10 Ejercicios con Sistemas de Ecuaciones 2×2

Los sistemas de ecuaciones 2×2 son sistemas de dos ecuaciones con dos variables. Para resolver un sistema de ecuaciones, tenemos que resolver a las ecuaciones simultáneamente. Dos métodos comunes que podemos usar para resolver sistemas de ecuaciones son el método de sustitución y el método de reducción o eliminación.

A continuación, veremos un resumen breve sobre cómo resolver sistemas de ecuaciones. Además, resolveremos algunos ejercicios de práctica usando los métodos de sustitución y de reducción.

ÁLGEBRA
ejercicios de sistemas de ecuaciones

Relevante para

Aprender a resolver sistemas de ecuaciones con ejercicios.

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Métodos para resolver sistemas de ecuaciones

Existen varios métodos que podemos usar para resolver sistemas de ecuaciones. Sin embargo, los métodos más usados cuando se trata de sistemas de ecuaciones 2×2 son el método de sustitución y el método de reducción o eliminación.

Método de sustitución

Para resolver sistemas de ecuaciones 2×2 por sustitución, seguimos los siguientes pasos:

Paso 1: Remover paréntesis, combinar términos semejantes y eliminar fracciones para simplificar a las ecuaciones.

Paso 2: Resolver cualquiera de las ecuaciones para cualquiera de las variables.

Paso 3: Sustituir la ecuación obtenida en el paso 2 en la otra ecuación. Así, obtendremos una ecuación con una sola variable.

Paso 4: Resolver la ecuación del paso 3 para la variable restante.

Paso 5: Usar el valor de la variable obtenido en el paso 4 para encontrar el valor de la otra variable.

Método de reducción o eliminación

Para resolver sistemas de ecuaciones 2×2 por reducción o eliminación, seguimos los siguientes pasos:

Paso 1: Remover paréntesis, eliminar fracciones y combinar términos semejantes para simplificar las fracciones.

Paso 2: Escribir a las ecuaciones en la forma Ax+By=C.

Paso 3: Multiplicar a una o ambas ecuaciones por algún número, de modo que obtengamos coeficientes opuestos en una de las variables.

Una de las variables tiene que ser eliminada cuando sumamos las ecuaciones.

Paso 4: Sumar las ecuaciones. Obtendremos una sola ecuación con una sola variable.

Paso 5: Resolver la ecuación del paso 4 para la variable restante.

Paso 6: Usar el valor del paso 5 en cualquiera de las ecuaciones para obtener el valor de la segunda variable.


10 ejercicios de sistemas de ecuaciones 2×2 resueltos

Los siguientes ejercicios son resueltos usando los métodos de sustitución y de reducción de sistemas de ecuaciones 2×2. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.

EJERCICIO 1

Resuelve el sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}x+2y=10 \\ 2x-y=5 \end{cases}$

Vamos a resolver este sistema usando el método de sustitución. Entonces, empezamos resolviendo la primera ecuación para x:

$latex x+2y=10$

$latex x=10-2y$

Ahora, sustituimos a $latex x=10-2y$ en la segunda ecuación y tenemos:

$latex 2x-y=5$

$latex 2(10-2y)-y=5$

$latex 20-4y-y=5$

Resolviendo la ecuación para y, tenemos:

$latex 20-4y-y=5$

$latex -5y=-15$

$latex y=3$

Usando el valor y=3 en la primera ecuación, tenemos:

$latex x+2y=10$

$latex x+2(3)=10$

$latex x=4$

La solución al sistema es $latex x=4,~~y=3$.

EJERCICIO 2

Encuentra la solución al sistema: $latex \begin{cases}x-y=3 \\ 2x+y=12 \end{cases}$

Vamos a resolver este sistema usando el método de reducción o eliminación. Entonces, podemos observar que tenemos coeficientes opuestos en la variable y.

Sumando las ecuaciones, tenemos:

$latex x-y=3$

$latex +   \hspace{1cm}    2x+y=12$               

___________________

$latex 3x=15$

Resolviendo la ecuación, tenemos:

$latex 3x=15$

$latex x=5$

Usando el valor x=5 en la segunda ecuación, tenemos:

$latex 2x+y=12$

$latex 2(5)+y=12$

$latex 10+y=12$

$latex y=2$

La solución al sistema de ecuaciones es $latex x=5,~~y=2$.

