La regla del cociente es uno de los principales principios utilizados en el Cálculo Diferencial (o Cálculo I). Se aplica comúnmente para derivar una función que involucra la operación aritmética de división. La regla del cociente puede ser demostrada usando la columna vertebral del Cálculo, que son los límites. También se puede usar la regla de la cadena y la diferenciación implícita para demostrar los principios de la regla del cociente.
En este artículo, exploraremos todo sobre la regla del cociente. Cubriremos su definición, fórmula, demostraciones y aplicaciones. También veremos algunos ejemplos y problemas de práctica para aplicar los principios de la regla del cociente.
La regla del cociente y su fórmula
¿Qué es la regla del cociente?
La regla del cociente es una regla que establece que se puede derivar un cociente de funciones tomando el denominador g(x) multiplicado por la derivada del numerador f(x) restado al numerador f(x) multiplicado por la derivada del denominador g(x), todo dividido por el cuadrado del denominador g(x).
La primera función f(x) es el dividendo o numerador del problema que se va a derivar, mientras que la segunda función g(x) es el divisor o el denominador.
La fórmula de la regla del cociente
La fórmula de la regla del cociente es:
$$\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{g(x) \hspace{1.15 pt} \cdot \hspace{1.15 pt} f'(x) \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} f(x) \hspace{1.15 pt} \cdot \hspace{1.15 pt} g'(x)}{( \hspace{1.15 pt} g(x) \hspace{1.15 pt} )^2}$$
en donde
- $latex u =$ primera función $latex f(x)$ o el numerador/dividendo
- $latex v =$ segunda función $latex g(x)$ o el denominador/divisor
O en otras formas, puede ser:
$$\frac{d}{dx}(F(x)) = \frac{g(x) \hspace{1.15 pt} \cdot \hspace{1.15 pt} f'(x) \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} f(x) \hspace{1.15 pt} \cdot \hspace{1.15 pt} g'(x)}{( \hspace{1.15 pt} g(x) \hspace{1.15 pt} )^2}$$
o
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{vu’ \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} uv’}{v^2}$$
que es la forma más comúnmente utilizada de la fórmula de la regla del cociente donde
$latex u = f(x)$
$latex v = g(x)$
y $latex \frac{d}{dx}(\frac{u}{v})$ también pueden ser $latex y’$, $latex F'(x)$, $latex \Upsilon’$ u otras letras usadas para denotar funciones con el símbolo del apóstrofo.
Obtén más información sobre las demostraciones de la regla del cociente visitando nuestro artículo sobre Demostraciones de la regla del cociente.
Regla del cociente con tres o más términos
Ya que mencionamos que la regla del cociente se puede usar para derivar un cociente de funciones, ¿qué tal si hay tres o más funciones para dividir? En este caso, en lugar de ajustar la fórmula de la regla del cociente, será más eficiente simplemente aplicar las reglas algebraicas de las fracciones y luego continuar usando las reglas del producto y del cociente.
Por ejemplo, tenemos
$$F(x) = \frac{\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)}{\left( \frac{h(x)}{j(x)} \right)}$$
o para ser más simple,
$$F(x) = \frac{\left( \frac{s}{u} \right)}{\left( \frac{v}{w} \right)}$$
Para derivar F(x), primero aplicaremos las reglas de las fracciones
$$\frac{\left( \frac{A}{B} \right)}{\left( \frac{C}{D} \right)} = \frac{AD}{BC}$$
Por lo tanto, tendremos
$$F(x) = \frac{sw}{uv}$$
Y a partir de esta ecuación, podemos derivar F(x) usando la regla del cociente y luego aplicar la regla del producto para derivar el numerador y el denominador individualmente. Al hacerlo, obtenemos
$$F(x) = \frac{\left( \frac{s}{u} \right)}{\left( \frac{v}{w} \right)} = \frac{sw}{uv}$$
$$\frac{d}{dx} \left[\frac{\left( \frac{s}{u} \right)}{\left( \frac{v}{w} \right)} \right] = \frac{d}{dx}\left( \frac{sw}{uv} \right)$$
$$\frac{d}{dx} \left[\frac{\left( \frac{s}{u} \right)}{\left( \frac{v}{w} \right)} \right] = \frac{uv \cdot \frac{d}{dx}(sw) – sw \cdot \frac{d}{dx}(uv)}{(uv)^2}$$
Por lo tanto, la fórmula de la regla del cociente para funciones con divisiones múltiples $latex F(x) = \frac{\left( \frac{s}{u} \right)}{\left( \frac{v}{w} \right )}$ es:
$$F'(x) = \frac{uv \cdot (sw’+ws’) \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} sw \cdot (uv’+vu’)}{(uv)^2}$$
Esta es una fórmula más eficiente y práctica para derivar funciones complejas de división múltiple.
