El teorema de ángulos inscritos es uno de los teoremas más importantes en la geometría. Este teorema nos dice que, cuando tenemos a un ángulo central y a un ángulo inscrito con los mismos puntos finales, la medida del ángulo central es el doble de la medida del ángulo inscrito. Este teorema tiene tres variaciones diferentes dependiendo en la ubicación de los ángulos.

A continuación, aprenderemos sobre este teorema más detalladamente y resolveremos algunos ejercicios de práctica.

GEOMETRÍA
diagrama de ángulo inscrito, ángulo central y ángulo interceptado

Relevante para

Aprender sobre el teorema de ángulos inscritos con ejercicios.

Ver explicación

GEOMETRÍA
diagrama de ángulo inscrito, ángulo central y ángulo interceptado

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¿Qué son los ángulos inscritos?

Los ángulos inscritos son ángulos que tienen vértices que se ubican dentro de un círculo. Los dos lados de un ángulo inscrito son cuerdas del círculo.

Adicionalmente, también tenemos a los ángulos centrales, los cuales se ubican en el centro del círculo y sus lados son formados por dos radios del círculo.

El ángulo formado por los extremos de dos cuerdas en la circunferencia de un círculo es denominado el arco interceptado.

Podemos mirar estos tres ángulos en el siguiente diagrama:

diagrama de ángulo inscrito, ángulo central y ángulo interceptado

Entonces, tenemos:

α = ángulo central

β = ángulo inscrito

θ = arco interceptado


¿Qué es el teorema de ángulos inscritos?

El teorema de ángulos inscritos, también conocido como el teorema del ángulo central, nos dice lo siguiente:

Cada vez que el ángulo central y el ángulo inscrito compartan puntos finales en el círculo, el valor del ángulo central es el doble que el ángulo inscrito.

Entonces, el teorema de ángulos inscritos está representado por la siguiente fórmula:

α = 2β

en donde, α es el ángulo central y β es el ángulo inscrito.


Casos y demostración del teorema de ángulos inscritos

Tenemos tres casos diferentes dependiendo en la ubicación de los ángulos:

  • Cuando el diámetro se encuentra entre los lados del ángulo inscrito.
  • Cuando el ángulo inscrito se encuentra entre una cuerda y el diámetro del círculo.
  • Cuando el diámetro se encuentra fuera de los lados del ángulo inscrito.

Podemos mirar los tres casos en el siguiente diagrama:

los tres casos de ángulos inscritos

Los tres casos son equivalentes ya que todos los ángulos inscritos que delimitan en el mismo arco son iguales como se muestra en la siguiente animación:

ángulos inscritos en un círculo

Las pruebas detalladas de cada uno de estos casos, pueden ser encontradas en este artículo.


Ejemplos resueltos del teorema de ángulos inscritos

EJEMPLO 1

Determina la medida del ángulo x en el siguiente diagrama:

ejemplo 1 de teorema de ángulos inscritos

Solución: Por el teorema de ángulos inscritos, sabemos que el ángulo central es el doble del ángulo inscrito. Entonces, tenemos:

ángulo central = 2×ángulo inscrito

ángulo central = 2×50°

ángulo central = 100°

EJEMPLO 2

El ángulo verde tiene su vértice en el centro del círculo. ¿Cuál es el valor de x?

ejemplo 2 de teorema de ángulos inscritos

Solución: El ángulo verde con medida de x+50 es el ángulo central para el ángulo inscrito x ya que ambos intersecan el mismo arco. Por lo tanto, la medida del ángulo verde es el doble de la medida del ángulo rojo. Entonces, tenemos:

2x=x+50°

x=50°

EJEMPLO 3

Encuentra el valor de x en el siguiente diagrama:

ejemplo 3 de teorema de ángulos inscritos

Solución: Tenemos que el ángulo central mide 48°. Por el teorema de ángulos inscritos, tenemos:

2x=48°

Dividimos ambos lados por 2 para obtener:

x=24°

EJEMPLO 4

¿Cuál es el valor de x+y?

ejemplo 4 de teorema de ángulos inscritos

Solución: Sabemos que el triángulo que contiene al ángulo rojo y al ángulo verde es un triángulo isósceles, ya que dos de los lados son los radios del círculo.

Además, sabemos que los ángulos internos de cualquier triángulo suman 180°. Entonces, podemos encontrar la medida del ángulo rojo de la siguiente manera:

110°+x+x=180°

2x=180°-110°

2x=70°

x=35°

Ahora, sabemos que el ángulo y es el ángulo central, por lo que debe ser el doble del ángulo inscrito y tenemos:

y=2x

y=2(35°)

y=70°

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Teorema de ángulos inscritos – Ejercicios para resolver

Usa el teorema de ángulos inscritos para resolver los siguientes ejercicios de práctica.

¿Cuál es la medida del ángulo x?

ejercicio 1 de teorema de ángulos inscritos

Escoge una respuesta






Determina la medida del ángulo y.

ejercicio 2 de teorema de ángulos inscritos

Escoge una respuesta






¿Cuál es el resultado de x+y?

ejercicio 3 de teorema de ángulos inscritos

Escoge una respuesta







Véase también

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