El volumen de una pirámide rectangular es calculado al multiplicar al área de la base por la altura de la pirámide y dividir por tres. El área superficial de una pirámide rectangular es calculada al sumar las áreas de todas las caras de la pirámide.
A continuación, conoceremos las fórmulas que podemos usar para calcular el volumen y el área de una pirámide rectangular. Además, resolveremos algunos ejercicios en los que aplicaremos esta fórmula.
GEOMETRÍA
Relevante para…
Aprender a calcular el volumen y el área de una pirámide rectangular.
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Cómo calcular el volumen de una pirámide rectangular
El volumen de cualquier pirámide es calculado al multiplicar al área de su base por la longitud de su altura y dividir por 3. Entonces, tenemos la siguiente fórmula:
$latex \text{Volumen} = \frac{1}{3}\text{Área base} \times \text{Altura}$
En una pirámide rectangular, su base es un rectángulo. Recordemos que el área de un rectángulo es calculada al multiplicar a la longitud de su base por la longitud de su ancho. Entonces, tenemos la siguiente fórmula:
| $latex V=\frac{1}{3}b\times a\times h$ |
en donde, b es la longitud de la base rectangular, a es la longitud del ancho de la base rectangular y h es la longitud de la pirámide.
Cómo calcular el área superficial de una pirámide rectangular
El área superficial de pirámides rectangulares es igual a la suma de las áreas de todas las caras de la pirámide. Estas pirámides están compuestas de una cara rectangular y cuatro caras triangulares. Las caras triangulares opuestas son iguales.
Entonces, tenemos que encontrar expresiones para las áreas de triángulos y rectángulos.
Recordemos que el área de un rectángulo es igual a la longitud de su base multiplicada por su ancho. Entonces, para la base, tenemos el área $latex A=ba$, en donde b es la longitud de la base y a es la longitud del ancho.
Por otra parte, sabemos que el área de un triángulo es igual a un medio de la base del triángulo multiplicada por la altura. Tenemos dos bases diferentes para los triángulos, b y a, que son las longitudes de la base rectangular. Además, la altura inclinada de los triángulos es la misma.
Entonces, tenemos dos áreas diferentes para los triángulos, $latex \frac{1}{2}bh$ y $latex \frac{1}{2}ah$, en donde, h representa a la longitud de la altura inclinada de las caras triangulares. Tenemos dos triángulos con cada una de estas áreas, por lo que el área superficial total de la pirámide es:
$latex A_{s}=ba+bh+ah$
Ejercicios de volumen y el área de una pirámide rectangular resueltos
EJERCICIO 1
¿Cuál es el volumen de una pirámide que tiene una altura de 5 m y una base rectangular con base de 4 m y ancho de 5 m?
Solución
Tenemos las siguientes longitudes:
- Altura de pirámide, $latex h=5$
- Base de rectángulo, $latex b=4$
- Ancho de rectángulo, $latex a=5$
Usando estas longitudes en la fórmula del volumen, tenemos:
$latex V=\frac{1}{3}b\times a\times h$
$latex V=\frac{1}{3}\times4\times 5\times 5$
$latex V=33.3$
El volumen es igual a 33.3 m³.
EJERCICIO 2
¿Cuál es el área superficial de una pirámide que tiene una base rectangular con ancho de 5 m y base de 4 m y en donde la altura inclinada de las caras es 5 m?
Solución
Tenemos los siguientes valores:
- Ancho rectángulo, $latex a=5$
- Base rectángulo, $latex b=4$
- Altura triángulos, $latex h=5$
Usando estos valores en la fórmula del área superficial, tenemos:
$latex A_{s}=ba+bh+ah$
$latex A_{s}=(4)(5)+(4)(5)+(5)(5)$
$latex A_{s}=20+20+25$
$latex A_{s}=65$
El área superficial es igual a 65 m².
EJERCICIO 3
Si es que un pirámide rectangular tiene una base de 6 m, un ancho de 5 m y una altura de 6 m, ¿cuál es su volumen?
Solución
De la pregunta, sacamos los siguientes valores:
- Altura de pirámide, $latex h=6$
- Base de rectángulo, $latex b=6$
- Ancho de rectángulo, $latex a=5$
Al usar estos valores en la fórmula del volumen, tenemos:
$latex V=\frac{1}{3}b\times a\times h$
$latex V=\frac{1}{3}\times6\times 5\times 6$
$latex V=60$
El volumen es igual a 60 m³.