EJERCICIO 3

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}-2x-y=1 \\ 3x+4y=6 \end{cases}$

Vamos a resolver por sustitución. Entonces, resolvemos la primera ecuación para y:

$latex -2x-y=1$

$latex -y=1+2x$

$latex y=-1-2x$

Usando la expresión $latex y=-1-2x$ en la segunda ecuación, tenemos:

$latex 3x+4y=6$

$latex 3x+4(-1-2x)=6$

$latex 3x-4-8x=6$

Resolviendo la ecuación, tenemos:

$latex 3x-4-8x=6$

$latex -5x=10$

$latex x=-2$

Usando el valor x=-2 en la primera ecuación, tenemos:

$latex -2x-y=1$

$latex -2(-2)-y=1$

$latex 4-y=1$

$latex -y=-3$

$latex y=3$

La solución al sistema es $latex x=-2, ~~y=3$.

EJERCICIO 4

Encuentra la solución al sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}y=2x+7 \\ -6x-2y=-4 \end{cases}$

Vamos a resolver por eliminación. Entonces, empezamos dividiendo a la segunda ecuación por 2 para simplificarla.

$latex \begin{cases}y=2x+7 \\ 3x+y=2 \end{cases}$

Ahora, escribimos a ambas ecuaciones en la forma Ax+By=C:

$latex \begin{cases}-2x+y=7 \\ 3x+y=2 \end{cases}$

Podemos multiplicar la primera ecuación por -1 para obtener coeficientes opuestos en y:

$latex \begin{cases}2x-y=-7\\ 3x+y=2 \end{cases}$

Sumando las ecuaciones, tenemos:

$latex 2x-y=-7$

$latex +   \hspace{1cm}    3x+y=2$               

___________________

$latex 5x=-5$

Resolviendo la ecuación, tenemos:

$latex 5x=-5$

$latex x=-1$

Usando el valor x=-1 en la primera ecuación, tenemos: 

$latex y=2x+7$

$latex y=2(-1)+7$

$latex y=5$

La solución es $latex x=-1, ~~y=5$.

EJERCICIO 5

Resuelve el sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}2(2x-4)+y=3 \\ -x+2y=4 \end{cases}$

Simplificando la primera ecuación, tenemos:

$latex \begin{cases}4x-8+y=3 \\ -x+2y=4 \end{cases}$

Ahora, vamos a resolver por sustitución. Entonces, resolviendo la primera ecuación para y, tenemos:

$latex 4x-8+y=3$

$latex y=-4x+11$

Usando $latex y=-4x+11$ en la segunda ecuación, tenemos:

$latex -x+2y=4$

$latex -x+2(-4x+11)=4$

$latex -x-8x+22=4$

Resolviendo la ecuación, tenemos:

$latex -x-8x+22=4$

$latex -9x=-18$

$latex x=2$

Usando el valor x=2 en la segunda ecuación, tenemos: 

$latex -x+2y=4$

$latex -2+2y=4$

$latex 2y=6$

$latex y=3$

La solución al sistema es $latex x=2,~~y=3$.

EJERCICIO 6

Resuelve el sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}2x=3y-14 \\ 2y=x+8 \end{cases}$

Vamos a resolver por eliminación. Entonces, escribimos a las ecuaciones en la forma Ax+By=C:

$latex \begin{cases}2x-3y=-14 \\ -x+2y=8 \end{cases}$

Podemos multiplicar a la segunda ecuación por 2 para obtener coeficientes opuestos en x:

$latex \begin{cases}2x-3y=-14 \\ -2x+4y=16 \end{cases}$

Sumando las ecuaciones, tenemos:

$latex 2x-3y=-14$

$latex +   \hspace{1cm}    -2x+4y=16$               

___________________

$latex y=2$

Usando el valor y=2 en la primera ecuación, tenemos: 

$latex 2x=3y-14$

$latex 2x=3(2)-14$

$latex 2x=-8$

$latex x=-4$

La solución es $latex x=-4,~~y=2$.

