Los sistemas de ecuaciones 2×2 son sistemas de dos ecuaciones con dos variables. Para resolver un sistema de ecuaciones, tenemos que resolver a las ecuaciones simultáneamente. Dos métodos comunes que podemos usar para resolver sistemas de ecuaciones son el método de sustitución y el método de reducción o eliminación.
A continuación, veremos un resumen breve sobre cómo resolver sistemas de ecuaciones. Además, resolveremos algunos ejercicios de práctica usando los métodos de sustitución y de reducción.
Métodos para resolver sistemas de ecuaciones
Existen varios métodos que podemos usar para resolver sistemas de ecuaciones. Sin embargo, los métodos más usados cuando se trata de sistemas de ecuaciones 2×2 son el método de sustitución y el método de reducción o eliminación.
Método de sustitución
Para resolver sistemas de ecuaciones 2×2 por sustitución, seguimos los siguientes pasos:
Paso 1: Remover paréntesis, combinar términos semejantes y eliminar fracciones para simplificar a las ecuaciones.
Paso 2: Resolver cualquiera de las ecuaciones para cualquiera de las variables.
Paso 3: Sustituir la ecuación obtenida en el paso 2 en la otra ecuación. Así, obtendremos una ecuación con una sola variable.
Paso 4: Resolver la ecuación del paso 3 para la variable restante.
Paso 5: Usar el valor de la variable obtenido en el paso 4 para encontrar el valor de la otra variable.
Método de reducción o eliminación
Para resolver sistemas de ecuaciones 2×2 por reducción o eliminación, seguimos los siguientes pasos:
Paso 1: Remover paréntesis, eliminar fracciones y combinar términos semejantes para simplificar las fracciones.
Paso 2: Escribir a las ecuaciones en la forma Ax+By=C.
Paso 3: Multiplicar a una o ambas ecuaciones por algún número, de modo que obtengamos coeficientes opuestos en una de las variables.
Una de las variables tiene que ser eliminada cuando sumamos las ecuaciones.
Paso 4: Sumar las ecuaciones. Obtendremos una sola ecuación con una sola variable.
Paso 5: Resolver la ecuación del paso 4 para la variable restante.
Paso 6: Usar el valor del paso 5 en cualquiera de las ecuaciones para obtener el valor de la segunda variable.
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10 ejercicios de sistemas de ecuaciones 2×2 resueltos
Los siguientes ejercicios son resueltos usando los métodos de sustitución y de reducción de sistemas de ecuaciones 2×2. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.
EJERCICIO 1
Resuelve el sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}x+2y=10 \\ 2x-y=5 \end{cases}$
Solución
Vamos a resolver este sistema usando el método de sustitución. Entonces, empezamos resolviendo la primera ecuación para x:
$latex x+2y=10$
$latex x=10-2y$
Ahora, sustituimos a $latex x=10-2y$ en la segunda ecuación y tenemos:
$latex 2x-y=5$
$latex 2(10-2y)-y=5$
$latex 20-4y-y=5$
Resolviendo la ecuación para y, tenemos:
$latex 20-4y-y=5$
$latex -5y=-15$
$latex y=3$
Usando el valor y=3 en la primera ecuación, tenemos:
$latex x+2y=10$
$latex x+2(3)=10$
$latex x=4$
La solución al sistema es $latex x=4,~~y=3$.
EJERCICIO 2
Encuentra la solución al sistema: $latex \begin{cases}x-y=3 \\ 2x+y=12 \end{cases}$
Solución
Vamos a resolver este sistema usando el método de reducción o eliminación. Entonces, podemos observar que tenemos coeficientes opuestos en la variable y.
Sumando las ecuaciones, tenemos:
$latex x-y=3$
$latex + \hspace{1cm} 2x+y=12$
___________________
$latex 3x=15$
Resolviendo la ecuación, tenemos:
$latex 3x=15$
$latex x=5$
Usando el valor x=5 en la segunda ecuación, tenemos:
$latex 2x+y=12$
$latex 2(5)+y=12$
$latex 10+y=12$
$latex y=2$
La solución al sistema de ecuaciones es $latex x=5,~~y=2$.
