El volumen de una pirámide triangular calculado al multiplicar al área de la base por la altura de la pirámide y dividir por 3. Por otro lado, el área superficial de una pirámide triangular es igual a la suma de las áreas de todas las caras de la pirámide.
A continuación, conoceremos las fórmulas que podemos usar para encontrar el volumen y el área de pirámides triangulares. Además, veremos algunos ejercicios de práctica en donde aplicaremos estas fórmulas.
GEOMETRÍA
Relevante para…
Aprender a calcular el volumen y área de una pirámide triangular.
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Aprender a calcular el volumen y área de una pirámide triangular.
Cómo calcular el volumen de una pirámide triangular
El volumen de cualquier pirámide es igual al área de la base por la altura de la pirámide dividido por tres. Entonces, la siguiente es la fórmula del volumen de una pirámide:
$latex \text{Volumen} = \frac{1}{3}\times \text{Área base}\times \text{Altura}$
A su vez, sabemos que la base de una pirámide triangular es un triángulo y el área de cualquier triángulo es encontrada al multiplicar a la longitud de su base por su altura y dividir por dos. Entonces, tenemos:
$latex V=\frac{1}{3}(\frac{1}{2}ba)(h)$
| $latex V=\frac{1}{6}bah$ |
en donde, b es la longitud de la base del triángulo, a es la longitud de la altura del triángulo y h es la altura de la pirámide.
Cómo calcular el área superficial de una pirámide triangular
Podemos encontrar el área superficial de pirámides triangulares al sumar las áreas de todas las caras de la pirámide. Una pirámide con base triangular tiene un total de cuatro caras y estas cuatro caras son triangulares.
Eso significa que tenemos que usar la fórmula del área de un triángulo para calcular las áreas de las caras. Recordemos que el área de cualquier triángulo es encontrada al multiplicar a un medio de la longitud de su base por la longitud de su altura.
Entonces, necesitamos conocer la longitud de la base y la altura de cada una de las caras triangulares.
Consideremos el siguiente diagrama:
Si es que la base es un triángulo equilátero, lo cual es generalmente el caso, la longitud de uno de estos lados es igual a la base de todas las caras. Además, si es que la base es equilátera, las caras laterales tienen la misma área.
Entonces, el área de la base es igual a $latex \frac{1}{2}ba$, en donde b es la longitud de la base y a es la longitud de la altura del triángulo base.
Por otra parte, el área de cada cara lateral es igual a $latex \frac{1}{2}bh$, en donde, b es la longitud de la base y h es la altura inclinada de una cara lateral. Por lo tanto, el área superficial es igual a:
| $latex A_{S}=\frac{1}{2}ba+\frac{3}{2}bh$ |
Ejercicios de volumen y área de pirámides triangulares
EJERCICIO 1
Una pirámide tiene una altura de 5 m y una base triangular con base de longitud 4 m y altura de 3 m. ¿Cuál es su volumen?
Solución
Tenemos los siguientes datos:
- Altura de la pirámide, $latex h=5$
- Base del triángulo, $latex b=4$
- Altura del triángulo, $latex a=3$
Usamos estos valores en la fórmula del volumen:
$latex V=\frac{1}{6}bah$
$latex V=\frac{1}{6}(4)(3)(5)$
$latex V=10$
El volumen es igual a 10 m³.
EJERCICIO 2
¿Cuál es el área superficial de una pirámide que tiene una base triangular de lados 3 m y altura de 2.6 m y en la que sus caras tienen una altura inclinada de 4 m?
Solución
Tenemos las siguientes longitudes:
- Base, $latex b=3$
- Altura de base, $latex a=2.6$
- Altura de caras, $latex h=4$
Al usar la fórmula del área superficial con estas longitudes, tenemos:
$latex A_{S}=\frac{1}{2}ba+\frac{3}{2}bh$
$latex A_{S}=\frac{1}{2}(3)(2.6)+\frac{3}{2}(3)(4)$
$latex A_{S}=3.9+18$
$latex A_{S}=21.9$
El área superficial es 21.9 m².
