Las operaciones con vectores, además de permitir una conexión entre la geometría y el álgebra, sirven de columna vertebral para diversas disciplinas como los gráficos computacionales, la ingeniería y la ciencia de datos.
A continuación, conoceremos los fundamentos de las operaciones vectoriales. Exploraremos la suma, la multiplicación escalar y los productos punto y cruz, que juntos proporcionan un completo conjunto de herramientas matemáticas muy útiles.
Suma y resta de vectores
Dos o más vectores pueden ser sumamos o restados usando métodos gráficos o métodos algebraicos. Gráficamente, podemos sumar vectores usando el método del polígono y el método del paralelogramo.
Algebraicamente, podemos sumar o restar vectores usando sus componentes.
Suma y resta de vectores con el método del polígono
Para sumar dos vectores $latex \vec{A}$ y $latex \vec{B}$ con el método del polígono, colocamos la cola o base de uno de los vectores en la cabeza o punta del otro vector:
El vector $latex \vec{C}$ es la suma de los vectores $latex \vec{A}$ y $latex \vec{B}$ y es expresado simbólicamente como:
$latex \vec{C}=\vec{A}+\vec{B}$
Si es que sumamos a los vectores en orden reverso, es decir, $latex \vec{B}$ primero y $latex \vec{A}$ segundo, el resultado es el mismo:
Para restar un vector de otro vector, tenemos que cambiar la dirección del vector que está restando. Por ejemplo, para resolver $latex \vec{A}-\vec{B}$, cambiamos la dirección del vector $latex \vec{B}$.
En el ejemplo de arriba, esto significaría cambiar la dirección del vector de la siguiente forma:
Suma y resta de vectores con el método del paralelogramo
Para sumar vectores con este método, colocamos a los vectores con sus colas o bases en el mismo punto. Luego, trazamos un paralelogramo en el cual los vectores son dos lados adyacentes.
Por ejemplo, el siguiente diagrama representa la suma de los vectores $latex \vec{A}$ y $latex \vec{B}$:
Vemos que el resultado de la suma, el vector $latex \vec{C}$, es la diagonal del paralelogramo.
Similar al anterior método, para restar los vectores, cambiamos la dirección del vector que está restando.
Sumar o restar vectores usando sus componentes
Cuando conocemos los componentes de los vectores a ser sumamos o restados, simplemente podemos sumar o restar sus componentes separadamente.
Supongamos que tenemos los siguientes vectores $latex \vec{A}$ y $latex \vec{B}$:
$latex \vec{A}=A_{x}+A_{y}+A_{z}$
$latex \vec{B}=B_{x}+B_{y}+B_{z}$
Para encontrar la suma $latex \vec{C}=\vec{A}+\vec{B}$, solo sumamos sus componentes:
$latex C_{x}=A_{x}+B_{x}$
$latex C_{y}=A_{y}+B_{y}$
$latex C_{z}=A_{z}+B_{z}$
De igual forma, simplemente restamos sus componentes cuando tenemos una resta de vectores.
EJEMPLO 1
Usa el método del polígono para sumar los siguientes vectores:
Solución
Podemos empezar sumando los vectores $latex \vec{A}$ y $latex \vec{B}$ para obtener el vector $latex \vec{D}$:
Ahora, vamos a sumar el vector $latex \vec{C}$ al vector $latex \vec{D}$ para obtener el resultado final $latex \vec{R}$:
.
EJEMPLO 2
Suma los siguientes vectores usando el método del paralelogramo:
Solución
Colocamos a las bases de los vectores en el mismo punto y formamos un paralelogramo, en donde los vectores son lados adyacentes:
La suma de los vectores es igual a la diagonal del paralelogramo formado:
.
EJEMPLO 3
Suma los vectores $latex \vec{A}=3i+2j+5k$ y $latex \vec{B}=2i+j+3k$.
Solución
En esta notación, los vectores unitarios $latex i, ~j,~ k$ representan a las coordenadas $latex x,~ y,~ z$ respectivamente.
