Ejercicios resueltos de suma de vectores

Para encontrar la suma de los vectores por el método del polígono, tenemos que colocar a la base de uno de los vectores en la punta o cabeza del otro vector.

Entonces, colocamos a la base del vector $latex \vec{B}$ en la cabeza del vector $latex \vec{A}$:

El vector resultante, $latex \vec{R}$, es el vector que une la base o cola del primer vector a la cabeza del segundo vector:

El orden en el que sumemos no importa. Es decir, podemos intercambiar a los vectores y obtener el mismo resultado:

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Vamos a empezar sumando dos de los vectores y luego sumamos el vector resultante con el tercer vector.

Entonces, empezamos por sumar los vectores $latex \vec{A}$ y $latex \vec{B}$ para obtener el vector $latex \vec{D}$:

Ahora, sumamos el vector $latex \vec{C}$ al vector $latex \vec{D}$ para obtener el resultado final $latex \vec{R}$:

Similar al ejemplo anterior, la suma puede realizarse en cualquier otro orden.

Podemos usar un diagrama para representar a la suma de los vectores que indican el viaje de 10 km hacia el Norte y 20 km hacia el Este:

Entonces, la distancia y la dirección de su posición final son encontradas al determinar la magnitud (longitud) y el ángulo del vector $latex \vec{R}$.

Los vectores forman un ángulo recto el uno con el otro, por lo que el triángulo formado es un triángulo rectángulo y podemos usar el teorema de Pitágoras.

La distancia desde el punto inicial hasta el punto final es igual a la hipotenusa del triángulo y tenemos:

$$\sqrt{(10\text{ km})^2+(20\text{ km})^2}=22.36\text{ km}$$

Para encontrar el ángulo θ, usamos la función tangente:

$$\tan(\theta)=\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}=\frac{20\text{ km}}{10\text{ km}}=2$$

$$\theta=\tan^{-1}(2)=63.4^{\circ}$$

Entonces, Carlos está a 22.36 km en una dirección de 63.4° desde el norte hacia el este (eje x positivo).

El método del paralelogramo consiste en colocar a los vectores con sus bases en el mismo punto de la siguiente forma:

Luego, trazamos un paralelogramo usando a los vectores iniciales como lados adyacentes:

La diagonal del paralelogramo formado representa la suma de los vectores:

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Empezamos sumando dos de los vectores para obtener el siguiente resultado:

Ahora, sumamos al vector resultante con el tercer vector y tenemos:

.

En este caso, tenemos los componentes de los vectores. En esta notación, las letras i, j, k representan a los componentes en x, y, z respectivamente.

Para sumar dos o más vectores, simplemente sumamos sus componentes para obtener el vector resultante $latex \vec{R}$. Entonces, tenemos:

$$R_{x}=u_{x}+v_{x}=2+3=5$$

$$R_{y}=u_{y}+v_{y}=4+1=5$$

$$R_{z}=u_{z}+v_{z}=5+2=7$$

Entonces, la suma de los vectores es

$latex \vec{R}=5i+5j+7k$

Similar al ejercicio anterior, simplemente tenemos que sumar los componentes de los vectores para encontrar su suma. Entonces, tenemos:

$$R_{x}=u_{x}+v_{x}=-6+3=-3$$

$$R_{y}=u_{y}+v_{y}=8-4=4$$

$$R_{z}=u_{z}+v_{z}=7+5=12$$

Entonces, la suma de los vectores es

$latex \vec{R}=-3i+4j+12k$

Para encontrar la suma de los vectores, vamos a sumar cada uno de sus componentes:

$$R_{x}=u_{x}+v_{x}+w_{x}=12-5+2=9$$

$$R_{y}=u_{y}+v_{y}+w_{y}=-9-7-3=-19$$

$$R_{z}=u_{z}+v_{z}+w_{z}=11+7+1=19$$

Entonces, el vector que representa a la suma de los vectores es

$latex \vec{R}=9i-19j+19k$

Para encontrar la suma de los vectores, tenemos que empezar encontrando los componentes en $latex x$ y en $latex y$ de los dos vectores dados.

Podemos encontrar el componente $latex x$ usando el coseno y el componente $latex y$ usando el seno. Entonces, tenemos:

$$M_{x}=M\cos (\theta)=(20\text{ m})(\cos(60^{\circ})=10\text{ m}$$

$$M_{y}=M\sin (\theta)=(20\text{ m})(\sin(60^{\circ})=17.32\text{ m}$$

$$N_{x}=N\cos (\theta)=(10\text{ m})(\cos(30^{\circ})=8.66\text{ m}$$

$$N_{y}=N\sin (\theta)=(10\text{ m})(\sin(30^{\circ})=5\text{ m}$$

Ahora, solo sumamos los componentes:

$$R_{x}=M_{x}+N_{x}=10\text{ m}+8.66\text{ m}=18.66\text{ m}$$

$$R_{y}=M_{y}+N_{y}=17.32\text{ m}+5\text{ m}=22.32\text{ m}$$

Entonces, la suma de los vectores es $latex \vec{R}=18.66i+22.32j$.

Tenemos que empezar encontrando los componentes en $latex x$ y en $latex y$. Entonces, tenemos:

$$A_{x}=A\cos (\theta)=(30\text{ m})(\cos(45^{\circ})=21.21\text{ m}$$

$$A_{y}=A\sin (\theta)=(30\text{ m})(\sin(45^{\circ})=21.21\text{ m}$$

$$B_{x}=B\cos (\theta)=(40\text{ m})(\cos(30^{\circ})=34.64\text{ m}$$

$$B_{y}=B\sin (\theta)=(40\text{ m})(\sin(30^{\circ})=20\text{ m}$$

Entonces, los componentes del vector formado por la suma son:

$$R_{x}=A_{x}+B_{x}=21.21\text{ m}+34.64\text{ m}=55.85\text{ m}$$

$$R_{y}=A_{y}+B_{y}=21.21\text{ m}+20\text{ m}=41.21\text{ m}$$

El vector resultante es $latex \vec{R}=55.85i+41.21j$.