Operaciones con vectores – Ejercicios

Las operaciones con vectores, además de permitir una conexión entre la geometría y el álgebra, sirven de columna vertebral para diversas disciplinas como los gráficos computacionales, la ingeniería y la ciencia de datos.

A continuación, conoceremos los fundamentos de las operaciones vectoriales. Exploraremos la suma, la multiplicación escalar y los productos punto y cruz, que juntos proporcionan un completo conjunto de herramientas matemáticas muy útiles.

FÍSICA
Suma de dos vectores método del paralelogramo

Relevante para

Aprender sobre las operaciones con vectores.

Ver operaciones

FÍSICA
Suma de dos vectores método del paralelogramo

Relevante para

Aprender sobre las operaciones con vectores.

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Suma y resta de vectores

Dos o más vectores pueden ser sumamos o restados usando métodos gráficos o métodos algebraicos. Gráficamente, podemos sumar vectores usando el método del polígono y el método del paralelogramo.

Algebraicamente, podemos sumar o restar vectores usando sus componentes.

Suma y resta de vectores con el método del polígono

Para sumar dos vectores $latex \vec{A}$ y $latex \vec{B}$ con el método del polígono, colocamos la cola o base de uno de los vectores en la cabeza o punta del otro vector:

Suma de vectores método del polígono desde A hasta B

El vector $latex \vec{C}$ es la suma de los vectores $latex \vec{A}$ y $latex \vec{B}$ y es expresado simbólicamente como:

$latex \vec{C}=\vec{A}+\vec{B}$

Si es que sumamos a los vectores en orden reverso, es decir, $latex \vec{B}$ primero y $latex \vec{A}$ segundo, el resultado es el mismo:

Suma de vectores método del polígono de B hasta A

Para restar un vector de otro vector, tenemos que cambiar la dirección del vector que está restando. Por ejemplo, para resolver $latex \vec{A}-\vec{B}$, cambiamos la dirección del vector $latex \vec{B}$.

En el ejemplo de arriba, esto significaría cambiar la dirección del vector de la siguiente forma:

Resta de vectores

Suma y resta de vectores con el método del paralelogramo

Para sumar vectores con este método, colocamos a los vectores con sus colas o bases en el mismo punto. Luego, trazamos un paralelogramo en el cual los vectores son dos lados adyacentes.

Por ejemplo, el siguiente diagrama representa la suma de los vectores $latex \vec{A}$ y $latex \vec{B}$:

Suma de dos vectores método del paralelogramo

Vemos que el resultado de la suma, el vector $latex \vec{C}$, es la diagonal del paralelogramo.

Similar al anterior método, para restar los vectores, cambiamos la dirección del vector que está restando.

Sumar o restar vectores usando sus componentes

Cuando conocemos los componentes de los vectores a ser sumamos o restados, simplemente podemos sumar o restar sus componentes separadamente.

Supongamos que tenemos los siguientes vectores $latex \vec{A}$ y $latex \vec{B}$:

$latex \vec{A}=A_{x}+A_{y}+A_{z}$

$latex \vec{B}=B_{x}+B_{y}+B_{z}$

Para encontrar la suma $latex \vec{C}=\vec{A}+\vec{B}$, solo sumamos sus componentes:

$latex C_{x}=A_{x}+B_{x}$

$latex C_{y}=A_{y}+B_{y}$

$latex C_{z}=A_{z}+B_{z}$

De igual forma, simplemente restamos sus componentes cuando tenemos una resta de vectores.

EJEMPLO 1

Usa el método del polígono para sumar los siguientes vectores:

Ejemplo de tres vectores a ser sumados
Solución

EJEMPLO 2

Suma los siguientes vectores usando el método del paralelogramo:

Dos vectores a ser sumados
Solución

EJEMPLO 3

Suma los vectores $latex \vec{A}=3i+2j+5k$ y $latex \vec{B}=2i+j+3k$.

Solución

Multiplicación de vectores por un escalar

La multiplicación de vectores por un escalar es resuelta fácilmente al multiplicar a la magnitud del vector o a sus componentes por el escalar.

La multiplicación de vectores por un escalar positivo afecta la magnitud del vector, pero no su dirección:

Multiplicación de un vector por 2

Sin embargo, cuando multiplicamos por un escalar negativo, su dirección es revertida:

Multiplicación de un vector por -2

Para un vector $latex \vec{A}$ con componentes $latex A_{x}$ y $latex A_{y}$, la multiplicación por un escalar $latex k$ es igual a:

$latex R_{x}=kA_{x}$

$latex R_{y}=kA_{y}$

EJERCICIO

Multiplica al vector $latex \vec{D} = 2i -5j+ 4k$ por el escalar $latex k = 3$.

