La regla del cociente es uno de los principales principios utilizados en el Cálculo Diferencial (o Cálculo I). Se aplica comúnmente para derivar una función que involucra la operación aritmética de división. La regla del cociente puede ser demostrada usando la columna vertebral del Cálculo, que son los límites. También se puede usar la regla de la cadena y la diferenciación implícita para demostrar los principios de la regla del cociente.

En este artículo, exploraremos todo sobre la regla del cociente. Cubriremos su definición, fórmula, demostraciones y aplicaciones. También veremos algunos ejemplos y problemas de práctica para aplicar los principios de la regla del cociente.

CÁLCULO
Fórmula para la regla del cociente de derivadas

Relevante para

Aprender sobre la regla del cociente con ejemplos.

Ver fórmula

CÁLCULO
Fórmula para la regla del cociente de derivadas

Relevante para

Aprender sobre la regla del cociente con ejemplos.

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La regla del cociente y su fórmula

¿Qué es la regla del cociente?

La regla del cociente es una regla que establece que se puede derivar un cociente de funciones tomando el denominador g(x) multiplicado por la derivada del numerador f(x) restado al numerador f(x) multiplicado por la derivada del denominador g(x), todo dividido por el cuadrado del denominador g(x).

La primera función f(x) es el dividendo o numerador del problema que se va a derivar, mientras que la segunda función g(x) es el divisor o el denominador.

La fórmula de la regla del cociente

La fórmula de la regla del cociente es: 

(\frac{f}{g})'(x) = \frac{g(x) \hspace{1.15 pt} \cdot \hspace{1.15 pt} f'(x) \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} f(x) \hspace{1.15 pt} \cdot \hspace{1.15 pt} g'(x)}{( \hspace{1.15 pt} g(x) \hspace{1.15 pt} )^2}

en donde

  • u = primera función f(x) o el numerador/dividendo
  • v = segunda función g(x) o el denominador/divisor

O en otras formas, puede ser:

\frac{d}{dx}(F(x)) = \frac{g(x) \hspace{1.15 pt} \cdot \hspace{1.15 pt} f'(x) \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} f(x) \hspace{1.15 pt} \cdot \hspace{1.15 pt} g'(x)}{( \hspace{1.15 pt} g(x) \hspace{1.15 pt} )^2}

o

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu' \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} uv'}{v^2}

que es la forma más comúnmente utilizada de la fórmula de la regla del cociente donde

u = f(x)
v = g(x)

y \frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) también pueden ser y', F'(x), \Upsilon' u otras letras usadas para denotar funciones con el símbolo del apóstrofo.


Regla del cociente con tres o más términos

Ya que mencionamos que la regla del cociente se puede usar para derivar un cociente de funciones, ¿qué tal si hay tres o más funciones para dividir? En este caso, en lugar de ajustar la fórmula de la regla del cociente, será más eficiente simplemente aplicar las reglas algebraicas de las fracciones y luego continuar usando las reglas del producto y del cociente.

Por ejemplo, tenemos

F(x) = \frac{\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)}{\left( \frac{h(x)}{j(x)} \right)}

o para ser más simple,

F(x) = \frac{\left( \frac{s}{u} \right)}{\left( \frac{v}{w} \right)}

Para derivar F(x), primero aplicaremos las reglas de las fracciones

\frac{\left( \frac{A}{B} \right)}{\left( \frac{C}{D} \right)} = \frac{AD}{BC}

Por lo tanto, tendremos

F(x) = \frac{sw}{uv}

Y a partir de esta ecuación, podemos derivar F(x) usando la regla del cociente y luego aplicar la regla del producto para derivar el numerador y el denominador individualmente. Al hacerlo, obtenemos

F(x) = \frac{\left( \frac{s}{u} \right)}{\left( \frac{v}{w} \right)} = \frac{sw}{uv}

\frac{d}{dx} \left[\frac{\left( \frac{s}{u} \right)}{\left( \frac{v}{w} \right)} \right] = \frac{d}{dx}(\left \frac{sw}{uv} \right)

\frac{d}{dx} \left[\frac{\left( \frac{s}{u} \right)}{\left( \frac{v}{w} \right)} \right] = \frac{uv \cdot \frac{d}{dx}(sw) - sw \cdot \frac{d}{dx}(uv)}{(uv)^2}

Por lo tanto, la fórmula de la regla del cociente para funciones con divisiones múltiples F(x) = \frac{\left( \frac{s}{u} \right)}{\left( \frac{v}{w} \right )} es:

F'(x) = \frac{uv \cdot (sw'+ws') \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} sw \cdot (uv'+vu')}{(uv)^2}

Esta es una fórmula más eficiente y práctica para derivar funciones complejas de división múltiple.


