Los componentes de un vector son cantidades escalares que indican el «desplazamiento» en cada eje de un sistema de coordenadas. Estos componentes pueden ser calculados usando la magnitud y la dirección del vector, junto con las funciones trigonométricas fundamentales.
A continuación, conoceremos cómo encontrar los componentes de un vector. También, veremos algunas aplicaciones de los componentes y ejemplos de práctica.
¿Qué son los componentes de un vector?
Los componentes de un vector son los números que nos indican el desplazamiento en la dirección de cada eje de un sistema de coordenadas.
Podemos obtener una definición más clara de los componentes de un vector $latex \vec{A}$ al graficar a un sistema de coordenadas cartesianas, como se muestra en el siguiente diagrama:
Si es que asumimos que $latex \vec{A}$ es un vector de desplazamiento, podemos considerar a $latex \vec{A}$ como la suma de un desplazamiento paralelo al eje $latex x$ y un desplazamiento paralelo al eje $latex y$.
Usamos la notación $latex A_{x}$ y $latex A_{y}$ para indicar la cantidad de desplazamiento en el eje $latex x$ y en el eje $latex y$ respectivamente.
Los dos números $latex A_{x}$ y $latex A_{y}$ son los componentes de $latex \vec{A}$. Estos números pueden ser positivos o negativos.
EJEMPLO
Si es que un vector $latex \vec{A}$ es la suma de un desplazamiento de 10 m hacia el Este (eje x positivo) y 20 m hacia el Norte (eje y positivo), sus componentes son:
$latex A_{x}=10\text{ m}$
$latex A_{y}=20\text{ m}$
Ten en cuenta que los componentes no son vectores. Los componentes de un vector son números y no vectores. Por esta razón, usamos letras sin flechas encima para representarlos.
Fórmulas para calcular los componentes de un vector
Para calcular los componentes de un vector $latex \vec{A}$, necesitamos conocer su magnitud $latex A$ y su dirección.
La dirección del vector es descrita por un ángulo medido desde el eje x positivo. El ángulo es positivo cuando va en dirección contraria a las manecillas del reloj.
Consideremos al siguiente diagrama para encontrar las fórmulas de los componentes de un vector:
Recordando que el coseno en un triángulo rectángulo es igual al lado adyacente sobre la hipotenusa y el seno es igual al lado opuesto sobre la hipotenusa, tenemos:
$$\frac{A_{x}}{A}=\cos(\theta)\text{ y }\frac{A_{y}}{A}=\sin(\theta)$$
Entonces, las fórmulas de los componentes de un vector son:
$latex A_{x}=A\cos(\theta)$
$latex A_{y}=A\sin(\theta)$
Estas ecuaciones son correctas solo cuando el ángulo θ es medido desde el eje x positivo. Si es que el ángulo del vector tiene una referencia diferente, las relaciones serán diferentes.
10 Ejercicios resueltos de los componentes de un vector
EJERCICIO 1
Si es que el vector $latex \vec{A}$ tiene una magnitud de 100 mm y un ángulo de 60° con respecto al eje $latex x$, ¿cuáles son sus componentes $latex x$ y $latex y$?
Solución
Tenemos los siguientes datos
- Magnitud: $latex A=100$ mm
- Ángulo: $latex \theta=60^{\circ}$
- $latex \cos(60^{\circ})=0.5$
- $latex \sin(60^{\circ})=0.866$
Entonces, usamos las fórmulas de los componentes de un vector con los datos dados:
$latex A_{x}=A\cos(\theta)$
$latex =100\cos(60^{\circ})$
$latex =50$ mm
$latex A_{y}=A\sin(\theta)$
$latex =100\sin(60^{\circ})$
$latex =86.6$ mm
EJERCICIO 2
Encuentra los componentes $latex x$ y $latex y$ del vector $latex \vec{B}$ que tiene una magnitud de 15 unidades y un ángulo de 60° con respecto al eje $latex x$.
Solución
Podemos observar la siguiente información:
- Magnitud: $latex B=15$
- Ángulo: $latex \theta=60^{\circ}$
- $latex \cos(60^{\circ})=0.5$
- $latex \sin(60^{\circ})=0.866$
Al aplicar las fórmulas de los componentes de un vector con la información dada, tenemos:
$latex B_{x}=B\cos(\theta)$
$latex =15\cos(60^{\circ})$
$latex =7.5$
$latex B_{y}=B\sin(\theta)$
$latex =15\sin(60^{\circ})$
$latex \approx 13$
EJERCICIO 3
El vector $latex \vec{C}$ tiene una magnitud de 20 unidades y un ángulo de 135° con respecto al eje $latex x$. Encuentra sus componentes $latex x$ y $latex y$.
Solución
De la pregunta, tenemos:
- Magnitud: $latex C=20$
- Ángulo: $latex \theta=135^{\circ}$
- $latex \cos(135^{\circ})=-0.7071$
- $latex \sin(135^{\circ})=0.7071$
Ahora, podemos calcular los componentes:
$latex C_{x}=C\cos(\theta)$
$latex =20\cos(135^{\circ})$
$latex =-14.142$
$latex C_{y}=C\sin(\theta)$
$latex =20\sin(135^{\circ})$
$latex =14.142$
Podemos claramente ver que el componente $latex x$ es negativo y el componente $latex y$ es positivo:
.