Solución

Producto escalar o punto de vectores

El producto escalar de dos vectores $latex \vec{A}$ y $latex \vec{B}$ es denotado por $latex \vec{A} \cdot \vec{B}$. El resultado del producto punto es una cantidad escalar.

Podemos calcular el producto escalar usando las magnitudes o los componentes de los vectores.

Producto escalar usando magnitudes y ángulo entre vectores

Cuando conocemos las magnitudes de los vectores y el ángulo entre sus direcciones, podemos aplicar la siguiente fórmula:

$$\vec{A}\cdot \vec{B}=AB\cos(\theta)$$

en donde, $latex A$ y $latex B$ son las magnitudes de $latex \vec{A}$ y $latex \vec{B}$ respectivamente, y $latex \theta$ es el ángulo entre los vectores.

Producto escalar de vectores usando sus componentes

Cuando conocemos los componentes $latex x,~y,~z$ de los vectores, podemos aplicar la siguiente fórmula:

$$\vec{A}\cdot \vec{B}=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}$$

Puede mirar las demostraciones de estas fórmulas en este artículo: Fórmulas y propiedades de producto escalar de vectores.

EJERCICIO 1

Encuentra el producto escalar de los vectores A y B, que tienen magnitudes de 4 y 6, respectivamente, y el ángulo entre ellos es de 120°.

Solución

EJERCICIO 2

Tenemos los vectores $latex \vec{A} = \langle -3,~ 7,~ 1\rangle$ y $latex \vec{B} = \langle 5, ~2,~ 4\rangle$. ¿Cuál es su producto escalar?

Solución

Producto vectorial o cruz de vectores

El producto vectorial de dos vectores $latex \vec{A}$ y $latex \vec{B}$ es denotado por $latex \vec{A} \times \vec{B}$. El resultado del producto vectorial es un vector.

El producto vectorial puede ser calculado usando las magnitudes y el ángulo entre los vectores o usando los componentes de los vectores.

Producto vectorial usando magnitudes y ángulo entre vectores

Si conocemos las magnitudes de los vectores y el ángulo entre ellos, calculamos la magnitud de su producto vectorial con la siguiente fórmula:

$$\vec{A}\times \vec{B}=AB\sin(\theta)$$

en donde, $latex A$ y $latex B$ son las magnitudes de $latex \vec{A}$ y $latex \vec{B}$ respectivamente, y $latex \theta$ es el ángulo entre los vectores.

Dirección del producto vectorial

La dirección del producto vectorial es perpendicular a ambos vectores, $latex \vec{A}$ y $latex \vec{B}$. Podemos encontrar su dirección usando la regla de la mano derecha.

Con nuestra mano derecha, rotamos desde el vector $latex \vec{A}$ hasta la dirección del vector $latex \vec{B}$. Los dedos deben apuntar en la dirección de la rotación:

Regla de la mano derecha del producto vectorial 1

El dedo pulgar muestra la dirección de $latex \vec{A}\times \vec{B}$.

La dirección de $latex \vec{B}\times \vec{A}$ es encontrada al rotar desde el vector $latex \vec{A}$ hasta la dirección del vector $latex \vec{B}$:

Regla de la mano derecha del producto vectorial 2

En el producto vectorial, $latex \vec{B}\times \vec{A}$ es opuesto a $latex \vec{A}\times \vec{B}$. Es decir, tenemos:

$latex \vec{A}\times \vec{B}=-\vec{B}\times \vec{A}$

Producto vectorial de vectores usando sus componentes

Cuando conocemos los componentes de los vectores, podemos calcular el producto vectorial $latex \vec{A} \cdot \vec{B}$ usando la siguiente fórmula:

$latex C_{x}=A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y}$
$latex C_{y}=A_{z}B_{x}-A_{x}B_{z}$
$latex C_{z}=A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x}$

Puedes leer sobre las demostraciones de estas fórmulas en este artículo: Fórmulas y propiedades de producto vectorial de vectores.

EJERCICIO 1

Un vector $latex \vec{A}$ tiene una magnitud de 8 unidades en la dirección de $latex +x$. El vector $latex \vec{B}$ tiene una magnitud de 6 unidades y está en el plano $latex xy$ formando un ángulo de 30° con el eje $latex +x$.

¿Cuál es el producto vectorial $latex \vec{C}=\vec{A}\times \vec{B}$?

Solución

EJERCICIO 2

Si tenemos los vectores dados a continuación, ¿cuál es el producto vectorial $latex \vec{A} \times \vec{B}$?

$latex \vec{A} = 2 \hat{i} -3 \hat{j} +4 \hat{k}$

$latex \vec{B} = 1 \hat{i} +5 \hat{j} -2 \hat{k}$

Solución

Véase también

¿Interesado en aprender más sobre vectores? Mira estas páginas:

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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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