Demostración de la regla del cociente

Demostración de la regla del cociente usando límites

Podemos recordar que obtener los límites de la pendiente de una recta tangente nos llevará a la derivada de la ecuación de la curva. Por lo tanto, tenemos

\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}

Podemos usar esa fórmula para escribir una derivada del cociente de dos funciones en términos de límites. Luego, al manipular la ecuación, podemos llegar a la regla del cociente. Puedes explorar esto paso a paso en nuestro artículo sobre la Demostración de la regla del cociente.

Demostración de la regla del cociente mediante diferenciación implícita

A diferencia de la demostración de la regla del cociente usando límites, demostrar la regla del cociente por diferenciación implícita podría no ser la columna vertebral del cálculo diferencial, pero es el método más corto para demostrar la fórmula de la regla del cociente considerando que conoces el proceso de diferenciación implícita.

Puede consultar nuestro artículo sobre Demostraciones de la regla del cociente para aprender cómo podemos demostrar la regla del cociente usando diferenciación implícita.

Demostración de la regla del cociente usando las reglas del producto y de la cadena

La regla de la cadena es una de las fórmulas de derivadas que se utiliza para derivar funciones elevadas a un exponente, mientras que la regla del producto es para la derivada del producto de funciones. Estas dos fórmulas, una vez aprendidas y entendidas, pueden ser un método más fácil para demostrar la regla del cociente.

Obtén más información sobre la demostración de la regla del cociente usando la regla de la cadena visitando nuestro artículo sobre Demostraciones de la regla del cociente.


Cuándo usar la regla del cociente para encontrar derivadas

La fórmula de la regla del cociente es una herramienta eficiente para derivar funciones como las siguientes:

a. F(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, donde f(x) y g(x) son el cociente de la función dada F(x).

b. \frac{f}{g}(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, donde f(x) y g(x) son un cociente de \frac {f}{g}(x).

c. f(x) = \frac{u}{v}, donde u y v son cocientes de la función dada f(x).

d. f(x) = \frac{x_1}{x_2} donde x_1 y x_2 son cocientes de la función dada f(x).

e. G(x) = \frac{\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)}{h(x)}, donde la fracción \frac{f(x)}{g(x)} es el numerador/dividendo de la función dada G(x) mientras h(x) es el denominador/divisor.

f. H(x) = \frac{f(x)}{\left( \frac{g(x)}{h(x)} \right)}, donde f(x) es el numerador/dividendo de la función dada G(x) mientras que la fracción \frac{g(x)}{h(x)} es el denominador/divisor.

g. J(x) = \frac{\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)}{\left( \frac{h(x)}{j(x)} \right)}, donde la fracción \frac{f(x)}{g(x)} es el numerador/dividendo de la función dada G(x) mientras que la fracción \frac{h(x)}{j(x) )} es el denominador/divisor.

Estos son los ejemplos más comunes de funciones que se pueden derivar usando la regla del cociente. Aunque se argumentar que una función puede ser dividida algebraicamente antes ser derivada usando los métodos más simples de derivadas (o incluso una fórmula derivada específica de la función), ese no es siempre el caso, incluso en algunos problemas básicos de división/fracción que podemos encontrarnos.

Por lo tanto, tenemos la regla del cociente para que aún sea posible derivar el cociente de funciones que son muy difíciles de dividir algebraicamente o incluso imposibles de dividir y simplificar algebraicamente.


Cómo usar la regla del cociente, un tutorial paso a paso

Supongamos que tenemos que derivar

f(x) = \frac{\sin{(x)}}{x}

Como puedes observar, esta función dada es una fracción pero no se puede dividir algebraicamente ni simplificar. Pero para derivar este problema, podemos usar la regla del cociente como se muestra en los siguientes pasos:

Paso 1: Siempre se recomienda escribir la fórmula si aún eres un principiante.

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu' \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} uv'}{v^2}

Ten en cuenta que puedes usar cualquier forma de la fórmula de la regla del cociente siempre que la encuentres más eficiente según tu preferencia o el problema dado.

Paso 2: Identificar si existe un dividendo fraccionario o un divisor. Si no hay ninguno, procede a usar la fórmula de la regla del cociente. Si la hay, aplica las reglas de las fracciones a la forma original del problema dado antes de usar la fórmula de la regla del cociente.

Paso 3: Identifiquemos cuál es el numerador/dividendo y cuál es el denominador/divisor. Denotaremos el numerador/dividendo como u y denotaremos el denominador/divisor como v.

Así, tenemos

u = \sin{(x)}
v = x

Paso 4: Se recomienda derivar individualmente cada u y v antes de proceder a aplicar la fórmula de la regla del cociente.

Entonces, tenemos

u = \sin{(x)}
u' = \cos{(x)}

v = x
v' = 1

Paso 5: Aplica la fórmula de la regla del cociente sustituyendo u, u', v y v' en la fórmula de la regla del cociente.

