El volumen de un prisma pentagonal puede ser calculado al multiplicar al área de la base pentagonal por la altura del prisma. Por otro lado, el área superficial de un prisma pentagonal es calculada al sumar las áreas de todas las caras del prisma.
A continuación, conoceremos las fórmulas que podemos usar para calcular el volumen y el área superficial de prismas pentagonales. Además, usaremos estas fórmulas para resolver algunos ejercicios de práctica.
GEOMETRÍA
Relevante para…
Aprender a calcular el volumen y el área de un prisma pentagonal.
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Aprender a calcular el volumen y el área de un prisma pentagonal.
¿Cómo calcular el volumen de un prisma pentagonal?
Podemos encontrar el volumen de un prisma pentagonal al multiplicar al área de la base por la altura del prisma. Recordemos que podemos usar la apotema para calcular el área de polígonos fácilmente. Entonces, tenemos la siguiente fórmula:
$latex V=\frac{5}{2}alh$
en donde, a representa a la longitud de la apotema, l representa a la longitud de los lados de la base pentagonal y l representa a la longitud de la altura del prisma.
Además, también podemos encontrar el volumen de un prisma usando solamente la longitud de su altura y la longitud de uno de los lados de su base pentagonal. Para esto, usamos la siguiente fórmula:
$latex V=\frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}})~{{l}^2}h$
Esta fórmula es más complicada, pero podemos aproximarla a la siguiente expresión:
$latex V=1.72{{l}^2}h$
¿Cómo calcular el área superficial de un prisma pentagonal?
El área superficial de cualquier figura tridimensional es encontrada al sumar las áreas de todas sus caras. En el caso de prismas pentagonales, tenemos dos caras pentagonales y cinco caras rectangulares.
Podemos encontrar el área de cada cara pentagonal usando la fórmula $latex 3.44{{l}^2}$, en donde, l representa a la longitud de uno de los lados de la cara pentagonal. Entonces, el área de ambas caras pentagonales es $latex 6.88{{l}^2}$.
Por otra parte, el área de cada cara rectangular es encontrada al usar la fórmula $latex lh$, en donde, l es la longitud de uno de los lados de la cara pentagonal y h es la longitud de la altura del prisma. Entonces, el área de las cinco áreas rectangulares es $latex 5hl$.
Al sumar estas dos partes, tenemos la fórmula para el área superficial de un prisma pentagonal:
$latex A_{s}=6.88{{l}^2}+5hl$
Ejercicios de volumen y área de prismas pentagonales resueltos
EJERCICIO 1
¿Cuál es el volumen de un prisma que tiene una altura de 6 m y una base con lados de longitud 8 m y una apotema de 5.5 m?
Solución
Tenemos la siguiente información:
- Altura del prisma, $latex h=6$
- Lados pentágono, $latex l=8$
- Apotema, $latex a=5.5$
Usando la primera fórmula del volumen con estos datos, tenemos:
$latex V=\frac{5}{2}alh$
$latex V=\frac{5}{2}(5.5)(8)(6)$
$latex V=660$
El volumen del prisma es 660 m³.
EJERCICIO 2
¿Cuál es el área superficial de un prisma pentagonal con altura de 4 m y lados de longitud 4 m?
Solución
Tenemos que $latex h=4$ y $latex l=4$. Entonces, usamos la fórmula del área superficial con estos valores:
$latex A_{s}=6.88{{l}^2}+5lh$
$latex A_{s}=6.88{{(4)}^2}+5(4)(4)$
$latex A_{s}=110.1+80$
$latex A_{s}=190.1$
El área superficial es igual a 190.1 m².
EJERCICIO 3
Un prisma tiene una altura de 8 m y su base es un pentágono con lados de longitud 9 m y apotema de 6.2 m. ¿Cuál es su volumen?
Solución
Reconocemos los siguientes datos:
- Altura del prisma, $latex h=8$
- Lados pentágono, $latex l=9$
- Apotema, $latex a=6.2$
Reemplazamos a estos datos en la primera fórmula del volumen:
$latex V=\frac{5}{2}alh$
$latex V=\frac{5}{2}(6.2)(9)(8)$
$latex V=1116$
El volumen del prisma es 1116 m³.
EJERCICIO 4
Si es que un prisma tiene una altura de 9 m y una base pentagonal con lados de 5 m, ¿cuál es su área superficial?
Solución
Usamos las longitudes $latex h=9$ y $latex l=5$ en la fórmula del área superficial:
$latex A_{s}=6.88{{l}^2}+5lh$
$latex A_{s}=6.88{{(5)}^2}+5(5)(9)$
$latex A_{s}=172+225$
$latex A_{s}=395$
El área superficial es igual a 395 m².
EJERCICIO 5
Si es que un prisma tiene una altura de 10 m y una base pentagonal con lados de longitud 5 m, ¿cuál es su volumen?
Solución
Tenemos los siguientes valores:
- Altura del prisma, $latex h=10$
- Lados pentágono, $latex l=5$
Tenemos que usar la segunda fórmula del volumen con estos valores:
$latex V=1.72{{l}^2}h$
$latex V=1.72{{(5)}^2}(10)$
$latex V=430$
El volumen del prisma es 430 m³.
EJERCICIO 6
¿Cuál es el área superficial de un prisma pentagonal que tiene lados de 6 m y una altura de 11 m?
Solución
Tenemos las longitudes $latex h=11$ y $latex l=6$, por lo que usamos estos valores en la fórmula del área superficial:
$latex A_{s}=6.88{{l}^2}+5lh$
$latex A_{s}=6.88{{(6)}^2}+5(6)(11)$
$latex A_{s}=247.7+330$
$latex A_{s}=577.7$
El área superficial es igual a 577.7 m².
EJERCICIO 7
Un prisma tiene una base pentagonal con lados de longitud 3 m. Si es que su altura es 5 m, ¿cuál es su volumen?
Solución
Tenemos lo siguiente:
- Altura del prisma, $latex h=5$
- Lados pentágono, $latex l=3$
Usando la segunda fórmula con estos valores, tenemos:
$latex V=1.72{{l}^2}h$
$latex V=1.72{{(3)}^2}(5)$
$latex V=77.4$
El volumen del prisma es 77.4 m³.
EJERCICIO 8
Si es que un prisma pentagonal tiene lados de longitud 8 m y una altura de 12 m, ¿cuál es su área superficial?
Solución
Reemplazamos a las longitudes $latex h=12$ y $latex l=8$ en la fórmula del área superficial:
$latex A_{s}=6.88{{l}^2}+5lh$
$latex A_{s}=6.88{{(8)}^2}+5(8)(12)$
$latex A_{s}=440.3+480$
$latex A_{s}=920.3$
El área superficial es igual a 920.3 m².
EJERCICIO 9
¿Cuál es el volumen de un prisma que tiene una altura de 12 m y una base pentagonal con lados de 6 m?
Solución
Tenemos los siguientes valores:
- Altura del prisma, $latex h=12$
- Lados pentágono, $latex l=6$
Si es que usamos la segunda fórmula, tenemos:
$latex V=1.72{{l}^2}h$
$latex V=1.72{{(6)}^2}(12)$
$latex V=743.04$
El volumen del prisma es 743.04 m³.
Ejercicios de volumen y área de prismas pentagonales para resolver
Si es que tenemos un prisma pentagonal con altura de 7 m y lados de longitud 3 m, ¿cuál es su área superficial?
Escribe la respuesta a un lugar decimal.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre prismas pentagonales? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