Cómo usar la regla del cociente, un tutorial paso a paso
Supongamos que tenemos que derivar
$$f(x) = \frac{\sin{(x)}}{x}$$
Como puedes observar, esta función dada es una fracción, pero no se puede dividir algebraicamente ni simplificar. Pero para derivar este problema, podemos usar la regla del cociente como se muestra en los siguientes pasos:
1. Identificar al numerador/dividendo y al denominador/divisor.
Denotaremos el numerador/dividendo como $latex u$ y denotaremos el denominador/divisor como $latex v$:
$latex u = \sin{(x)}$
$latex v = x$
2. Derivar a $latex u$ y $latex v$ individualmente.
En este caso, tenemos $latex u’ = \cos{(x)}$ y $latex v’ = 1$.
3. Aplicar la fórmula de la regla del cociente.
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’ \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} uv’}{v^2}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{(x) \cdot (\cos{(x)}) \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} (\sin{(x)}) \cdot (1)}{(x)^2}$$
4. Simplifica la derivada.
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{x \cos{(x)} \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} \sin{(x)}}{x^2}$$
$$f'(x) = \frac{x \cos{(x)} \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} \sin{(x)}}{x^2}$$
Para propósitos de formalidad, se recomienda usar $latex f'(x), y’,$ o $latex \frac{d}{dx}(f(x))$ como símbolo de derivadas en el lado izquierdo de la respuesta final derivada en lugar de $latex (\frac{u}{v})’$ o $latex \frac{d}{dx}(\frac{u}{v})$.
Regla del cociente – Ejemplos con respuestas
EJEMPLO 1
Deriva la siguiente función:
$$f(x) = \frac{\sqrt[3]{x^2}}{x^3}$$
Solución
Paso 1: Identifica cuál es el numerador/dividendo y cuál es el denominador/divisor. El numerador/dividendo se denotará como $latex u$ mientras que el denominador/divisor será $latex v$.
Entonces, tenemos
$latex u = \sqrt[3]{x^2}$
$latex v = x^3$
Paso 2: Deriva $latex u$ y $latex v$ individualmente.
Entonces, tenemos
$latex u = \sqrt[3]{x^2}$
$latex u = x^{\frac{2}{3}}$
$latex u’ = \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}$
$latex v = x^3$
$latex v’ = 3x^2$
Paso 3: Sustituye $latex u$, $latex u’$, $latex v$ y $latex v’$ en la fórmula de la regla del cociente.
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’ \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} uv’}{v^2}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{(x^3) \cdot (\frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}) \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} (x^{\frac{2}{3}}) \cdot (3x^2)}{(x^3)^2}$$
Paso 4: Simplifica algebraicamente.
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{(x^3) \cdot (\frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}) \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} (x^{\frac{2}{3}}) \cdot (3x^2)}{(x^3)^2}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{8}{3}} \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} 3x^{\frac{8}{3}})}{x^6}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{-\frac{7}{3} x^{\frac{8}{3}}}{x^6}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{-\frac{7}{3} x^{\frac{8}{3}}}{x^6}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = -\frac{7}{3x^{\frac{10}{3}}}$$
La respuesta final es:
$$f'(x) = -\frac{7}{3 \sqrt[3]{x^{10}}}$$
EJEMPLO 2
Encuentra la derivada de la función dada:
$$f(x) = \frac{\cos{(x^3)}}{\sin{(x^3)}}$$
Solución
Paso 1: El numerador/dividendo se denotará como $latex u$ mientras que el denominador/divisor será $latex v$.
Entonces, tenemos
$latex u = \cos{(x^3)}$
$latex v = \sin{(x^3)}$
Paso 2: Deriva $latex u$ y $latex v$ individualmente.
Entonces, tenemos
$latex u = \cos{(x^3)}$
$latex u’ = -3x^2 \sin{(x^3)}$
$latex v = \sin{(x^3)}$
$latex v’ = 3x^2 \cos{(x^3)}$
Paso 3: Sustituye $latex u$, $latex u’$, $latex v$ y $latex v’$ en la fórmula de la regla del cociente.