Entonces, simplemente sumamos los componentes correspondientes de $latex \vec{A}$ y $latex \vec{B}$ para encontrar la suma de los vectores:
$$R_{x}=A_{x}+B_{x}=3+2=5$$
$$R_{y}=A_{y}+B_{y}=2+1=3$$
$$R_{z}=A_{z}+B_{z}=5+3=8$$
Entonces, la suma de los vectores es
$latex \vec{R}=5i+3j+8k$
Multiplicación de vectores por un escalar
La multiplicación de vectores por un escalar es resuelta fácilmente al multiplicar a la magnitud del vector o a sus componentes por el escalar.
La multiplicación de vectores por un escalar positivo afecta la magnitud del vector, pero no su dirección:
Sin embargo, cuando multiplicamos por un escalar negativo, su dirección es revertida:
Para un vector $latex \vec{A}$ con componentes $latex A_{x}$ y $latex A_{y}$, la multiplicación por un escalar $latex k$ es igual a:
$latex R_{x}=kA_{x}$
$latex R_{y}=kA_{y}$
EJERCICIO
Multiplica al vector $latex \vec{D} = 2i -5j+ 4k$ por el escalar $latex k = 3$.
Solución
Para resolver esta multiplicación, multiplicamos a cada componente del vector $latex \vec{D}$ por el escalar $latex k$:
$latex 2i \times 3 = 6i$
$latex -5j \times 3 = -15j$
$latex 4k \times 3 = 12k$
El vector resultante es: $latex \vec{R}= 6i -15j+ 12k$.
Producto escalar o punto de vectores
El producto escalar de dos vectores $latex \vec{A}$ y $latex \vec{B}$ es denotado por $latex \vec{A} \cdot \vec{B}$. El resultado del producto punto es una cantidad escalar.
Podemos calcular el producto escalar usando las magnitudes o los componentes de los vectores.
Producto escalar usando magnitudes y ángulo entre vectores
Cuando conocemos las magnitudes de los vectores y el ángulo entre sus direcciones, podemos aplicar la siguiente fórmula:
$$\vec{A}\cdot \vec{B}=AB\cos(\theta)$$
en donde, $latex A$ y $latex B$ son las magnitudes de $latex \vec{A}$ y $latex \vec{B}$ respectivamente, y $latex \theta$ es el ángulo entre los vectores.
Producto escalar de vectores usando sus componentes
Cuando conocemos los componentes $latex x,~y,~z$ de los vectores, podemos aplicar la siguiente fórmula:
$$\vec{A}\cdot \vec{B}=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}$$
Puede mirar las demostraciones de estas fórmulas en este artículo: Fórmulas y propiedades de producto escalar de vectores.
EJERCICIO 1
Encuentra el producto escalar de los vectores A y B, que tienen magnitudes de 4 y 6, respectivamente, y el ángulo entre ellos es de 120°.
Solución
Tenemos la siguiente información:
- $latex |A|=4$
- $latex |B|=6$
- $latex \theta=120^{\circ}$
Usando la fórmula dada arriba, tenemos:
$latex \vec{A} \cdot \vec{B} = |A| ~|B| \cos(\theta)$
$latex = 4 \times 6 \cos(120^{\circ}) $
$$= 24 \left(-\frac{1}{2}\right) $$
$$= -12$$
EJERCICIO 2
Tenemos los vectores $latex \vec{A} = \langle -3,~ 7,~ 1\rangle$ y $latex \vec{B} = \langle 5, ~2,~ 4\rangle$. ¿Cuál es su producto escalar?
Solución
En este caso, tenemos los componentes de los vectores, por lo que usamos la siguiente fórmula:
$latex \vec{A} \cdot \vec{B} = A_{x} \times B_{x} + A_{y} \times B_{y} + A_z \times B_{z}$
$latex \vec{A} \cdot \vec{B} = (-3 \times 5) + (7 \times 2) + (1 \times 4)$
$latex = -15 + 14 + 4 $
$latex = 3$
Producto vectorial o cruz de vectores
El producto vectorial de dos vectores $latex \vec{A}$ y $latex \vec{B}$ es denotado por $latex \vec{A} \times \vec{B}$. El resultado del producto vectorial es un vector.
El producto vectorial puede ser calculado usando las magnitudes y el ángulo entre los vectores o usando los componentes de los vectores.
