Los ángulos verticales son formados en la intersección de dos líneas. El teorema de ángulos verticales nos dice que los ángulos verticales formados en una intersección son iguales. Además, un ángulo vertical y su ángulo adyacente son ángulos suplementarios, ya que suman 180 grados.
A continuación, miraremos un resumen del teorema de ángulos verticales. Luego, aplicaremos este teorema al resolver varios ejercicios de práctica.
GEOMETRÍA
Relevante para…
Aprender sobre el teorema de ángulos verticales con ejercicios.
GEOMETRÍA
Relevante para…
Aprender sobre el teorema de ángulos verticales con ejercicios.
Resumen del teorema de ángulos verticales
Los ángulos verticales son los ángulos formados por la intersección de dos líneas. Por ejemplo, en el siguiente diagrama, tenemos dos pares de ángulos verticales.
Los ángulos a y b y los ángulos c y d son pares de ángulos verticales.
El teorema de ángulos verticales nos dice que los pares de ángulos verticales tienen la misma medida. Entonces, en el diagrama mostrado, sabemos que los ángulos a y b y los ángulos c y d son iguales.
Demostración del teorema de ángulos verticales
En el siguiente diagrama, podemos ver las líneas AB y CD, las cuales se intersecan en el punto O. La intersección de líneas forma dos pares de ángulos verticales:
- ∠1 y ∠ 2 (ángulos azules)
- ∠3 y ∠4 (ángulos rosas)
En el diagrama, vemos que el rayo OA está ubicado en la línea CD. Entonces, podemos usar el axioma de pares lineales, el cual nos dice que si un rayo se ubica en una línea, los ángulos adyacentes forman un par lineal de ángulos.
Es decir, sabemos que los ángulos que forman una línea recta deben sumar 180°. Entonces, tenemos:
∠1 + ∠3 = 180° (par lineal)
De igual forma, también tenemos:
∠3 + ∠2 = 180° (par lineal)
Dado que ambas ecuaciones son iguales a 180°, podemos combinarlas para obtener:
∠1 + ∠3 = ∠3 + ∠2
∠1 = ∠2
Esto significa que los ángulos verticales ∠1 y ∠2 s
Ejercicios de teorema de ángulos verticales resueltos
EJERCICIO 1
Determina la medida de cada uno de los ángulos en el siguiente diagrama.
Solución
Los ángulos ∠62° y ∠b son un par de ángulos verticales. Entonces, tenemos:
∠b = 62°
El valor de ∠a puede ser encontrado considerando que es un ángulo suplementario al ángulo de 62°. Es decir, estos ángulos suman 180° y tenemos:
62°+∠a = 180°
∠a = 118°
Finalmente, podemos observar que los ángulos ∠a y ∠c son otro par de ángulos verticales, por lo que tenemos:
∠c = 118°
EJERCICIO 2
Determina las medidas de los ángulos a, b y c en el siguiente diagrama:
Solución
Vemos que los ángulos ∠50° y ∠b son un par de ángulos verticales, por lo que tenemos:
∠b = 50°
Ahora, podemos encontrar el valor de ∠a al considerar que es un ángulo suplementario al ángulo ∠50°, por lo que tenemos:
50°+∠a = 180°
∠a = 130°
Los ángulos ∠a y ∠c son otro par de ángulos verticales, por lo que tenemos:
∠c = 130°
EJERCICIO 3
¿Cuál es el valor de Y en el siguiente diagrama?:
Solución
Los ángulos ∠100° y ∠X son parte de una línea recta, por lo que son suplementarios. Entonces, tenemos:
100°+∠X = 180°
∠X = 80°
Dado que los ángulos (Y+30)° y X son verticales opuestos, podemos formar la siguiente ecuación y resolver:
Y+30 = 80
Y = 50°
EJERCICIO 4
¿Cuál es el valor de Z en el siguiente diagrama?
Solución
Este problema es similar al anterior. Entonces, sabemos que los ángulos ∠X y ∠110° forman una línea recta, por lo que son suplementarios. Entonces, tenemos:
110°+∠X = 180°
∠X = 70°
También sabemos que los ángulos (Z+10)° y X son verticales opuestos, por lo que tenemos:
Z+10 = 70
Z = 60°
EJERCICIO 5
Tenemos los ángulos (5x-11)° y (3x+23)°, los cuales son ángulos verticales opuestos. Determina el valor de x y de los ángulos dados.
Solución
Los ángulos verticales opuestos son iguales, por lo que tenemos:
5x-11 = 3x+23
5x-3x = 23+11
2x = 34
x = 17
El valor de los ángulos dados es:
3(17)+23 = 74°
EJERCICIO 6
Tenemos que los ángulos (4x-15)° y (3x+22)° son ángulos verticales opuestos. Determina el valor de x y de los ángulos dados.
Solución
Los ángulos verticales opuestos son iguales, por lo que tenemos:
4x-15 = 3x+22
4x-3x = 22+15
x = 37
El valor de los ángulos dados es:
4(37)-15 = 133°
Ejercicios de teorema de ángulos verticales para resolver
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre ángulos verticales y otros tipos de ángulos? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
