Término general de una progresión aritmética – Paso a paso

Los términos de las progresiones aritméticas pueden ser obtenidos al sumar un número llamado la diferencia común al término anterior. Considerando esto, podemos formar una fórmula para el término general de una progresión aritmética, la cual usa el valor de un término inicial, la diferencia común y la posición del término requerido.

A continuación, conoceremos la fórmula que podernos usar para encontrar el término general de una progresión aritmética. Luego, aplicaremos esta fórmula para resolver algunos ejemplos.

ÁLGEBRA
fórmula del término general de una progresión aritmética

Relevante para

Aprender a encontrar el término general de una progresión aritmética.

Ver pasos

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fórmula del término general de una progresión aritmética

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Pasos para encontrar el término general de una progresión aritmética

Consideremos la progresión de números 1, 3, 5, 7, … Cada término de esta progresión es obtenido al sumar 2 al término anterior. Este es el ejemplo de una progresión aritmética.

Las progresiones aritméticas son progresiones en las que cualquier término es formado del término anterior al sumar un cierto número llamado la diferencia común.

Generalmente, los términos de una progresión aritmética pueden ser obtenidos usando la siguiente fórmula:

$$a_{n}=a+(n-1)d$$

en donde,

  • $latex a$ es el primer término de la progresión.
  • $latex d$ es la diferencia común.
  • $latex n $ es la posición del término.
fórmula del término general de una progresión aritmética

Entonces, podemos seguir los siguientes pasos para encontrar el término general de una progresión aritmética.

1. Encontrar el valor del primer término.

2. Encontrar el valor de la diferencia común.

La diferencia común es encontrada al restar a un término de la progresión por el término previo.

3. Usar la fórmula del término general.

Sustituimos los valores del primer término, la diferencia común y la posición del término en la fórmula $latex a_{n}=a+(n-1)d$.


Ejemplos resueltos del término general de una progresión aritmética

EJEMPLO 1

¿Cuál es el valor del término 6 de una progresión aritmética que tiene un valor inicial de 3 y una diferencia común de 2?

En este caso, tenemos los valores del valor inicial y la diferencia común dados directamente. Además, queremos encontrar el término 6, por lo que tenemos:

  • $latex a=3$
  • $latex d=2$
  • $latex n=6$

Usando estos valores en la fórmula del término general y resolviendo, tenemos:

$latex a_{n}=a+(n-1)d$

$latex a_{6}=3+(6-1)2$

$latex a_{6}=3+(5)2$

$latex a_{6}=3+10$

$latex a_{6}=13$

EJEMPLO 2

Si es que el primer término de una progresión aritmética es 5 y su diferencia común es 4, encuentra el valor del término 8.

Similar al ejemplo anterior, tenemos los valores del valor inicial y la diferencia común dados en el enunciado. Entonces, tenemos:

  • $latex a=5$
  • $latex d=4$
  • $latex n=8$

Al usar estos valores con la fórmula del término general, tenemos:

$latex a_{n}=a+(n-1)d$

$latex a_{8}=5+(8-1)4$

$latex a_{8}=5+(7)4$

$latex a_{8}=5+28$

$latex a_{8}=33$

EJEMPLO 3

Los primeros cuatro términos de una progresión aritmética son 3, 6, 9, 12. Encuentra el término 10 de la progresión.

En este caso, conocemos los cuatro primeros términos, por lo que conocemos directamente al primer término.

Para encontrar la diferencia común, podemos restar a cualquier término por su término previo. Por ejemplo, $latex 12-9=3$. Entonces, tenemos:

  • $latex a=3$
  • $latex d=3$
  • $latex n=10$

Usando la fórmula del término general, tenemos:

$latex a_{n}=a+(n-1)d$

$latex a_{10}=3+(10-1)3$

$latex a_{10}=3+(9)3$

$latex a_{10}=3+27$

$latex a_{10}=30$

EJEMPLO 4

Encuentra el término 10 de la progresión aritmética que empieza con los términos 9, 5, 1, …

Similar al ejemplo anterior, conocemos el primer término y tenemos que encontrar la diferencia común. En este caso, tenemos $latex 1-5=-4$. Entonces,

  • $latex a=9$
  • $latex d=-4$
  • $latex n=10$

Tenemos una diferencia común negativa, pero simplemente tenemos que aplicar la fórmula del término general:

$latex a_{n}=a+(n-1)d$

$latex a_{10}=9+(10-1)(-4)$

$latex a_{10}=9+(9)(-4)$

$latex a_{10}=9-36$

$latex a_{10}=-27$

EJEMPLO 5

Los primeros cuatro términos de una progresión aritmética son 5, 11, 17, 23. Encuentra el término 30.

La diferencia común de la progresión dada es $latex 23-17=6$. Entonces, tenemos los siguientes valores:

  • $latex a=5$
  • $latex d=6$
  • $latex n=30$

Aplicando la fórmula, tenemos:

$latex a_{n}=a+(n-1)d$

$latex a_{30}=5+(30-1)6$

$latex a_{30}=5+(29)6$

$latex a_{30}=5+174$

$latex a_{30}=179$

EJEMPLO 6

Encuentra el término 16 de la progresión aritmética que empieza con los números 20, 17, 14, …

La diferencia común de la progresión dada es $latex 14-17=-3$. Entonces, tenemos los siguientes valores:

  • $latex a=20$
  • $latex d=-3$
  • $latex n=16$

Aplicando la fórmula, tenemos:

$latex a_{n}=a+(n-1)d$

$latex a_{16}=20+(16-1)(-3)$

$latex a_{16}=20+(15)(-3)$

$latex a_{16}=20-45$

$latex a_{16}=-25$

Puedes explorar más ejercicios de este tema en nuestro artículo: Ejercicios de término general de una progresión aritmética.


Término general de progresiones aritméticas – Ejercicios para resolver

Práctica de término general de progresiones aritméticas
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Encuentra el término 12 de una progresión aritmética que empieza con los términos 15, 11, 7, …

Escribe la respuesta en la casilla.

$latex a_{12}=$

Véase también

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