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’ \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} uv’}{v^2}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{(\sin{(x^3)}) \cdot (-3x^2 \sin{(x^3)}) \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} (\cos{(x^3)}) \cdot (3x^2 \cos{(x^3)})}{(\sin{(x^3)})^2}$$
Paso 4: Simplifica algebraicamente y aplica identidades trigonométricas si corresponde.
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) =\frac{(\sin{(x^3)}) \cdot (-3x^2 \sin{(x^3)}) \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} (\cos{(x^3)}) \cdot (3x^2 \cos{(x^3)})}{(\sin{(x^3)})^2}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{-3x^2 \sin^{2}{(x^3)} \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} 3x^2 \cos^{2}{(x^3)}}{\sin^{2}{(x^3)}}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{-3x^2 \sin^{2}{(x^3)} \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} [3x^2 (1-\sin^{2}{(x^3)})]}{\sin^{2}{(x^3)}}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{-3x^2 \sin^{2}{(x^3)} \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} (3x^2 – 3x^2\sin^{2}{(x^3)})}{\sin^{2}{(x^3)}}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{-3x^2 \sin^{2}{(x^3)} – 3x^2 + 3x^2\sin^{2}{(x^3)}}{\sin^{2}{(x^3)}}$$
$$ \frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{-3x^2}{\sin^{2}{(x^3)}}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = -3x^2 \cdot \csc^{2}{(x^3)}$$
La respuesta final es:
$latex f'(x) = -3x^2 \csc^{2}{(x^3)}$
EJEMPLO 3
Deriva la siguiente función:
$$f(x) = \frac{\ln{(x)}}{5^x}$$
Solución
Paso 1: Podemos escribir de la siguiente forma:
$latex u = \ln{(x)}$
$latex v = 5^x$
Paso 2: Encontramos las derivadas de $latex u$ y $latex v$:
$latex u = \ln{(x)}$
$latex u’ = \frac{1}{x}$
$latex v = 5^x$
$latex v’ = 5^x \ln{(5)}$
Paso 3: Usamos la regla del cociente con las expresiones para $latex u$, $latex u’$, $latex v$ y $latex v’$:
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’ \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} uv’}{v^2}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{(5^x) \cdot (\frac{1}{x}) \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} (\ln{(x)}) \cdot (5^x \ln{(5)}}{(5^x)^2}$$
Paso 4: Simplificando, tenemos:
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{\frac{5^x}{x} \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} 5^x \ln{(x)} \ln{(5)}}{25^x}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{\frac{5^x}{x} \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} \frac{5^x x \ln{(x)} \ln{(5)}}{x}}{25^x}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{5^x \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} 5^x x \ln{(x)} \ln{(5)}}{25^x x}$$
La respuesta final es:
$$f'(x) = -\frac{5^x (1 – x \ln{(x)} \ln{(5)})}{25^x x}$$
EJEMPLO 4
¿Cual es la derivada de la función dada?
$$ f(x) = \frac{\tan^{-1}{(x)}}{\cot^{-1}{(x)}}$$
Solución
Paso 1: El numerador/dividendo se denotará como $latex u$ mientras que el denominador/divisor será $latex v$:
$latex u = \tan^{-1}{(x)}$
$latex v = \cot^{-1}{(x)}$
Paso 2: Derivando $latex u$ y $latex v$, tenemos:
$latex u = \tan^{-1}{(x)}$
$latex u’ = \frac{1}{x^2+1}$
$latex v = \cot^{-1}{(x)}$
$latex v’ = -\frac{1}{x^2+1}$
Paso 3: Sustituye $latex u$, $latex u’$, $latex v$ y $latex v’$ en la fórmula de la regla del cociente.
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’ \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} uv’}{v^2}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) =\frac{(\cot^{-1}{(x)}) \cdot \left(\frac{1}{x^2+1} \right) \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} (\tan^{-1}{(x)}) \cdot \left(-\frac{1}{x^2+1} \right)}{(\cot^{-1}{(x)})^2}$$
Paso 4: Simplifica algebraicamente y aplica identidades trigonométricas inversas si corresponde.