EJERCICIO 3
¿Cuál es el volumen de una pirámide que tiene una altura de 8 m y una base triangular de base de 5 m y altura de 6 m?
Solución
Tenemos los siguientes valores:
- Altura de la pirámide, $latex h=8$
- Base del triángulo, $latex b=5$
- Altura del triángulo, $latex a=6$
Al usar estos datos en la fórmula del volumen, tenemos:
$latex V=\frac{1}{6}bah$
$latex V=\frac{1}{6}(5)(6)(8)$
$latex V=40$
El volumen es igual a 40 m³.
EJERCICIO 4
Una pirámide tiene una base triangular con lados de 4 m y altura de 3.5 m. Si es que la altura inclinada de sus caras laterales es igual a 5 m, ¿cuál es su área superficial?
Solución
Tenemos los siguientes valores:
- Base, $latex b=4$
- Altura de base, $latex a=3.5$
- Altura de caras, $latex h=5$
Usamos estos valores en la fórmula del área superficial:
$latex A_{S}=\frac{1}{2}ba+\frac{3}{2}bh$
$latex A_{S}=\frac{1}{2}(4)(3.5)+\frac{3}{2}(4)(5)$
$latex A_{S}=7+30$
$latex A_{S}=37$
El área superficial es 37 m².
EJERCICIO 5
Una pirámide tiene una altura de 11 m y una base triangular con base de longitud 7 m y altura de 8 m. ¿Cuál es su volumen?
Solución
De la pregunta, sacamos los siguientes valores:
- Altura de la pirámide, $latex h=11$
- Base del triángulo, $latex b=7$
- Altura del triángulo, $latex a=8$
Usamos la fórmula del volumen con estos valores:
$latex V=\frac{1}{6}bah$
$latex V=\frac{1}{6}(7)(8)(11)$
$latex V=102.7$
El volumen es igual a 102.7 m³.
EJERCICIO 6
Una pirámide tiene una base triangular con lados de 6 m y altura de 5.2 m. Si es que la altura inclinada de sus caras laterales es igual a 6 m, ¿cuál es su área superficial?
Solución
De la pregunta, tenemos lo siguiente:
- Base, $latex b=6$
- Altura de base, $latex a=5.2$
- Altura de caras, $latex h=6$
Usamos estos valores en la fórmula del área superficial:
$latex A_{S}=\frac{1}{2}ba+\frac{3}{2}bh$
$latex A_{S}=\frac{1}{2}(6)(5.2)+\frac{3}{2}(6)(6)$
$latex A_{S}=15.6+54$
$latex A_{S}=69.6$
El área superficial es 69.6 m².
EJERCICIO 7
¿Cuál es el volumen de una pirámide con altura de 9 m y base triangular de base de 7 m y altura de 9 m?
Solución
Tenemos los siguientes datos:
- Altura de la pirámide, $latex h=9$
- Base del triángulo, $latex b=7$
- Altura del triángulo, $latex a=9$
Reemplazamos a estos valores en la fórmula del volumen:
$latex V=\frac{1}{6}bah$
$latex V=\frac{1}{6}(7)(9)(9)$
$latex V=94.5$
El volumen es igual a 94.5 m³.
EJERCICIO 8
¿Cuál es el área superficial de una pirámide que tiene una base con lados de longitud 7 m y una altura de 6 m y caras laterales de altura 10 m?
Solución
Tenemos las siguientes longitudes:
- Base, $latex b=7$
- Altura de base, $latex a=6$
- Altura de caras, $latex h=10$
Reemplazando estos valores en la fórmula del área superficial, tenemos
$latex A_{S}=\frac{1}{2}ba+\frac{3}{2}bh$
$latex A_{S}=\frac{1}{2}(7)(6)+\frac{3}{2}(6)(10)$
$latex A_{S}=21+90$
$latex A_{S}=111$
El área superficial es 111 m².
Ejercicios de volumen y área de pirámides triangulares para resolver
Una pirámide tiene una base con lados de longitud 10 m y altura de 8.6 m. Si es que la altura de la pirámide es 12 m, ¿cuál es su área superficial?
Escribe la respuesta en la casilla.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
