El volumen de una pirámide pentagonal es calculado al multiplicar al área de la base pentagonal por la longitud de la altura de la pirámide. El área superficial de la pirámide pentagonal es calculada al sumar las áreas de la base pentagonal y las caras triangulares laterales.
A continuación, conoceremos las fórmulas que podemos usar para calcular el volumen y el área de pirámides pentagonales. Luego, aplicaremos estas fórmulas para resolver algunos ejercicios de práctica.
GEOMETRÍA
Relevante para…
Aprender a calcular el volumen y área de pirámides pentagonales.
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Cómo calcular el volumen de una pirámide pentagonal
El volumen de cualquier pirámide es calculada al multiplicar al área de su base por su altura y dividir al producto por tres. Entonces, tenemos la siguiente fórmula:
$latex V=\frac{1}{3}\text{Área base}\times \text{Altura}$
Por su parte, estas pirámides tienen una base pentagonal y el área de un pentágono es calculada usando la siguiente fórmula:
$latex A=1.72{{l}^2}$
en donde, l es la longitud de uno de los lados del pentágono.
Esta fórmula es derivada al dividir al pentágono en cinco triángulos y encontrar el área de cada triángulo separadamente.
Usando la expresión para el área de un pentágono dada, la fórmula del volumen de una pirámide se vuelve:
| $latex V=\frac{1.72}{3}{{l}^2}h$ |
en donde, l es la longitud de uno de los lados de la base pentagonal y h es la longitud de la altura de la pirámide.
Cómo calcular el área superficial de una pirámide pentagonal
El área superficial es calculada al sumar las áreas de todas las caras de una figura geométrica. Las pirámides pentagonales tienen una cara pentagonal y cinco caras triangulares laterales. Para encontrar el área de la cara pentagonal, usamos la siguiente fórmula:
$latex A=1.72{{l}^2}$
en donde, l representa a la longitud de uno de los lados de la base pentagonal.
Por otra parte, el área de las caras triangulares es encontrada al usar la fórmula para el área de cualquier triángulo:
$latex A=\frac{1}{2}bh$
en donde, b representa a la longitud de la base del triángulo y h representa a la altura.
En las pirámides pentagonales, las bases de las caras triangulares son iguales a la longitud de uno de los lados de la base. Además, las cinco caras triangulares son congruentes. Eso significa que la fórmula del área superficial de estas pirámides es:
$latex A_{s}=1.72{{l}^2}+5(\frac{1}{2}bh)$
$latex A_{s}=1.72{{l}^2}+(\frac{5}{2}lh)$
Ejercicios de volumen y área de pirámides pentagonales resueltos
EJERCICIO 1
¿Cuál es el volumen de una pirámide que tiene una base pentagonal de 1 m y una altura de 3 m?
Solución
Tenemos lo siguiente:
- Lados del pentágono, $latex l=1$
- Altura, $latex h=3$
Usamos la fórmula del volumen con estos valores:
$latex V=\frac{1.72}{3}{{l}^2}h$
$latex V=\frac{1.72}{3}{{(1)}^2}(3)$
$latex V=\frac{1.72}{3}(1)(3)$
$latex V=1.72$
El volumen es 1.72 m³.
EJERCICIO 2
¿Cuál es el área superficial de una pirámide pentagonal con altura de 5 m y lados de longitud 1 m?
Solución
De la pregunta, tenemos las longitudes $latex h=5$ y $latex l=1$. Usando la fórmula del área superficial con estos valores, tenemos:
$latex A_{s}=1.72{{l}^2}+\frac{5}{2}lh$
$latex A_{s}=1.72{{(1)}^2}+\frac{5}{2}(1)(5)$
$latex A_{s}=1.72+12.5$
$latex A_{s}=14.22$
El área superficial es igual a 14.22 m².
EJERCICIO 3
Una pirámide pentagonal tiene una base con lados de longitud de 2 m y una altura de 5 m. ¿Cuál es su volumen?
Solución
Tenemos estos valores:
- Lados del pentágono, $latex l=2$
- Altura, $latex h=5$
Reemplazamos a estos valores en la fórmula del volumen:
$latex V=\frac{1.72}{3}{{l}^2}h$
$latex V=\frac{1.72}{3}{{(2)}^2}(5)$
$latex V=\frac{1.72}{3}(4)(5)$
$latex V=11.47$
El volumen es 11.47 m³.
EJERCICIO 4
Si es que una pirámide tiene una altura de 6 m y una base pentagonal con lados de 2 m, ¿cuál es su área superficial?
Solución
Observamos las longitudes $latex h=6$ y $latex l=2$. Si es que usamos estos valores en la fórmula del área superficial, tenemos:
$latex A_{s}=1.72{{l}^2}+\frac{5}{2}lh$
$latex A_{s}=1.72{{(2)}^2}+\frac{5}{2}(2)(6)$
$latex A_{s}=6.88+30$
$latex A_{s}=36.88$
El área superficial es igual a 36.88 m².
EJERCICIO 5
Si es que una pirámide pentagonal tiene lados de longitud de 3 m y una altura de 6 m, ¿cuál es su volumen?
Solución
Tenemos lo siguiente:
- Lados del pentágono, $latex l=3$
- Altura, $latex h=6$
Usamos la fórmula del volumen con estos valores:
$latex V=\frac{1.72}{3}{{l}^2}h$
$latex V=\frac{1.72}{3}{{(3)}^2}(6)$
$latex V=\frac{1.72}{3}(9)(6)$
$latex V=30.96$
El volumen es 30.96 m³.
EJERCICIO 6
¿Cuál es el área superficial de una pirámide pentagonal que tiene lados de 4 m y una altura de 10 m?
Solución
Usamos las longitudes $latex h=10$ y $latex l=4$ en la fórmula del área superficial. Entonces, tenemos:
$latex A_{s}=1.72{{l}^2}+\frac{5}{2}lh$
$latex A_{s}=1.72{{(4)}^2}+\frac{5}{2}(4)(10)$
$latex A_{s}=27.52+100$
$latex A_{s}=127.52$
El área superficial es igual a 127.52 m².
EJERCICIO 7
Una pirámide tiene una base pentagonal con lados de longitud 5 m y una altura de 12 m. ¿Cuál es su volumen?
Solución
De la pregunta, obtenemos las siguientes longitudes:
- Lados del pentágono, $latex l=5$
- Altura, $latex h=12$
Si es que reemplazamos estos valores en la fórmula del volumen, tenemos:
$latex V=\frac{1.72}{3}{{l}^2}h$
$latex V=\frac{1.72}{3}{{(5)}^2}(12)$
$latex V=\frac{1.72}{3}(25)(12)$
$latex V=172$
El volumen es 172 m³.
EJERCICIO 8
Si es que una pirámide pentagonal tiene lados de longitud 6 m y una altura de 12 m, ¿cuál es su área superficial?
Solución
Reemplazamos a las longitudes $latex h=12$ y $latex l=6$ en la fórmula del área superficial:
$latex A_{s}=1.72{{l}^2}+\frac{5}{2}lh$
$latex A_{s}=1.72{{(6)}^2}+\frac{5}{2}(6)(12)$
$latex A_{s}=61.92+180$
$latex A_{s}=141.92$
El área superficial es igual a 141.92 m².
Ejercicios de volumen y área de pirámides pentagonales para resolver
¿Cuál es el volumen de una pirámide pentagonal con lados de longitud 6 m y altura de longitud 13 m?
Escribe la respuesta usando dos lugares decimales.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
