Ejercicios de término general de una progresión geométrica

Cualquier término de una progresión geométrica puede ser encontrando usando el valor de la razón común, la posición del término y el valor del primer término de la progresión. Entonces, podemos formar una fórmula con estos valores para encontrar el término general.

A continuación, veremos algunos ejercicios resueltos del término general de una progresión geométrica. Además, veremos algunos ejercicios de práctica.

ÁLGEBRA
Fórmula del término general de una progresión geométrica

Relevante para

Resolver algunos ejercicios de progresiones geométricas.

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Fórmula del término general de una progresión geométrica

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10 Ejercicios resueltos de término general de progresiones geométricas

Puedes hacer una revisión de las fórmulas de progresiones geométricas en este artículo.

EJERCICIO 1

Encuentra el término 4 de una progresión geométrica en la que el primer término es 5 y la razón común es 2.

En este caso, conocemos los valores del primer término y la razón común directamente. Entonces, podemos observar la siguiente información:

  • Primer término: $latex a=5$
  • Razón común: $latex r=2$
  • Posición término: $latex n=4$

Ahora, aplicamos la fórmula del término general de una progresión geométrica con los valores dados:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$latex a_{4}=(5)(2)^{4-1}$

$latex a_{4}=(5)(2)^3$

$latex a_{4}=(5)(8)$

$latex a_{4}=40$

EJERCICIO 2

¿Cuál es el término 6 de una progresión geométrica en la que el primer término es 3 y su razón común es 3?

Como en el ejercicio anterior, aquí también conocemos los valores del primer término y la razón común. Entonces, tenemos:

  • $latex a=3$
  • $latex r=3$
  • $latex n=6$

Cuando usamos la fórmula del término general de una progresión geométrica, tenemos:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$latex a_{6}=(3)(3)^{6-1}$

$latex a_{6}=(3)(3)^5$

$latex a_{6}=(3)(243)$

$latex a_{6}=729$

EJERCICIO 3

Encuentra el valor del término 6 de una progresión geométrica en la que el primer término es 6 y la razón común es -2.

Podemos observar los siguientes valores:

  • $latex a=6$
  • $latex r=-2$
  • $latex n=6$

Vemos que tenemos una razón común negativa. Sin embargo, la fórmula del término general aplica en cualquier caso:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$latex a_{6}=(6)(-2)^{6-1}$

$latex a_{6}=(6)(-2)^5$

$latex a_{6}=(6)(-32)$

$latex a_{6}=-192$

EJERCICIO 4

Los primeros cuatro términos de una progresión geométrica son 3, 6, 12, 24. ¿Cuál es el valor del término 6 de la progresión?

En este ejercicio, conocemos el valor del primer término, pero no conocemos el valor de la razón común de la progresión.

Podemos encontrar el valor de la razón común al dividir a cualquier término por su término previo. Por ejemplo, $latex \frac{6}{3}=2$. Entonces, tenemos:

  • $latex a=3$
  • $latex r=2$
  • $latex n=6$

Ahora, usamos estos valores en la fórmula del término general:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$latex a_{6}=(3)(2)^{6-1}$

$latex a_{6}=(3)(2)^5$

$latex a_{6}=(3)(32)$

$latex a_{6}=96$

EJERCICIO 5

Encuentra el término 6 de una progresión geométrica que empieza con los términos -5, 15, -45, …

Tenemos que empezar encontrando el valor de la razón común. Entonces, tenemos $latex \frac{15}{-5}=-3$:

  • $latex a=-5$
  • $latex r=-3$
  • $latex n=6$

Ahora, podemos aplicar la fórmula del término general:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$latex a_{6}=(-5)(2)^{6-1}$

$latex a_{6}=(-5)(-3)^5$

$latex a_{6}=(-5)(-243)$

$latex a_{6}=1215$

EJERCICIO 6

Encuentra el término 10 de una progresión geométrica que empieza con los términos 2, 4, 8, …

La razón común de la progresión es $latex \frac{4}{2}=2$. Entonces, tenemos los siguientes valores:

  • $latex a=2$
  • $latex r=2$
  • $latex n=10$

Ahora, podemos aplicar la fórmula del término general con estos valores:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$latex a_{10}=(2)(2)^{10-1}$

$latex a_{10}=(2)(2)^9$

$latex a_{10}=(2)(512)$

$latex a_{10}=1024$

EJERCICIO 7

Si es que una progresión geométrica empieza con los términos 1, -3, 9, …, ¿cuál es el valor del término 7?

El valor de la razón común de la progresión es $latex \frac{-3}{1}=-3$. Entonces, tenemos lo siguiente:

  • $latex a=1$
  • $latex r=-3$
  • $latex n=7$

Ahora, aplicamos la fórmula del término general con los valores dados:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$latex a_{7}=(1)(-3)^{7-1}$

$latex a_{7}=(1)(-3)^6$

$latex a_{7}=(1)(729)$

$latex a_{7}=729$

EJERCICIO 8

¿Cuál es el término 9 de una progresión geométrica que empieza con los términos 2, 3, $latex 4\frac{1}{2}$?

Encontramos la razón común al dividir a un término por su término previo: $latex \frac{3}{2}$. Entonces, tenemos:

  • $latex a=2$
  • $latex r=\frac{3}{2}$
  • $latex n=9$

Ahora, usamos la fórmula del término general:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$$a_{9}=(2)\left(\frac{3}{2}\right)^{9-1}$$

$$a_{9}=(2)\left(\frac{3}{2}\right)^8$$

$$a_{9}=(2)\left(\frac{6561}{256}\right)$$

$$a_{9}=\frac{6561}{128}$$

$$a_{9}=51\frac{33}{128}$$

EJERCICIO 9

Los primeros tres términos de una progresión geométrica son 81, -54, 36, … ¿Cuál es el valor del término 8?

La razón común de la progresión es $latex \frac{-54}{81}=-\frac{2}{3}$. Entonces, tenemos los siguientes valores:

  • $latex a=81$
  • $latex r=-\frac{2}{3}$
  • $latex n=8$

Al aplicar la fórmula del término general con los valores dados, tenemos:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$$a_{8}=(81)\left(-\frac{2}{3}\right)^{8-1}$$

$$a_{8}=(81)\left(-\frac{2}{3}\right)^7$$

$$a_{8}=(81)\left(-\frac{128}{2187}\right)$$

$$a_{8}=-\frac{128}{27}$$

$$a_{8}=-4\frac{20}{27}$$

EJERCICIO 10

Encuentra el término 5 de una progresión geométrica que empieza con los términos $latex 2, ~\frac{2}{5}, ~\frac{2}{25}$, …

La razón común de la progresión es $latex \frac{2}{5}\div 2= \frac{1}{5}$. Entonces, tenemos lo siguiente:

  • $latex a=2$
  • $latex r=\frac{1}{5}$
  • $latex n=5$

Ahora, usamos estos valores en la fórmula del término general de una progresión geométrica:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$$a_{5}=(2)\left(\frac{1}{5}\right)^{5-1}$$

$$a_{5}=(2)\left(\frac{1}{5}\right)^4$$

$$a_{5}=(2)\left(\frac{1}{625}\right)$$

$$a_{5}=\frac{2}{625}$$


Ejercicios de término general de progresiones geométricas para resolver

Práctica de término general de progresiones geométricas
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Encuentra el valor del término 100 de la progresión geométrica que empieza con los términos 7, -7, 7, …

Escribe la respuesta en la casilla.

$latex a_{100}=$

Véase también

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