Podemos encontrar el primer término de una progresión geométrica usando la fórmula del término general. Entonces, sustituimos los valores de la razón común y de cualquier término de la progresión, junto con su posición, y resolvemos para a.
A continuación, aprenderemos cómo encontrar el primer término de progresiones geométricas. Conoceremos su fórmula y la aplicaremos para resolver algunos ejercicios de práctica.
ÁLGEBRA
Relevante para…
Aprender a encontrar el primer término de una progresión geométrica.
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Aprender a encontrar el primer término de una progresión geométrica.
Pasos para encontrar el primer término de una progresión geométrica
Una progresión geométrica tiene la característica principal de que cada término es formado al multiplicar al término previo por un valor específico. Este valor es llamado la razón común.
Por ejemplo, la progresión 2, 6, 18, 54, …, es formada al multiplicar por 3 a cada término para obtener el siguiente. Es decir, la razón común es 3.
Recordemos que la fórmula para encontrar cualquier término en una progresión geométrica es
$$a_{n}=ar^{n-1}$$
en donde,
- $latex a$ es el primer término de la progresión.
- $latex r$ es la razón común.
- $latex n $ es la posición del término.
Entonces, podemos reescribir a esta fórmula de la siguiente manera para encontrar el primer término:
$$a=\frac{a_{n}}{r^{n-1}}$$
Entonces, podemos encontrar el primer término de una progresión geométrica:
1. Encontrar la razón común.
Podemos encontrar la razón común al dividir a cualquier término por su término previo.
2. Identificar al valor de cualquier término en la progresión y su posición.
La posición del término es el valor de $latex n$.
3. Usar la fórmula del primer término.
Usar los valores de los pasos 1 y 2 en la fórmula $latex a=\frac{a_{n}}{r^{n-1}}$.
Ejemplos resueltos de primer término de progresiones geométricas
EJEMPLO 1
Encuentra el valor del primer término de una progresión geométrica en la que el término 4 es igual a 24 y la razón común es 2.
Solución
El enunciado nos da los valores del término 4 y la razón común, por lo que podemos identificar la siguiente información:
- $latex a_{n}=a_{4}=24$
- $latex n=4$
- $latex r=2$
Ahora, usamos estos valores en la fórmula del primer término de una progresión geométrica:
$$a=\frac{a_{n}}{r^{n-1}}$$
$$a=\frac{24}{2^{4-1}}$$
$$a=\frac{24}{2^3}$$
$$a=\frac{24}{8}$$
$latex a=3$
EJEMPLO 2
¿Cuál es el primer término de una progresión geométrica en la que el término 5 es igual a 81 y la razón común es igual a 3?
Solución
Aquí, también conocemos los valores de un término y de la razón común. Entonces, tenemos lo siguiente:
- $latex a_{n}=a_{5}=81$
- $latex n=5$
- $latex r=3$
Usando la fórmula del primer término de una progresión geométrica, tenemos:
$$a=\frac{a_{n}}{r^{n-1}}$$
$$a=\frac{81}{3^{5-1}}$$
$$a=\frac{81}{3^4}$$
$$a=\frac{81}{81}$$
$latex a=1$
EJEMPLO 3
Encuentra el primer término de una progresión geométrica en la que el término 6 es igual a 128 y la razón común es -2.
Solución
Conocemos los valores del término 6 y de la razón común. Entonces, tenemos lo siguiente:
- $latex a_{n}=a_{6}=128$
- $latex n=6$
- $latex r=-2$
Cuando usamos estos valores en la fórmula del primer término, tenemos:
$$a=\frac{a_{n}}{r^{n-1}}$$
$$a=\frac{128}{-2^{6-1}}$$
$$a=\frac{128}{-2^5}$$
$$a=\frac{128}{-32}$$
$latex a=-4$
EJEMPLO 4
En una progresión geométrica tenemos $latex a_{4}=32$ y $latex a_{5}=64$. ¿Cuál es el valor del primer término?
Solución
En este caso, no conocemos la razón común directamente, pero tenemos la siguiente información:
- $latex a_{4}=32$
- $latex a_{5}=64$
Entonces, podemos encontrar el valor de la razón común al dividir al valor del término 5 por el valor del término 4:
$$r=\frac{a_{5}}{a_{4}}$$
$$r=\frac{64}{32}=2$$
Ahora, usamos la razón común para encontrar el primer término (podemos usar cualquier término $latex a_{4}$ o $latex a_{5}$:
$$a=\frac{a_{n}}{r^{n-1}}$$
$$a=\frac{32}{2^{4-1}}$$
$$a=\frac{32}{2^3}$$
$$a=\frac{32}{8}$$
$latex a=4$
EJEMPLO 5
Encuentra el valor del primer término de una progresión geométrica en la que tenemos $latex a_{6}=30$ y $latex a_{7}=15$.
Solución
Similar al ejercicio anterior, empezamos con la siguiente información:
- $latex a_{6}=30$
- $latex a_{7}=15$
Entonces, usamos estos valores para encontrar el valor de la razón común:
$$r=\frac{a_{7}}{a_{6}}$$
$$r=\frac{15}{30}=\frac{1}{2}$$
Ahora, usamos estos valores para encontrar el primer término:
$$a=\frac{a_{n}}{r^{n-1}}$$
$$a=\frac{30}{(\frac{1}{2})^{6-1}}$$
$$a=\frac{30}{(\frac{1}{2})^5}$$
$$a=\frac{30}{\frac{1}{32}}$$
$latex a=960$
EJEMPLO 6
Si es que tenemos $latex a_{4}=48$ y $latex a_{6}=12$, encuentra los posibles valores del primer término de la progresión geométrica.
Solución
Tenemos la siguiente información:
- $latex a_{4}=48$
- $latex a_{6}=12$
La razón común es igual a $latex r=\frac{a_{6}}{a_{5}}$ y también $latex r=\frac{a_{5}}{a_{4}}$.
Entonces, podemos resolver una de las ecuaciones para $latex a_{5}$ y sustituir en la segunda ecuación. En la segunda ecuación, $latex a_{5}=ra_{4}$. Entonces:
$$r=\frac{a_{6}}{a_{5}}$$
$$r=\frac{a_{6}}{ra_{4}}$$
$$r=\frac{12}{48r}$$
$latex 48r^2=12$
$$r^2=\frac{1}{4}$$
$latex r=\pm \frac{1}{2}$
Ahora, usamos la fórmula del primer término:
$$a=\frac{a_{n}}{r^{n-1}}$$
$$a=\frac{48}{(\frac{1}{2})^{4-1}}$$
$$a=\frac{48}{(\pm \frac{1}{2})^3}$$
$$a=\frac{48}{\pm \frac{1}{8}}$$
$latex a=\pm 384$
Primer término de progresiones geométricas – Ejercicios para resolver
Encuentra el primer término de una progresión geométrica en la que el segundo término es igual a -12 y el quinto término es igual a 768.
Escribe la respuesta en la casilla.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre progresiones geométricas? Puedes mirar estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
