10 Problemas Verbales de Ecuaciones Cuadráticas

Podemos usar las letras X (número menor) y Y (número mayor) para representar a ambos números. Entonces, del enunciado podemos obtener las siguientes ecuaciones:

$latex X+Y=17~~[1]$

$latex XY=60~~[2]$

Ahora, podemos reorganizar a la ecuación 1 para obtener $latex Y=17-X$. Sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación, tenemos:

$latex X(17-X)=60$

Expandiendo el paréntesis y reorganizando a la ecuación, tenemos:

$latex 17X-X^2=60$

$latex X^2-17X+60=0$

Ahora, podemos factorizar la ecuación para resolver:

$latex X^2-17X+60=0$

$latex (X-12)(X-5)=0$

$latex X-12=0~~$ o $latex ~~X-5=0$

$latex X=12~~$ o $latex ~~X=5$

Entonces, tenemos:

• Si es que $latex X=5$, tenemos $latex Y=17-5=12$. Esta solución es la correcta porque X<Y.
• Si es que $latex X=12$, tenemos $latex Y=17-12=5$

Los números son 12 y 5.

Usando la información del enunciado y usando las letras X (número menor) y Y (número mayor) para representar a los números, podemos obtener las siguientes ecuaciones:

$latex Y-X=5 ~~[1]$

$latex XY=126~~[2]$

Ahora, podemos escribir a la primera ecuación como $latex Y=5+X$ y sustituyéndola en la segunda ecuación, tenemos:

$latex X(5+X)=126$

$latex 5X+X^2=126$

$latex X^2+5X-126=0$

Ahora, podemos factorizar y resolver:

$latex (X+13)(X-9)=0$

$latex X+13=0~~$ o $latex ~~X-9=0$

$latex X=-13~~$ o $latex ~~X=9$

Entonces, tenemos:

• Si es que $latex X=-13$, tenemos $latex Y=5-13=-8$
• Si es que $latex X=9$, tenemos $latex Y=5+9=14$. Esta solución es la correcta porque $latex XY=126$.

Los números son 12 y 5.

Podemos representar al lado más corto con x. Esto significa que el lado más largo es igual a x+7.

Además, recordamos que el área de un rectángulo es igual al producto de sus lados. Entonces, podemos formar la siguiente ecuación:

$latex x(x+7)=78$

Expandiendo y escribiendo a la ecuación en la forma $late ax^2+bx+c=0$, tenemos:

$latex x^2+7x-78=0$

Ahora, podemos usar factorización para resolver:

$latex (x+13)(x-6)=0$

$latex x+13=0~~$ o $latex ~~x-6=0$

$latex x=-13~~$ o $latex ~~x=6$

Dado que no podemos tener longitudes negativas, tenemos $latex x=6$, por lo que las longitudes son 6 y 13.

Usando las letras X (lado corto) y Y (lado largo) para representar a los lados, podemos obtener las siguientes ecuaciones usando la información dada:

$latex Y=2X~~[1]$

$latex XY=200~~[2]$

Ahora, podemos sustituir la ecuación 1 en la ecuación 2 y tenemos:

$latex X(2X)=200$

$latex 2X^2=200$

Para resolver esta ecuación, tenemos que despejar a X² completamente y sacar la raíz cuadrada de ambos lados:

$latex X^2=100$

$latex X=\pm\sqrt{100}$

$latex X=\pm 10$

Dado que una longitud no puede ser negativa, tenemos $latex X=10$. Entonces, tenemos $latex Y=20$.

Representando con x al primer número, podemos deducir que un número impar consecutivo es igual a $latex x+2$. Entonces, usando la información del enunciado, formamos una ecuación con los cuadrados de los números consecutivos:

$latex (x+2)^2-x^2=48$

Expandiendo, simplificando y resolviendo, tenemos:

$latex x^2+4x+4-x^2=48$

$latex 4x+4=48$

$latex 4x=44$

$latex x=11$

Entonces, los números impares consecutivos son 11 y 13.

