos tener una longitud negativa, la respuesta es $latex x=6$.

EJERCICIO 7

Si es que el producto de dos números es igual a 48 y su promedio es igual a 7, encuentra ambos números.

Podemos representar a uno de los números con x. Esto significa que el otro número es igual a 48/x, ya que su producto es igual a 48.

Entonces, considerando que el promedio de dos números es igual a la suma de los números dividida por 2, tenemos:

$latex \frac{x+48/x}{2}=7$

Simplificando, tenemos:

$latex x+\frac{48}{x}=14$

$latex x^2+48=14x$

$latex x^2-14x+48=0$

Ahora, podemos resolver por factorización:

$latex (x-8)(x-6)=0$

$latex x-8=0~~$ o $latex ~~x-6=0$

$latex x=8~~$ o $latex ~~x=6$

Los números son 6 y 8.

EJERCICIO 8

Si es que la longitud de los lados de un cuadrado es incrementada por 4, su área es multiplicada por 9. Encuentra la longitud de los lados del cuadrado original.

En este ejercicio, hay dos áreas que debemos considerar, el área del cuadrado original y el área del cuadrado más grande (longitud +4).

Usando la x para representar a los lados del cuadrado original y recordando que el área de un cuadrado es igual a la longitud de uno de los lados al cuadrado, tenemos:

Área grande = 9 × Área original

$latex (x+4)^2=9x^2$

Expandiendo y simplificando, tenemos:

$latex x^2+8x+16=9x^2$

$latex 8x^2-8x-16=0$

Podemos dividir a toda la ecuación por 8 y resolviendo por factorización, tenemos:

$latex x^2-x-2=0$

$latex (x-2)(x+1)=0$

$latex x-2=0~~$ o $latex ~~x+1=0$

$latex x=2~~$ o $latex ~~x=-1$

Como una longitud no puede ser negativa, la respuesta es $latex x=2$.

EJERCICIO 9

El lado más corto de un triángulo rectángulo mide 4 unidades menos que su hipotenusa. La diferencia entre el lado corto y el lado intermedio es 2 unidades. Si es que el lado más corto mide x-2, encuentra el valor de x.

Del enunciado, podemos deducir las siguientes longitudes del triángulo:

  • Lado corto = x-2
  • Lado intermedio = x (2 unidades de diferencia con lado corto)
  • Hipotenusa = x+2 (4 unidades más que lado corto)

Ahora, podemos usar el teorema de Pitágoras para relacionar a las tres longitudes:

$latex (x-2)^2+x^2=(x+2)^2$

Expandiendo y simplificando, tenemos:

$$x^2-4x+4+x^2=x^2+4x+4$$

$$x^2-4x+4+x^2-x^2-4x-4=0$$

$latex x^2-8x=0$

$latex x(x-8)=0$

$latex x=0~~$ o $latex ~~x=8$

Dado que la longitud no puede ser 0, tenemos $latex x=8$.

EJERCICIO 10

La siguiente figura tiene un área de 100 unidades cuadradas. Encuentra el valor de x.

Problema verbal de ecuaciones cuadráticas

Podemos dividir a la figura en dos rectángulos, un rectángulo tiene el área 7x y el otro rectángulo tiene el área x(2x+3). Sumando estas áreas, tenemos:

$latex 7x+x(2x+3)=100$

Expandiendo y simplificando, tenemos:

$latex 7x+2x^2+3x=100$

$latex 2x^2+10x-100=0$

Ahora, podemos dividir a toda la ecuación por 2 y resolver por factorización:

$latex x^2+5x-50=0$

$latex (x+10)(x-5)=0$

$latex x=-10~~$ o $latex ~~x=5$

Dado que no podemos tener una longitud negativa, la respuesta es $latex x=5$.

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Problemas verbales de ecuaciones cuadráticas para resolver

Resuelve los siguientes problemas usando cualquier método de resolución de ecuaciones cuadráticas.

Encuentra dos números de modo que su suma es igual a 18 y su producto es igual a 56.

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Encuentra la longitud de los lados de un rectángulo que tiene un área de 84 unidades cuadradas si es que la longitud de un lado es 5 unidades más larga que el otro lado.

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Los tres lados de un triángulo rectángulo son x, x+1 y 5. Si es que la hipotenusa es igual a 5, ¿cuál es el valor de x?

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La diferencia de los cuadrados de dos números pares consecutivos es 68. Encuentra los dos números.

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Si es que la longitud de los lados de un cuadrado es aumentada por 6, su área se multiplica por 16. Encuentra la longitud de uno de los lados del cuadrado original.

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