EJERCICIO 3
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}-2x-y=1 \\ 3x+4y=6 \end{cases}$
Solución
Vamos a resolver por sustitución. Entonces, resolvemos la primera ecuación para y:
$latex -2x-y=1$
$latex -y=1+2x$
$latex y=-1-2x$
Usando la expresión $latex y=-1-2x$ en la segunda ecuación, tenemos:
$latex 3x+4y=6$
$latex 3x+4(-1-2x)=6$
$latex 3x-4-8x=6$
Resolviendo la ecuación, tenemos:
$latex 3x-4-8x=6$
$latex -5x=10$
$latex x=-2$
Usando el valor x=-2 en la primera ecuación, tenemos:
$latex -2x-y=1$
$latex -2(-2)-y=1$
$latex 4-y=1$
$latex -y=-3$
$latex y=3$
La solución al sistema es $latex x=-2, ~~y=3$.
EJERCICIO 4
Encuentra la solución al sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}y=2x+7 \\ -6x-2y=-4 \end{cases}$
Solución
Vamos a resolver por eliminación. Entonces, empezamos dividiendo a la segunda ecuación por 2 para simplificarla.
$latex \begin{cases}y=2x+7 \\ 3x+y=2 \end{cases}$
Ahora, escribimos a ambas ecuaciones en la forma Ax+By=C:
$latex \begin{cases}-2x+y=7 \\ 3x+y=2 \end{cases}$
Podemos multiplicar la primera ecuación por -1 para obtener coeficientes opuestos en y:
$latex \begin{cases}2x-y=-7\\ 3x+y=2 \end{cases}$
Sumando las ecuaciones, tenemos:
$latex 2x-y=-7$
$latex + \hspace{1cm} 3x+y=2$
___________________
$latex 5x=-5$
Resolviendo la ecuación, tenemos:
$latex 5x=-5$
$latex x=-1$
Usando el valor x=-1 en la primera ecuación, tenemos:
$latex y=2x+7$
$latex y=2(-1)+7$
$latex y=5$
La solución es $latex x=-1, ~~y=5$.
EJERCICIO 5
Resuelve el sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}2(2x-4)+y=3 \\ -x+2y=4 \end{cases}$
Solución
Simplificando la primera ecuación, tenemos:
$latex \begin{cases}4x-8+y=3 \\ -x+2y=4 \end{cases}$
Ahora, vamos a resolver por sustitución. Entonces, resolviendo la primera ecuación para y, tenemos:
$latex 4x-8+y=3$
$latex y=-4x+11$
Usando $latex y=-4x+11$ en la segunda ecuación, tenemos:
$latex -x+2y=4$
$latex -x+2(-4x+11)=4$
$latex -x-8x+22=4$
Resolviendo la ecuación, tenemos:
$latex -x-8x+22=4$
$latex -9x=-18$
$latex x=2$
Usando el valor x=2 en la segunda ecuación, tenemos:
$latex -x+2y=4$
$latex -2+2y=4$
$latex 2y=6$
$latex y=3$
La solución al sistema es $latex x=2,~~y=3$.
EJERCICIO 6
Resuelve el sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}2x=3y-14 \\ 2y=x+8 \end{cases}$
Solución
Vamos a resolver por eliminación. Entonces, escribimos a las ecuaciones en la forma Ax+By=C:
$latex \begin{cases}2x-3y=-14 \\ -x+2y=8 \end{cases}$
Podemos multiplicar a la segunda ecuación por 2 para obtener coeficientes opuestos en x:
$latex \begin{cases}2x-3y=-14 \\ -2x+4y=16 \end{cases}$
Sumando las ecuaciones, tenemos:
$latex 2x-3y=-14$
$latex + \hspace{1cm} -2x+4y=16$
___________________
$latex y=2$
Usando el valor y=2 en la primera ecuación, tenemos:
$latex 2x=3y-14$
$latex 2x=3(2)-14$
$latex 2x=-8$
$latex x=-4$
La solución es $latex x=-4,~~y=2$.
