Suma de progresiones aritméticas – Ejercicios resueltos

La suma de una progresión aritmética puede ser encontrada usando dos fórmulas diferentes dependiendo de la información que tenemos disponible. Generalmente, la información esencial es el valor del primer término, el número de términos y el último término o la diferencia común.

A continuación, resolveremos varios ejercicios de la suma de progresiones aritméticas. Además, veremos algunos ejercicios prácticos en los que podrás aplicar lo aprendido.

ÁLGEBRA
Fórmula de la suma de una progresión aritmética

Relevante para

Resolver algunos ejercicios de suma de progresiones aritméticas.

Ver ejercicios

ÁLGEBRA
Fórmula de la suma de una progresión aritmética

Relevante para

Resolver algunos ejercicios de suma de progresiones aritméticas.

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Fórmulas para la suma de una progresión aritmética

Las progresiones aritméticas son progresiones en las que sus términos son formados del término anterior al sumar un cierto número llamado la diferencia común.

La suma de los primeros $latex n$ términos de una progresión aritmética puede ser encontrada con la siguiente fórmula

$$S_{n}=\frac{n}{2}(a+l)$$

en donde,

  • $latex a$ es el primer término de la progresión.
  • $latex l$ es el último término.
  • $latex n $ es el número de términos.
Fórmula de la suma de una progresión aritmética

Además, recordando que cualquier término de una progresión aritmética puede ser encontrado usando la fórmula $latex a_{n}=a+(n-1)d$, podemos escribir a la fórmula de la suma de la siguiente forma:

$$S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$$

en donde,

  • $latex a$ es el primer término.
  • $latex d$ es la diferencia común.
  • $latex n $ es el número de términos.

Demostración de la fórmula de la suma de progresiones aritméticas

Recordemos que cada término de una progresión aritmética es obtenido al sumar la diferencia común, d, al término previo. Entonces, podemos escribir lo siguiente:

$$S_{n}=a+[a+d]+…+[a+(n-1)d]$$

Esta es la ecuación [1]. Ahora, escribimos a los términos en orden reverso, es decir, desde la derecha hacia la izquierda.

$$S_{n}=[a+(n-1)d]+[a+(n-2)d]+…+a$$

Esta es la ecuación [2]. Si es que sumamos ambas ecuaciones, podemos obtener el valor de $latex 2S_{n}$:

$$2S_{n}=(a+[a+(n-1)d])+((a+d)+[a+(n-2)d])+…+([a+(n-1)d]+a)$$

$$2S_{n}=[2a+(n-1)d]+[2a+(n-1)d]+…+[2a+(n-1)d]$$

Podemos observar que los términos obtenidos son iguales, por lo que la suma es igual a uno de los términos multiplicados por n (número total de términos).

$$2S_{n}=n[2a+(n-1)d]$$

Por último, dividimos a toda la ecuación para encontrar $latex S_{n}$:

$$S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$$


10 Ejercicios resueltos de sumas de progresiones aritméticas

EJERCICIO 1

Encuentra la suma de los primeros 8 términos de una progresión aritmética en la que el primer término es 4 y el término 8 es 25.

Solución

EJERCICIO 2

El primer término de una progresión aritmética es 7 y el término 15 es 63. Encuentra la suma de los 15 primeros términos.

Solución

EJERCICIO 3

Encuentra la suma de los 9 primeros términos de una progresión aritmética en la que el primer término es -20 y el término 9 es -44.

Solución

EJERCICIO 4

Encuentra la suma de los primeros 20 términos de una progresión aritmética que empieza con 5, 9, 13, 17, …

Solución

EJERCICIO 5

Una progresión aritmética empieza con los términos 60, 55, 50, … Encuentra la suma de los primeros 12 términos.

Solución

EJERCICIO 6

Encuentra la suma de los primeros 25 términos de una progresión aritmética que empieza con los términos 9, -1, -11, …

Solución

EJERCICIO 7

¿Cuál es el resultado de la siguiente suma de la progresión aritmética?

$$6+8+10+…30$$

Solución

EJERCICIO 8

Encuentra la suma de la siguiente progresión aritmética:

$$9+13+17+…+41$$

Solución

EJERCICIO 9

¿Cuál es el resultado de la suma de la siguiente progresión aritmética?

$$62+60+58+…+38$$

Solución

EJERCICIO 10

Si es que el primer término de una progresión aritmética es 2 y el término n es 32, encuentra el valor de n si es que la suma de los primeros n términos es 357.

Solución

Ejercicios de suma de progresiones aritméticas para resolver

Práctica de sumas de progresiones aritméticas
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¿Cuál es el resultado de la siguiente suma de una progresión aritmética? $$1.3+1.6+1.9+…+4.6$$

Escribe la respuesta en la casilla.

$latex S_{n}=$

Véase también

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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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