Dado que el triángulo es rectángulo, podemos usar el teorema de Pitágoras para relacionar a las longitudes de los tres lados del triángulo.

El enunciado nos dice que 10 es la hipotenusa del triángulo. Entonces, tenemos:

$latex x^2+(x+2)^2=10^2$

Expandiendo y simplificando la ecuación, tenemos:

$latex x^2+(x+2)^2=10^2$

$latex x^2+x^2+4x+4=100$

$latex 2x^2+4x+4=100$

$latex 2x^2+4x-96=0$

Ahora, podemos dividir a toda la ecuación por 2 para simplificarla:

$latex x^2+2x-48=0$

Resolviendo por factorización, tenemos:

$latex (x+8)(x-6)=0$

$latex x+8=0~~$ o $latex ~~x-6=0$

$latex x=-8~~$ o $latex ~~x=6$

Como no podemos tener una longitud negativa, la respuesta es $latex x=6$.

Podemos representar a uno de los números con x. Esto significa que el otro número es igual a 48/x, ya que su producto es igual a 48.

Entonces, considerando que el promedio de dos números es igual a la suma de los números dividida por 2, tenemos:

$latex \frac{x+48/x}{2}=7$

Simplificando, tenemos:

$latex x+\frac{48}{x}=14$

$latex x^2+48=14x$

$latex x^2-14x+48=0$

Ahora, podemos resolver por factorización:

$latex (x-8)(x-6)=0$

$latex x-8=0~~$ o $latex ~~x-6=0$

$latex x=8~~$ o $latex ~~x=6$

Los números son 6 y 8.

En este ejercicio, hay dos áreas que debemos considerar, el área del cuadrado original y el área del cuadrado más grande (longitud +4).

Usando la x para representar a los lados del cuadrado original y recordando que el área de un cuadrado es igual a la longitud de uno de los lados al cuadrado, tenemos:

Área grande = 9 × Área original

$latex (x+4)^2=9x^2$

Expandiendo y simplificando, tenemos:

$latex x^2+8x+16=9x^2$

$latex 8x^2-8x-16=0$

Podemos dividir a toda la ecuación por 8 y resolviendo por factorización, tenemos:

$latex x^2-x-2=0$

$latex (x-2)(x+1)=0$

$latex x-2=0~~$ o $latex ~~x+1=0$

$latex x=2~~$ o $latex ~~x=-1$

Como una longitud no puede ser negativa, la respuesta es $latex x=2$.

Del enunciado, podemos deducir las siguientes longitudes del triángulo:

• Lado corto = x-2
• Lado intermedio = x (2 unidades de diferencia con lado corto)
• Hipotenusa = x+2 (4 unidades más que lado corto)

Ahora, podemos usar el teorema de Pitágoras para relacionar a las tres longitudes:

$latex (x-2)^2+x^2=(x+2)^2$

Expandiendo y simplificando, tenemos:

$$x^2-4x+4+x^2=x^2+4x+4$$

$$x^2-4x+4+x^2-x^2-4x-4=0$$

$latex x^2-8x=0$

$latex x(x-8)=0$

$latex x=0~~$ o $latex ~~x=8$

Dado que la longitud no puede ser 0, tenemos $latex x=8$.

Podemos dividir a la figura en dos rectángulos, un rectángulo tiene el área 7x y el otro rectángulo tiene el área x(2x+3). Sumando estas áreas, tenemos:

$latex 7x+x(2x+3)=100$

Expandiendo y simplificando, tenemos:

$latex 7x+2x^2+3x=100$

$latex 2x^2+10x-100=0$

Ahora, podemos dividir a toda la ecuación por 2 y resolver por factorización:

$latex x^2+5x-50=0$

$latex (x+10)(x-5)=0$

$latex x=-10~~$ o $latex ~~x=5$

Dado que no podemos tener una longitud negativa, la respuesta es $latex x=5$.