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{\frac{\cot^{-1}{(x)}}{x^2+1} \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} \left(-\frac{\tan^{-1}{(x)}}{x^2+1} \right)}{(\cot^{-1}{(x)})^2}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{\frac{\cot^{-1}{(x)}}{x^2+1} + \frac{\tan^{-1}{(x)}}{x^2+1}}{(\cot^{-1}{(x)})^2}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{\frac{\cot^{-1}{(x)} + \tan^{-1}{(x)}}{x^2+1}}{(\cot^{-1}{(x)})^2}$$
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{\cot^{-1}{(x)} + \tan^{-1}{(x)}}{(x^2+1) \cdot (\cot^{-1}{(x)})^2}$$
La respuesta final es:
$$f'(x) = \frac{\cot^{-1}{(x)} + \tan^{-1}{(x)}}{x^2 \left(\cot^{-1}{(x)})^2 + (\cot^{-1}{(x)})^2 \right)}$$
EJEMPLO 5
Deriva la siguiente función:
$$ f(x) = \frac{\frac{x}{\ln{(x)}}}{\frac{x}{e^x}}$$
Solución
En este ejemplo, tanto nuestro dividendo como nuestro divisor son fracciones. Por lo tanto, primero debemos aplicar las reglas de las fracciones antes de derivarlas usando la fórmula del cociente:
$$f(x) = \frac{\frac{x}{\ln{(x)}}}{\frac{x}{e^x}} = \frac{xe^x}{x \ln{(x)}}$$
Luego, con esto viene nuestra fórmula del cociente para funciones con múltiples divisiones:
$$F'(x) = \frac{uv \cdot (sw’+ws’) \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} sw \cdot (uv’+vu’)}{(uv)^2}$$
Paso 1: Como tenemos múltiples divisiones en nuestra función dada, representaremos al numerador del dividendo como $latex s$, al denominador del dividendo como $latex u$, al numerador del divisor como $latex v$ y al denominador de el divisor como $latex w$.
Entonces, tenemos
$$f(x) = \frac{\frac{s}{u}}{\frac{v}{w}} = \frac{\frac{x}{\ln{(x)}}}{\frac{x}{e^x}}$$
Aplicando las reglas de las fracciones:
$$f(x) = \frac{sw}{uv} = \frac{xe^x}{x \ln{(x)}}$$
Entonces, tenemos
$latex s = x$
$latex u = \ln{(x)}$
$latex v = x$
$latex w = e^x$
Paso 2: Deriva $latex s$, $latex u$, $latex v$ y $latex w$ individualmente.
Así, tenemos
$latex s = x$
$latex s’ = 1$
$latex u = \ln{(x)}$
$latex u’ = \frac{1}{x}$
$latex v = x$
$latex v’ = 1$
$latex w = e^x$
$latex w’ = e^x$
Paso 3: Sustituye $latex s$, $latex u$, $latex v$ y $latex w$ en la fórmula de la regla del cociente para funciones con divisiones múltiples:
$$ F'(x) = \frac{uv \cdot (sw’+ws’) \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} sw \cdot (uv’+vu’)}{(uv)^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{\left[(x \ln{(x)}) \cdot ((x) \cdot (e^x) + (e^x) \cdot (1)) \right] \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} \left[(xe^x) \cdot \left((\ln{(x)}) \cdot (1) + (x) \cdot \left(\frac{1}{x} \right) \right) \right]}{(x \ln{(x)})^2}$$
Paso 4: Simplifica algebraicamente:
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{[(x \ln{(x)}) \cdot (xe^x + e^x)] \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} [(xe^x) \cdot (\ln{(x)} + 1)]}{(x \ln{(x)})^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(x^2 e^x \ln{(x)} + xe^x \ln{(x)}) \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} (xe^x \ln{(x)} + xe^x)}{(x \ln{(x)})^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{x^2 e^x \ln{(x)}}{(x \ln{(x)})^2} + \frac{xe^x \ln{(x)}}{(x \ln{(x)})^2} – \left( \frac{xe^x \ln{(x)}}{(x \ln{(x)})^2} + \frac{xe^x}{(x \ln{(x)})^2} \right)$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{e^x}{\ln{(x)}} + \frac{e^x}{x \ln{(x)}} – \frac{e^x}{x \ln{(x)}} – \frac{e^x}{x(\ln{(x)})^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{e^x}{\ln{(x)}} – \frac{e^x}{x(\ln{(x)})^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{xe^x \ln{(x)}}{x(\ln{(x)})^2} – \frac{e^x}{x(\ln{(x)})^2}$$
La respuesta final es:
$$f'(x) = \frac{xe^x \ln{(x)} – e^x}{x(\ln{(x)})^2}$$
Regla del cociente – Problemas de práctica
Encuentra la derivada de la siguiente función y determina el valor de $latex f^{\prime}(1)$. $$f(x) = \left( \frac{x-3}{\sqrt{x}} \right)^2$$
Escribe la respuesta en la casilla.
Veáse también
¿Interesado en aprender más sobre la regla del cociente? Echa un vistazo a estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
