Suma de progresiones aritméticas – Fórmula y Ejemplos

Las progresiones aritméticas son formadas al sumar la diferencia común a cada término previo. Podemos calcular la suma de progresiones aritméticas aplicando una fórmula con los valores del primer término y del último término, además del número de términos.

A continuación, conoceremos cómo obtener la suma de una progresión aritmética. Exploraremos la fórmula que podemos usar y la aplicaremos para resolver algunos ejercicios de práctica.

ÁLGEBRA
Fórmula de la suma de una progresión aritmética

Relevante para

Aprender a encontrar la suma de una progresión aritmética.

Ver fórmulas

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Fórmula de la suma de una progresión aritmética

Relevante para

Aprender a encontrar la suma de una progresión aritmética.

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Fórmulas para la suma de una progresión aritmética

Las progresiones aritméticas son progresiones en las que sus términos son formados del término anterior al sumar un cierto número llamado la diferencia común.

La suma de los primeros $latex n$ términos de una progresión aritmética puede ser encontrada con la siguiente fórmula

$$S_{n}=\frac{n}{2}(a+l)$$

en donde,

  • $latex a$ es el primer término de la progresión.
  • $latex l$ es el último término.
  • $latex n $ es el número de términos.
Fórmula de la suma de una progresión aritmética

Además, recordando que cualquier término de una progresión aritmética puede ser encontrado usando la fórmula $latex a_{n}=a+(n-1)d$, podemos escribir a la fórmula de la suma de la siguiente forma:

$$S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$$

en donde,

  • $latex a$ es el primer término.
  • $latex d$ es la diferencia común.
  • $latex n $ es el número de términos.

Demostración de la fórmula de la suma de progresiones aritméticas

Recordemos que cada término de una progresión aritmética es obtenido al sumar la diferencia común, d, al término previo. Entonces, podemos escribir lo siguiente:

$$S_{n}=a+[a+d]+…+[a+(n-1)d]$$

Esta es la ecuación [1]. Ahora, escribimos a los términos en orden reverso, es decir, desde la derecha hacia la izquierda.

$$S_{n}=[a+(n-1)d]+[a+(n-2)d]+…+a$$

Esta es la ecuación [2]. Si es que sumamos ambas ecuaciones, podemos obtener el valor de $latex 2S_{n}$:

$$2S_{n}=(a+[a+(n-1)d])+((a+d)+[a+(n-2)d])+…+([a+(n-1)d]+a)$$

$$2S_{n}=[2a+(n-1)d]+[2a+(n-1)d]+…+[2a+(n-1)d]$$

Podemos observar que los términos obtenidos son iguales, por lo que la suma es igual a uno de los términos multiplicados por n (número total de términos).

$$2S_{n}=n[2a+(n-1)d]$$

Por último, dividimos a toda la ecuación para encontrar $latex S_{n}$:

$$S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$$


Ejemplos resueltos de la suma de progresiones aritméticas

EJEMPLO 1

El primer término de una progresión aritmética es 4 y el término 10 es 31. ¿Cuál es la suma de los 10 primeros términos?

Tenemos la siguiente información:

  • $latex a=4$
  • $latex l=31$
  • $latex n=10$

Podemos usar la fórmula de la suma de progresiones aritméticas con los valores dados:

$$S_{n}=\frac{n}{2}[a+l]$$

$$S_{10}=\frac{10}{2}[4+31]$$

$$S_{10}=5[35]$$

$$S_{10}=175$$

EJEMPLO 2

Encuentra la suma los primeros 30 términos de una progresión aritmética en la que el primer término es igual a 5 y el término 30 es igual a 179.

Similar al ejercicio anterior, podemos observar los siguientes valores:

  • $latex a=5$
  • $latex l=179$
  • $latex n=30$

Ahora, usamos la fórmula de la suma de progresiones aritméticas con la información dada:

$$S_{n}=\frac{n}{2}[a+l]$$

$$S_{30}=\frac{30}{2}[5+179]$$

$$S_{30}=15[184]$$

$$S_{30}=2760$$

EJEMPLO 3

Los primeros cuatro términos de una progresión aritmética son 5, 9, 13 y 17. Encuentra la suma de los primeros 20 términos.

Podemos encontrar la diferencia común de la progresión al restar a un término por su término previo. Por ejemplo, 17-13=4. Entonces, tenemos:

  • $latex a=5$
  • $latex d=4$
  • $latex n=20$

En este caso, no conocemos el último término de la suma requerida, es decir, el término 20. Entonces, podemos usar la segunda fórmula con la información dada:

$$S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$$

$$S_{20}=\frac{20}{2}[2(5)+(20-1)4]$$

$$=10[10+(19)4]$$

$latex =10[10+76]$

$latex =10(86)$

$latex S_{20}=860$

EJEMPLO 4

Encuentra la suma de los primeros 24 términos de una progresión aritmética que empieza con los términos -2, -5, -8, -11, …

La diferencia común de la progresión es -11-(-8)=-3. Entonces, tenemos lo siguiente:

  • $latex a=-2$
  • $latex d=-3$
  • $latex n=24$

Similar al ejemplo anterior, podemos usar la segunda fórmula de la suma de una progresión aritmética con los valores dados:

$$S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$$

$$S_{24}=\frac{24}{2}[2(-2)+(24-1)(-3)]$$

$$=12[-4+(23)(-3)]$$

$latex =12[-4-69]$

$latex =12(-73)$

$latex S_{24}=-876$

EJEMPLO 5

Encuentra la suma de la siguiente progresión aritmética:

$$6+8+10+…+30$$

La diferencia común es igual a 10-8=2. Entonces, tenemos lo siguiente:

  • $latex a=6$
  • $latex d=2$
  • $latex l=30$

Sin embargo, para encontrar la suma, tenemos que conocer el número de términos n. Podemos lograr esto usando la fórmula del término general:

$latex a_{n}=a+(n-1)d$

$latex 30=6+(n-1)2$

$latex 24=(n-1)2$

$latex 12=n-1$

$latex n=13$

Ahora, encontramos la suma con estos datos:

$$S_{n}=\frac{n}{2}[a+l]$$

$$S_{13}=\frac{13}{2}[6+30]$$

$$S_{13}=\frac{13}{2}[36]$$

$$S_{13}=234$$

EJEMPLO 6

El primer término de una progresión aritmética es 2 y el término n es 32. Si es que la suma de los primeros n términos es 357, encuentra el valor de n.

Dado que el término n es 32, tenemos:

$latex a+(n-1)d=32$

Además, también sabemos que $latex a =2$, por lo que tenemos:

$latex 2+(n-1)d=32$

$latex (n-1)d=30~~[1]$

Dado que la suma de los primeros n términos es 357, tenemos:

$$ \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]=357$$

También sabemos que $latex a=2$, por lo que tenemos:

$$ \frac{n}{2}[2(2)+(n-1)d]=357$$

$$ \frac{n}{2}[4+(n-1)d]=357~~[2]$$

Substituyendo la ecuación [1] en la ecuación [2], tenemos:

$latex n(4+30)=714$

$latex 34n=714$

$latex n=21$

Puedes explorar ejercicios adicionales de este tema en nuestro artículo: Ejercicios de suma de progresiones aritméticas.


Suma de progresiones aritméticas – Ejercicios para resolver

Práctica de suma de progresiones aritméticas
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¡Has completado los ejercicios!

Encuentra la suma de la siguiente progresión aritmética: $$9+13+17+…+41$$

Escribe la respuesta en la casilla.

$latex S=$

Véase también

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