Término general de una progresión geométrica con ejercicios

En este caso, conocemos los valores del primer término y la razón común directamente. Entonces, podemos observar la siguiente información:

• Primer término: $latex a=5$
• Razón común: $latex r=2$
• Posición término: $latex n=4$

Ahora, aplicamos la fórmula del término general de una progresión geométrica con los valores dados:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$latex a_{4}=(5)(2)^{4-1}$

$latex a_{4}=(5)(2)^3$

$latex a_{4}=(5)(8)$

$latex a_{4}=40$

Como en el ejercicio anterior, aquí también conocemos los valores del primer término y la razón común. Entonces, tenemos:

• $latex a=3$
• $latex r=3$
• $latex n=6$

Cuando usamos la fórmula del término general de una progresión geométrica, tenemos:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$latex a_{6}=(3)(3)^{6-1}$

$latex a_{6}=(3)(3)^5$

$latex a_{6}=(3)(243)$

$latex a_{6}=729$

Podemos observar los siguientes valores:

• $latex a=6$
• $latex r=-2$
• $latex n=6$

Vemos que tenemos una razón común negativa. Sin embargo, la fórmula del término general aplica en cualquier caso:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$latex a_{6}=(6)(-2)^{6-1}$

$latex a_{6}=(6)(-2)^5$

$latex a_{6}=(6)(-32)$

$latex a_{6}=-192$

En este ejercicio, conocemos el valor del primer término, pero no conocemos el valor de la razón común de la progresión.

Podemos encontrar el valor de la razón común al dividir a cualquier término por su término previo. Por ejemplo, $latex \frac{6}{3}=2$. Entonces, tenemos:

• $latex a=3$
• $latex r=2$
• $latex n=6$

Ahora, usamos estos valores en la fórmula del término general:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$latex a_{6}=(3)(2)^{6-1}$

$latex a_{6}=(3)(2)^5$

$latex a_{6}=(3)(32)$

$latex a_{6}=96$

Tenemos que empezar encontrando el valor de la razón común. Entonces, tenemos $latex \frac{15}{-5}=-3$:

• $latex a=-5$
• $latex r=-3$
• $latex n=6$

Ahora, podemos aplicar la fórmula del término general:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$latex a_{6}=(-5)(2)^{6-1}$

$latex a_{6}=(-5)(-3)^5$

$latex a_{6}=(-5)(-243)$

$latex a_{6}=1215$

La razón común de la progresión es $latex \frac{4}{2}=2$. Entonces, tenemos los siguientes valores:

• $latex a=2$
• $latex r=2$
• $latex n=10$

Ahora, podemos aplicar la fórmula del término general con estos valores:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$latex a_{10}=(2)(2)^{10-1}$

$latex a_{10}=(2)(2)^9$

$latex a_{10}=(2)(512)$

$latex a_{10}=1024$

El valor de la razón común de la progresión es $latex \frac{-3}{1}=-3$. Entonces, tenemos lo siguiente:

• $latex a=1$
• $latex r=-3$
• $latex n=7$

Ahora, aplicamos la fórmula del término general con los valores dados:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$latex a_{7}=(1)(-3)^{7-1}$

$latex a_{7}=(1)(-3)^6$

$latex a_{7}=(1)(729)$

$latex a_{7}=729$

Encontramos la razón común al dividir a un término por su término previo: $latex \frac{3}{2}$. Entonces, tenemos:

• $latex a=2$
• $latex r=\frac{3}{2}$
• $latex n=9$

Ahora, usamos la fórmula del término general:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$$a_{9}=(2)\left(\frac{3}{2}\right)^{9-1}$$

$$a_{9}=(2)\left(\frac{3}{2}\right)^8$$

$$a_{9}=(2)\left(\frac{6561}{256}\right)$$

$$a_{9}=\frac{6561}{128}$$

$$a_{9}=51\frac{33}{128}$$

La razón común de la progresión es $latex \frac{-54}{81}=-\frac{2}{3}$. Entonces, tenemos los siguientes valores:

• $latex a=81$
• $latex r=-\frac{2}{3}$
• $latex n=8$

Al aplicar la fórmula del término general con los valores dados, tenemos:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$$a_{8}=(81)\left(-\frac{2}{3}\right)^{8-1}$$

$$a_{8}=(81)\left(-\frac{2}{3}\right)^7$$

$$a_{8}=(81)\left(-\frac{128}{2187}\right)$$

$$a_{8}=-\frac{128}{27}$$

$$a_{8}=-4\frac{20}{27}$$

La razón común de la progresión es $latex \frac{2}{5}\div 2= \frac{1}{5}$. Entonces, tenemos lo siguiente:

• $latex a=2$
• $latex r=\frac{1}{5}$
• $latex n=5$

Ahora, usamos estos valores en la fórmula del término general de una progresión geométrica:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$$a_{5}=(2)\left(\frac{1}{5}\right)^{5-1}$$

$$a_{5}=(2)\left(\frac{1}{5}\right)^4$$

$$a_{5}=(2)\left(\frac{1}{625}\right)$$

$$a_{5}=\frac{2}{625}$$