Series y sumatorias – Notación y Ejemplos

Las series son la suma de los términos de una sucesión. Dependiendo de la sucesión que tengamos, tendremos diferentes tipos de series. Por ejemplo, las series pueden ser convergentes o divergentes. Además, las series también pueden ser finitas o infinitas.

A continuación, aprenderemos cómo escribir a las series en notación de sumatorias. Luego, veremos algunos ejemplos de series escritas en notación sigma.

ÁLGEBRA
Series en notación sigma

Relevante para

Aprender sobre la relación entre series y notación sigma.

Ver ejemplos

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Series en notación sigma

Relevante para

Aprender sobre la relación entre series y notación sigma.

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Escribir a las series en notación sigma o sumatorias

Dado que las series son la suma de los términos de una sucesión, podemos usar notación sigma (Σ) para escribirlas.

Escribimos a la suma de los primeros $latex n $ términos de una sucesión como $latex S_{n}$, en donde

$$S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+…+u_{n}$$

Este es un ejemplo de una serie finita, ya que hay un número finito de términos. Podemos expresar esto más concisamente de la siguiente forma:

$$u_{1}+u_{2}+u_{3}+…+u_{n}=\sum_{r=1}^{n} u_{r}$$

Para escribir a las series en notación sigma, tenemos que identificar la regla con la que cada término de la sucesión es formado. Por ejemplo, la serie finita $latex 7+11+15+19$ puede ser escrita como

$$\sum_{r=1}^{4} (4r+3)$$

Podemos ver que cada término es formado al sumar 4 al término anterior, por lo que estamos sumando múltiplos del 4 a los términos consecutivos.

La serie infinita $latex 1+4+9+16+…$ puede ser escrita como

$$\sum_{r=1}^{\infty} r^2$$


Ejemplos resueltos de series y notación sigma

Los siguientes ejemplos tienen una solución detallada, en donde encontramos la relación entre las series dadas y notación sigma.

EJEMPLO 1

Escribe todos los términos de la serie $latex \sum_{r=1}^{4} (2r^2+3)$.

Para escribir todos los términos de la serie, tenemos que reemplazar el valor de r en la sumatoria dada. Es decir, empezamos desde $latex r=1$ hasta $latex r=4$:

  • Cuando $latex r=1$, tenemos $latex 2(1)^2+3=5$
  • Cuando $latex r=2$, tenemos $latex 2(2)^2+3=11$
  • Cuando $latex r=3$, tenemos $latex 2(3)^2+3=21$
  • Cuando $latex r=4$, tenemos $latex 2(4)^2+3=35$

Entonces, los términos de la serie son $latex 5+11+21+35$.

EJEMPLO 2

Encuentra la suma de los primeros cuatro términos de la sucesión definida por

$latex u_{r}=(-1)^r~3^{r+1}$ para $latex r\geq 1$

Queremos encontrar $latex S_{4}$, que es la suma de los primeros cuatro términos. Podemos escribir a esto como

$$S_{4}=\sum_{r=1}^{4}(-1)^r~3^{r+1}$$

$$=(-1)3^2+(-1)^23^3+(-1)^33^4+(-1)^43^5$$

$latex =-3^2+3^3-3^4+3^5$

$latex S_{4}=180$

La suma de los primeros cuatro términos es igual a 180.

EJEMPLO 3

Escribe a la siguiente serie en notación sigma:

$$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3$$

Esta serie tiene un patrón que es fácil de identificar. Claramente, podemos ver que cada término está siendo elevado al cubo.

Además, vemos que empezamos desde $latex r=1$ y terminamos en $latex r=7$. Entonces, usando notación sigma, la serie es escrita como:

$$\sum_{r=1}^{7}r^3$$

EJEMPLO 4

Escribe a la siguiente serie en notación sigma:

$$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+…+\frac{1}{20}$$

En este caso, podemos observar que el denominador de cada término de la serie incrementa por 1 unidad. Esto puede ser escrito como $latex \frac{1}{r}$.

Además, la serie empieza en $latex r=3$ y termina en $latex r=20$. Entonces, la serie puede ser escrita como:

$$\sum_{r=3}^{20}\frac{1}{r}$$

EJEMPLO 5

Escribe la siguiente serie en notación sigma:

$$-1+2+7+14+23$$

Para encontrar el patrón de esta serie, podemos empezar considerando una serie en la que sus términos son definidos por $latex u_{r}=r^2$:

$latex 1+4+9+16+25$

Observamos que podemos obtener la serie dada si es que restamos 2 a cada término de la serie definida por $latex u_{r}=r^2$. Es decir, tenemos $latex u_{r}=r^2-2$.

Entonces, la serie dada puede ser escrita como

$$\sum_{r=1}^{5}(r^2-2)$$

EJEMPLO 6

Escribe a la siguiente serie en notación sigma:

$$6-7+8-9+…$$

En este caso, tenemos una serie infinita. Si es que ignoramos el signo negativo, podemos ver que los términos incrementan por 1.

Entonces, el término r de la serie $latex 6+7+8+9+…$ está dado por $latex u_{r}=r+5$.

Ahora, podemos implementar el signo negativo alternante de la siguiente forma:

$latex u_{r}=(-1)^{r-1}(r+5)$

El término $latex (-1)^{r-1}$ nos da el signo alternante. Cuando $latex (r+1)$ es par, el signo es positivo y cuando $latex (r+1)$ es impar, obtenemos el signo negativo.

Escribiendo a la serie en notación sigma, tenemos:

$$\sum_{r=1}^{\infty}(-1)^{r+1}(r+5)$$

Alternativamente, esta serie también puede ser escrita como:

$$\sum_{r=5}^{\infty}(-1)^{r+1}(r+1)$$


Series y notación sigma – Ejercicios para resolver

Aplica todo lo aprendido sobre series y notación sigma para resolver los siguientes ejercicios de práctica.

Escribe en notación sigma a la serie $latex 7+10+13+16+19+22+25$.

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Escribe en notación sigma a la serie $latex 3^4+4^4+5^4+…+n^4$.

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Escribe en notación sigma a la serie $latex 1-2+3-4+5-6+7$.

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Escribe en notación sigma a la serie $latex \frac{2}{3}+\frac{5}{9}+\frac{8}{27}+\frac{11}{81}+\frac{14}{243}+\frac{17}{729}$.

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Véase también

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