EJERCICIO 7
Resuelve el sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}2x-3y=7 \\ 2x+3y=1 \end{cases}$
Solución
Vamos a resolver por sustitución. Entonces, resolviendo la primera ecuación para x, tenemos:
$latex 2x-3y=7$
$latex 2x=3y+7$
$latex x=\frac{3y+7}{2}$
Usando la expresión $latex x=\frac{3y+7}{2}$ en la segunda ecuación, tenemos:
$latex 2x+3y=1$
$latex 2\left(\frac{3y+7}{2}\right)+3y=1$
$latex 3y+7+3y=1$
Resolviendo la ecuación para y, tenemos:
$latex 3y+7+3y=1$
$latex 6y=-6$
$latex y=-1$
Usando el valor y=-1 en la segunda ecuación, tenemos:
$latex 2x+3y=1$
$latex 2x+3(-1)=1$
$latex 2x-3=1$
$latex 2x=4$
$latex x=2$
La solución al sistema es $latex x=2,~~y=-1$.
EJERCICIO 8
Resuelve el sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}2x-7y=1 \\ 2x+3y=11 \end{cases}$
Solución
Vamos a resolver por eliminación. Entonces, multiplicamos a la segunda ecuación por -1 para obtener coeficientes opuestos en x:
$latex \begin{cases}2x-7y=1 \\ -2x-3y=-11 \end{cases}$
Al sumar las ecuaciones, tenemos:
$latex 2x-7y=1$
$latex + \hspace{1cm} -2x-3y=-11$
___________________
$latex -10y=-10$
Resolviendo para y, tenemos:
$latex y=1$
Usando el valor y=1 en la primera ecuación, tenemos:
$latex 2x-7y=1$
$latex 2x-7(1)=1$
$latex 2x=8$
$latex x=4$
La solución es $latex x=4,~~y=1$.
EJERCICIO 9
Resuelve el sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}3x-4y=5 \\ 6x-4y=2 \end{cases}$
Solución
Podemos empezar simplificando la segunda ecuación al dividirla por 2:
$latex \begin{cases}3x-4y=5 \\ 3x-2y=1 \end{cases}$
Ahora, vamos a resolver por sustitución. Entonces, resolvemos la segunda ecuación para x y tenemos:
$latex 3x-2y=1$
$latex 3x=2y+1$
$latex x=\frac{2y+1}{3}$
Usando $latex x=\frac{2y+1}{3}$ en la primera ecuación, tenemos:
$latex 3x-4y=5$
$latex 3\left(\frac{2y+1}{3}\right)-4y=5$
$latex 2y+1-4y=5$
Resolviendo la ecuación para y, tenemos:
$latex 2y+1-4y=5$
$latex -2y=4$
$latex y=-2$
Usando el valor y=-2 en la segunda ecuación, tenemos:
$latex 3x-2y=1$
$latex 3x-2(-2)=1$
$latex 3x+4=1$
$latex 3x=-3$
$latex x=-1$
La solución al sistema es $latex x=-1,~~y=-2$.
EJERCICIO 10
Encuentra la solución al sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}3x-y=1 \\ 5x+y=7 \end{cases}$
Solución
Vamos a resolver por eliminación, ya que tenemos coeficientes opuestos en y:
$latex \begin{cases}3x-y=1 \\ 5x+y=7 \end{cases}$
Al sumar las ecuación, tenemos:
$latex 3x-y=1$
$latex + \hspace{1cm} 5x+y=7$
___________________
$latex 8x=8$
Resolviendo la ecuación para x, tenemos:
$latex x=1$
Usando el valor x=1 en la segunda ecuación, tenemos:
$latex 5x+y=7$
$latex 5(1)+y=7$
$latex y=2$
La solución es $latex x=1,~~y=2$.
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5 Ejercicios de sistemas de ecuaciones 2×2 para resolver
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