Dependiendo del patrón de los números de la sucesión, podemos tener varios tipos de sucesiones matemáticas. Entre las más importantes tenemos sucesiones convergentes y divergentes, sucesiones oscilantes y sucesiones periódicas.
A continuación, aprenderemos sobre los tipos más importantes de sucesiones matemáticas. Veremos sus definiciones, características importantes y algunos ejemplos.
Sucesiones convergentes
Las sucesiones convergentes tienen la característica principal de acercarse a un valor específico a medida que el número de términos de la sucesión incrementa.
Por ejemplo, consideremos la siguiente sucesión:
$$3,~2+\frac{1}{5},~2+\frac{1}{25},…,~2+\frac{1}{5^{n-1}},…$$
Los términos de la sucesión se están acercando más y más al valor de 2. Esto puede ser observado en una gráfica de $latex u_{n}$ (valor del término n) vs $latex n$ (número del término).
Esta es una sucesión convergente, ya que a medida que el número de términos incrementa, los valores de los términos tienden a un límite definido. El valor 2 es el límite de la sucesión.
EJEMPLOS
- La sucesión $latex u_{n}=\frac{n}{n+1}$ es convergente. Podemos observar esto al escribir a los primeros seis términos de la sucesión:
$$\frac{1}{2},~\frac{2}{3},~\frac{3}{4},~\frac{4}{5},~\frac{5}{6}, ~\frac{6}{7}$$
A medida que los términos de la sucesión incrementan, se acercan más y más a 1.
- La sucesión $latex u_{n}=\frac{1}{n^2+1}$ es convergente. Escribiendo a los primeros seis términos de la sucesión, tenemos:
$$\frac{1}{2},~\frac{1}{5},~\frac{1}{10},~\frac{1}{17},~\frac{1}{26}, ~\frac{1}{37}$$
A medida que los términos de la sucesión incrementan, el valor de cada término se hace más pequeño y se acercan más y más a 0.
Sucesiones divergentes
Las sucesiones divergentes se caracterizan porque se alejan del valor inicial a medida que el número de términos de la sucesión incrementa.
Por ejemplo, consideremos la siguiente sucesión:
$$5,~9,~13,~17,…,~4n+1$$
En esta sucesión, a medida que el número de términos incrementa, los valores de los términos incrementan y tienden a infinito. Podemos observar esto en la gráfica de $latex u_{n}$ vs $latex n$.
Todas las sucesiones que no convergen a un límite y se alejan del valor inicial son consideradas sucesiones divergentes.
EJEMPLOS
- La sucesión $latex u_{n}=5-2n$ es divergente. Al escribir a los primeros seis términos de la sucesión, tenemos:
$$3,~1,~-1,~-3,~-5, ~-7$$
A medida que los términos de la sucesión incrementan, los valores se van hacia infinito negativo y se alejan del valor inicial.
- La sucesión $latex u_{n}=(-1)^nn$ es divergente. Escribiendo a los primeros seis términos de la sucesión, tenemos:
$$-1,~2,~-3,~4,~-5, ~6$$
Los términos de la sucesión oscilan entre negativos y positivos, pero cada vez se alejan del valor inicial y se hacen más grandes (positivos y negativos).
Sucesiones oscilantes
Las sucesiones oscilantes son sucesiones en las que los valores de los términos oscilan con respecto a un valor específico. Las sucesiones oscilantes pueden ser convergentes o divergentes.
Por ejemplo, consideremos la siguiente sucesión:
$$1+\frac{1}{2},~1-\frac{1}{4},~1+\frac{1}{8},…, 1+(-1)^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)^n,…$$
A medida que el número de términos incrementa, la sucesión oscila con respecto al valor de 1, pero al mismo tiempo se acerca más y más a 1. Podemos observar esto en la gráfica:
En este caso, la sucesión es oscilante y convergente, ya que está convergiendo al límite de 1.
De igual forma, una sucesión puede oscilar y al mismo tiempo divergir. Por ejemplo, consideremos la siguiente sucesión:
$$ -2.5,~5, ~-10,~20,~-40,…,~5(-2)^{n-1}, …$$
En este caso, podemos observar que la sucesión es oscilatoria y no está convergiendo a ningún valor particular. Es decir, la sucesión es divergente.
EJEMPLOS
- La sucesión $latex u_{n+1}=8-3u_{n}$, en donde $latex u_{n}$ es oscilante. Al escribir a los primeros seis términos de la sucesión, tenemos:
$$3,~-1,~11,~-25,~83, ~-241$$
Vemos que los términos oscilan entre positivos y negativos. Además, los valores se hacen más y más grandes, por lo que la sucesión también es divergente.
- La sucesión $latex u_{n}=\frac{(-1){n+1}}{n^2}$ es oscilante. Escribiendo a los primeros seis términos de la sucesión, tenemos:
$$1,~-\frac{1}{4},~\frac{1}{9},~-\frac{1}{16},~\frac{1}{25},~-\frac{1}{36}$$
En esta sucesión los términos también oscilan entre negativos y positivos. Además, la sucesión también es convergente.
Sucesiones periódicas
Las sucesiones periódicas se caracterizan porque los valores de sus términos se repiten después de un cierto intervalo.
Por ejemplo, consideremos la siguiente sucesión:
$$ 1, ~3,~1, ~3, …, 2+(-1)^n,…$$
A medida que el número de términos incrementa, la sucesión contiene simplemente los términos 1 y 3. Entonces, esta es una sucesión periódica. En este caso, el período es 2.
EJEMPLOS
- La sucesión $latex u_{n+1}=3-u_{n}$, en donde $latex u_{1}=2$ es periódica. Los primeros seis términos de la sucesión son:
$$2,~1,~2,~1,~2,~1$$
Podemos ver que los valores se repiten entre 2 y 1.
- La sucesión $latex u_{n+1}=\frac{1}{u_{n}}$, en donde $latex u_{1}=7$ es periódica. Escribiendo a los primeros seis términos de la sucesión, tenemos:
$$7,~\frac{1}{7},~7,~\frac{1}{7},~7, ~\frac{1}{7}$$
Podemos ver que los valores se repiten entre 7 y $latex \frac{1}{7}$.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