EJERCICIO 4
Una pirámide tiene una base rectangular con ancho de 6 m y base de 7 m. Si es que la altura inclinada de las caras triangulares es 8 m, ¿cuál es el área superficial?
Solución
Reconocemos la siguiente información:
- Ancho rectángulo, $latex a=6$
- Base rectángulo, $latex b=7$
- Altura triángulos, $latex h=8$
Reemplazamos a estos valores en la fórmula del área superficial:
$latex A_{s}=ba+bh+ah$
$latex A_{s}=(7)(6)+(7)(8)+(6)(8)$
$latex A_{s}=42+56+48$
$latex A_{s}=146$
El área superficial es igual a 146 m².
EJERCICIO 5
Una pirámide tiene una altura de 7 m. Si es que su base rectangular tiene un ancho de 6 m y base de 8 m, ¿cuál es la longitud de uno de sus lados?
Solución
Tenemos la siguiente información:
- Altura de pirámide, $latex h=7$
- Base de rectángulo, $latex b=8$
- Ancho de rectángulo, $latex a=6$
Usamos la fórmula del volumen con estos valores:
$latex V=\frac{1}{3}b\times a\times h$
$latex V=\frac{1}{3}\times 8\times 6\times 7$
$latex V=112$
El volumen es igual a 112 m³.
EJERCICIO 6
¿Cuál es el área superficial de una pirámide rectangular que tiene caras triangulares con altura de 9 m y una base con ancho de 7 m y base de 9 m?
Solución
Tenemos la siguiente información:
- Ancho rectángulo, $latex a=7$
- Base rectángulo, $latex b=9$
- Altura triángulos, $latex h=9$
Al reemplazar a estos valores en la fórmula del área superficial, tenemos:
$latex A_{s}=ba+bh+ah$
$latex A_{s}=(9)(7)+(9)(9)+(7)(9)$
$latex A_{s}=63+81+63$
$latex A_{s}=207$
El área superficial es igual a 207 m².
EJERCICIO 7
Una pirámide rectangular tiene un volumen de 10 m³. Si es que su altura mide 5 m y su ancho mide 3 m, ¿cuál es la longitud de su base?
Solución
Tenemos lo siguiente:
- Volumen, $latex V=10$
- Altura de pirámide, $latex h=5$
- Ancho de rectángulo, $latex a=3$
En este caso, empezamos con el volumen y queremos encontrar la longitud de su base. Entonces, usamos la fórmula del volumen y resolvemos para b:
$latex V=\frac{1}{3}b\times a\times h$
$latex 10=\frac{1}{3}\times b\times 3\times 5$
$latex 30= b\times 3\times 5$
$latex 30= 15b$
$latex b=2$
La longitud de la base es 2 m.
EJERCICIO 8
Si es que una pirámide rectangular tiene una base rectangular con ancho de 8 m y base de 10 m y la altura de sus caras triangulares es 11 m, ¿cuál es su área superficial?
Solución
Tenemos la siguiente información:
- Ancho rectángulo, $latex a=8$
- Base rectángulo, $latex b=10$
- Altura triángulos, $latex h=11$
Encontramos el área superficial usando estos valores en la fórmula:
$latex A_{s}=ba+bh+ah$
$latex A_{s}=(10)(8)+(10)(11)+(8)(11)$
$latex A_{s}=80+110+88$
$latex A_{s}=278$
El área superficial es igual a 278 m².
EJERCICIO 9
¿Cuál es la longitud de la base de una pirámide rectangular que tiene un volumen de 144 m³, un ancho de 6 m y una altura de 9 m?
Solución
Tenemos los siguientes valores:
- Volumen, $latex V=144$
- Altura de pirámide, $latex h=9$
- Ancho de rectángulo, $latex a=6$
Usamos los datos dados en la fórmula del volumen y resolvemos para b:
$latex V=\frac{1}{3}b\times a\times h$
$latex 144=\frac{1}{3}\times b\times 6\times 9$
$latex 432= b\times 6\times 9$
$latex 432= 54b$
$latex b=8$
La longitud de la base es 8 m.
Ejercicios de volumen y área de pirámides rectangulares para resolver
Si es que tenemos una pirámide rectangular con base de 11 m, ancho de 12 m y altura de caras triangulares de 10 m, ¿cuál es su área superficial?
Escribe la respuesta en la casilla.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