Producto vectorial usando magnitudes y ángulo entre vectores
Si conocemos las magnitudes de los vectores y el ángulo entre ellos, calculamos la magnitud de su producto vectorial con la siguiente fórmula:
$$\vec{A}\times \vec{B}=AB\sin(\theta)$$
en donde, $latex A$ y $latex B$ son las magnitudes de $latex \vec{A}$ y $latex \vec{B}$ respectivamente, y $latex \theta$ es el ángulo entre los vectores.
Dirección del producto vectorial
La dirección del producto vectorial es perpendicular a ambos vectores, $latex \vec{A}$ y $latex \vec{B}$. Podemos encontrar su dirección usando la regla de la mano derecha.
Con nuestra mano derecha, rotamos desde el vector $latex \vec{A}$ hasta la dirección del vector $latex \vec{B}$. Los dedos deben apuntar en la dirección de la rotación:
El dedo pulgar muestra la dirección de $latex \vec{A}\times \vec{B}$.
La dirección de $latex \vec{B}\times \vec{A}$ es encontrada al rotar desde el vector $latex \vec{A}$ hasta la dirección del vector $latex \vec{B}$:
En el producto vectorial, $latex \vec{B}\times \vec{A}$ es opuesto a $latex \vec{A}\times \vec{B}$. Es decir, tenemos:
$latex \vec{A}\times \vec{B}=-\vec{B}\times \vec{A}$
Producto vectorial de vectores usando sus componentes
Cuando conocemos los componentes de los vectores, podemos calcular el producto vectorial $latex \vec{A} \cdot \vec{B}$ usando la siguiente fórmula:
$latex C_{x}=A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y}$
$latex C_{y}=A_{z}B_{x}-A_{x}B_{z}$
$latex C_{z}=A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x}$
Puedes leer sobre las demostraciones de estas fórmulas en este artículo: Fórmulas y propiedades de producto vectorial de vectores.
EJERCICIO 1
Un vector $latex \vec{A}$ tiene una magnitud de 8 unidades en la dirección de $latex +x$. El vector $latex \vec{B}$ tiene una magnitud de 6 unidades y está en el plano $latex xy$ formando un ángulo de 30° con el eje $latex +x$.
¿Cuál es el producto vectorial $latex \vec{C}=\vec{A}\times \vec{B}$?
Solución
Dado que conocemos las magnitudes de los vectores y el ángulo entre sus direcciones, podemos usar la siguiente fórmula para encontrar la magnitud del vector $latex \vec{C}$:
$latex C=AB\sin(\theta)$
$latex =(8)(6)\sin(30^{\circ})$
$latex =24$
Ahora, usamos la regla de la mano derecha en el siguiente diagrama para encontrar la dirección del vector $latex \vec{C}$:
Por la regla de la mano derecha, la dirección de $latex \vec{A}\times \vec{B}$ es a lo largo de $latex +z$ o en la dirección $latex \hat{k}$. Entonces,
$latex \vec{C}=\vec{A}\times \vec{B}=24\hat{k}$
EJERCICIO 2
Si tenemos los vectores dados a continuación, ¿cuál es el producto vectorial $latex \vec{A} \times \vec{B}$?
$latex \vec{A} = 2 \hat{i} -3 \hat{j} +4 \hat{k}$
$latex \vec{B} = 1 \hat{i} +5 \hat{j} -2 \hat{k}$
Solución
Como conocemos los componentes de los vectores, usamos la siguiente fórmula:
$latex C_{x}=A_{y} B_{z} – A_{z} B_{y}$
$latex C_{y}=A_{z} B_{x}-A_{x} B_{z}$
$latex C_{z} =A_{x} B_{y} – A_{y} B_{x}$
en donde $latex \vec{C}=\vec{A} \times \vec{B}$. Entonces:
$latex \vec{A} \times \vec{B} = ((-3)(-2) – (4)(5))\hat{i} +( (4)(1)-(2)(-2))\hat{j} + ((2) (5) – (-3) (1))\hat{k}$
$latex \vec{A} \times \vec{B}=-14\hat{i} + 8\hat{j} + 13\hat{k}$
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre vectores? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