EJERCICIO 7

Resuelve el sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}2x-3y=7 \\ 2x+3y=1 \end{cases}$

Vamos a resolver por sustitución. Entonces, resolviendo la primera ecuación para x, tenemos:

$latex 2x-3y=7$

$latex 2x=3y+7$

$latex x=\frac{3y+7}{2}$

Usando la expresión $latex x=\frac{3y+7}{2}$ en la segunda ecuación, tenemos:

$latex 2x+3y=1$

$latex 2\left(\frac{3y+7}{2}\right)+3y=1$

$latex 3y+7+3y=1$

Resolviendo la ecuación para y, tenemos:

$latex 3y+7+3y=1$

$latex 6y=-6$

$latex y=-1$

Usando el valor y=-1 en la segunda ecuación, tenemos: 

$latex 2x+3y=1$

$latex 2x+3(-1)=1$

$latex 2x-3=1$

$latex 2x=4$

$latex x=2$

La solución al sistema es $latex x=2,~~y=-1$.

EJERCICIO 8

Resuelve el sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}2x-7y=1 \\ 2x+3y=11 \end{cases}$

Vamos a resolver por eliminación. Entonces, multiplicamos a la segunda ecuación por -1 para obtener coeficientes opuestos en x:

$latex \begin{cases}2x-7y=1 \\ -2x-3y=-11 \end{cases}$

Al sumar las ecuaciones, tenemos:

$latex 2x-7y=1$

$latex +   \hspace{1cm}    -2x-3y=-11$               

___________________

$latex -10y=-10$

Resolviendo para y, tenemos:

$latex y=1$

Usando el valor y=1 en la primera ecuación, tenemos:

$latex 2x-7y=1$

$latex 2x-7(1)=1$

$latex 2x=8$

$latex x=4$

La solución es $latex x=4,~~y=1$.

EJERCICIO 9

Resuelve el sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}3x-4y=5 \\ 6x-4y=2 \end{cases}$

Podemos empezar simplificando la segunda ecuación al dividirla por 2:

$latex \begin{cases}3x-4y=5 \\ 3x-2y=1 \end{cases}$

Ahora, vamos a resolver por sustitución. Entonces, resolvemos la segunda ecuación para x y tenemos:

$latex 3x-2y=1$

$latex 3x=2y+1$

$latex x=\frac{2y+1}{3}$

Usando $latex x=\frac{2y+1}{3}$ en la primera ecuación, tenemos:

$latex 3x-4y=5$

$latex 3\left(\frac{2y+1}{3}\right)-4y=5$

$latex 2y+1-4y=5$

Resolviendo la ecuación para y, tenemos:

$latex 2y+1-4y=5$

$latex -2y=4$

$latex y=-2$

Usando el valor y=-2 en la segunda ecuación, tenemos: 

$latex 3x-2y=1$

$latex 3x-2(-2)=1$

$latex 3x+4=1$

$latex 3x=-3$

$latex x=-1$

La solución al sistema es $latex x=-1,~~y=-2$.

EJERCICIO 10

Encuentra la solución al sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}3x-y=1 \\ 5x+y=7 \end{cases}$

Vamos a resolver por eliminación, ya que tenemos coeficientes opuestos en y:

$latex \begin{cases}3x-y=1 \\ 5x+y=7 \end{cases}$

Al sumar las ecuación, tenemos:

$latex 3x-y=1$

$latex +   \hspace{1cm}    5x+y=7$               

___________________

$latex 8x=8$

Resolviendo la ecuación para x, tenemos:

$latex x=1$

Usando el valor x=1 en la segunda ecuación, tenemos: 

$latex 5x+y=7$

$latex 5(1)+y=7$

$latex y=2$

La solución es $latex x=1,~~y=2$.

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5 Ejercicios de sistemas de ecuaciones 2×2 para resolver

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones usando cualquier método.

Encuentra la solución al sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}3x-y=1 \\ 5x+y=7 \end{cases}$

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Resuelve el sistema de ecuaciones $latex \begin{cases}x-y=2 \\ 2x+y=16 \end{cases}$

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Encuentra la solución al sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}x-2y=5 \\ 3x+y=8 \end{cases}$

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Resuelve el sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}2x+3y=1 \\ 3x+y=5 \end{cases}$

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Resuelve el sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}x-2y=5 \\ 3x+y=8 \end{cases}$

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