EJERCICIO 4
Si es que el vector $latex \vec{A}$ tiene una magnitud de 18 unidades y un ángulo de 120° con respecto al eje $latex x$, ¿cuáles son sus componentes $latex x$ y $latex y$?
Solución
Podemos obtener la siguiente información:
- Magnitud: $latex A=18$
- Ángulo: $latex \theta=120^{\circ}$
- $latex \cos(120^{\circ})=-0.5$
- $latex \sin(120^{\circ})=0.866$
Entonces, usamos las fórmulas de los componentes de un vector con los datos dados:
$latex A_{x}=A\cos(\theta)$
$latex =18\cos(120^{\circ})$
$latex =-9$
$latex A_{y}=A\sin(\theta)$
$latex =18\sin(120^{\circ})$
$latex =15.588$
EJERCICIO 5
Encuentra los componentes del vector $latex \vec{B}$ que tiene una magnitud de 30 unidades y un ángulo de 210° con respecto al eje $latex x$.
Solución
Podemos extraer la siguiente información:
- Magnitud: $latex B=30$
- Ángulo: $latex \theta=210^{\circ}$
- $latex \cos(210^{\circ})=-0.8660$
- $latex \sin(210^{\circ})=-0.5$
Entonces, usamos las fórmulas de los componentes de un vector con los datos dados:
$latex B_{x}=B\cos(\theta)$
$latex =30\cos(120^{\circ})$
$latex =-25.98$
$latex B_{y}=B\sin(\theta)$
$latex =30\sin(120^{\circ})$
$latex =-15$
Podemos observar que ambos componentes son negativos:
.
EJERCICIO 6
El vector $latex \vec{C}$ tiene una magnitud de 40 unidades y un ángulo de 150° con respecto al eje $latex x$. Encuentra sus componentes.
Solución
Podemos observar lo siguiente:
- Magnitud: $latex C=40$
- Ángulo: $latex \theta=150^{\circ}$
- $latex \cos(150^{\circ})=-0.8660$
- $latex \sin(150^{\circ})=0.5$
Encontramos los componentes usando las fórmulas estándar:
$latex C_{x}=C\cos(\theta)$
$latex =40\cos(150^{\circ})$
$latex =-34.64$
$latex C_{y}=C\sin(\theta)$
$latex =40\sin(150^{\circ})$
$latex =20$
EJERCICIO 7
Encuentra los componentes del siguiente vector:
Solución
Podemos empezar escribiendo la información que conocemos:
- Magnitud: $latex A=10$ m
- Dirección: $latex \theta=30^{\circ}$
Ahora, usamos las fórmulas de los componentes:
$latex A_{x}=A\cos(\theta)$
$latex =10\cos(30^{\circ})$
$latex =8.66$ m
$latex A_{y}=A\sin(\theta)$
$latex =10\sin(30^{\circ})$
$latex =5$ m
EJERCICIO 8
¿Cuáles son los componentes del siguiente vector?
Solución
Tenemos la siguiente información:
- Magnitud: $latex A=25$ km
- Dirección: $latex \theta=45^{\circ}$
Entonces, tenemos:
$latex A_{x}=A\cos(\theta)$
$latex =25\cos(45^{\circ})$
$latex =17.678$ km
$latex A_{y}=A\sin(\theta)$
$latex =25\sin(45^{\circ})$
$latex =17.678$ km
EJERCICIO 9
Determina los componentes del siguiente vector:
Solución
Vemos que en este caso, el ángulo está medido desde el eje y positivo en dirección de las manecillas del reloj:
- $latex A=15$ m
- $latex \theta=30^{\circ}$
Podemos usar trigonometría para encontrar otras ecuaciones con este ángulo o podemos usar las ecuaciones originales y encontrar un ángulo equivalente desde el eje x positivo.
Vamos a usar el ángulo dado y trigonometría para encontrar lo siguiente:
$latex A_{x}=A\sin(\theta)$
$latex =15\sin(30^{\circ})$
$latex =7.5$ m
$latex A_{y}=A\cos(\theta)$
$latex =15\cos(30^{\circ})$
$latex =12.99$ m
EJERCICIO 10
¿Cuáles son los componentes del siguiente vector?
Solución
Podemos usar el mismo proceso que el ejemplo anterior o podemos encontrar el ángulo medido desde el eje x positivo.
Notamos que el ángulo está medido desde el eje y positivo en dirección contraria a las manecillas del reloj. Si es que sumamos 90°, encontraremos su ángulo equivalente desde el eje x positivo:
- $latex A=10$ km
- $latex \theta=53^{\circ}+90^{\circ}=143^{\circ}$
Entonces, tenemos:
$latex A_{x}=A\cos(\theta)$
$latex =10\cos(143^{\circ})$
$latex =-7.986$ km
$latex A_{y}=A\sin(\theta)$
$latex =10\sin(143^{\circ})$
$latex =6.018$ km
En este caso, el componente x es negativo porque el vector se encuentra en el segundo cuadrante.
Componentes de vectores – Ejercicios para resolver
¿Cuál es el componente en $latex x$ de un vector que tiene una magnitud de 1259 unidades y un ángulo de 270° con respecto al eje $latex x$?
Escribe el numerador en la casilla.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