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu' \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} uv'}{v^2}

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{(x) \cdot (\cos{(x)}) \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} (\sin{(x)}) \cdot (1)}{(x)^2}

Paso 6: Simplifica algebraicamente y aplica las identidades trigonométricas necesarias, así como otras reglas a la ecuación derivada, siempre que corresponda.

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{x \cos{(x)} \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} \sin{(x)}}{x^2}

Paso 7: Si crees que la ecuación derivada no se puede simplificar más, declárala como tu respuesta final:

f'(x) = \frac{x \cos{(x)} \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} \sin{(x)}}{x^2}

Para propósitos de formalidad, se recomienda usar f'(x), y', o \frac{d}{dx}(f(x)) como símbolo de derivadas en el lado izquierdo de la respuesta final derivada en lugar de (\frac{u}{v})' o \frac{d}{dx}(\frac{u}{v}).


Regla del cociente – Ejemplos con respuestas

Cada uno de los siguientes ejemplos tiene su respectiva solución detallada. Se recomienda que intentes resolver los problemas de muestra tú mismo antes de buscar la solución para que puedas practicar y dominar completamente este tema.

EJEMPLO 1

Deriva lo siguiente: f(x) = \frac{\sqrt[3]{x^2}}{x^3}

Paso 1: Escribimos la fórmula de la regla del cociente como referencia:

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu' \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} uv'}{v^2}

Paso 2: Identificamos si existe un dividendo fraccionario o un divisor. En este ejemplo, no tenemos, por lo que podemos proceder directamente usando la fórmula de la regla del cociente para derivar el problema.

Paso 3: Identifica cuál es el numerador/dividendo y cuál es el denominador/divisor. El numerador/dividendo se denotará como u mientras que el denominador/divisor será v.

Entonces, tenemos

u = \sqrt[3]{x^2}
v = x^3

Paso 4: Deriva u y v individualmente.

Entonces, tenemos

u = \sqrt[3]{x^2}
u = x^{\frac{2}{3}}
u' = \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}

v = x^3
v' = 3x^2

Paso 5: Sustituye u, u', v y v' en la fórmula de la regla del cociente.

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu' \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} uv'}{v^2}

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{(x^3) \cdot (\frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}) \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} (x^{\frac{2}{3}}) \cdot (3x^2)}{(x^3)^2}

Paso 6: Simplifica algebraicamente.

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{(x^3) \cdot (\frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}) \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} (x^{\frac{2}{3}}) \cdot (3x^2)}{(x^3)^2}

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{8}{3}} \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} 3x^{\frac{8}{3}})}{x^6}

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{-\frac{7}{3} x^{\frac{8}{3}}}{x^6}

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{-\frac{7}{3} x^{\frac{8}{3}}}{x^6}

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = -\frac{7}{3x^{\frac{10}{3}}}

Paso 7: Si crees que la ecuación derivada no se puede simplificar más, declárala como tu respuesta final. La respuesta final es:

f'(x) = -\frac{7}{3 \sqrt[3]{x^{10}}}

EJEMPLO 2

Encuentra la derivada de f(x) = \frac{\cos{(x^3)}}{\sin{(x^3)}}.

Paso 1: Escribimos la fórmula de la regla del cociente como referencia:

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu' \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} uv'}{v^2}

Paso 2: Identifica si existe un dividendo fraccionario o un divisor. En este ejemplo, no tenemos, por lo que podemos proceder directamente usando la fórmula de la regla del cociente para derivar el problema.

Paso 3: El numerador/dividendo se denotará como u mientras que el denominador/divisor será v.

Entonces, tenemos

u = \cos{(x^3)}
v = \sin{(x^3)}

Paso 4: Deriva u y v individualmente.

Entonces, tenemos

u = \cos{(x^3)}
u' = -3x^2 \sin{(x^3)}

v = \sin{(x^3)}
v' = 3x^2 \cos{(x^3)}

Paso 5: Sustituye u, u', v y v' en la fórmula de la regla del cociente.

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu' \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} uv'}{v^2}

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{(\sin{(x^3)}) \cdot (-3x^2 \sin{(x^3)}) \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} (\cos{(x^3)}) \cdot (3x^2 \cos{(x^3)})}{(\sin{(x^3)})^2}

Paso 6: Simplifica algebraicamente y aplica identidades trigonométricas si corresponde.

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{(\sin{(x^3)}) \cdot (-3x^2 \sin{(x^3)}) \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} (\cos{(x^3)}) \cdot (3x^2 \cos{(x^3)})}{(\sin{(x^3)})^2}

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{-3x^2 \sin^{2}{(x^3)} \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} 3x^2 \cos^{2}{(x^3)}}{\sin^{2}{(x^3)}}

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{-3x^2 \sin^{2}{(x^3)} \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} [3x^2 (1-\sin^{2}{(x^3)})]}{\sin^{2}{(x^3)}}

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{-3x^2 \sin^{2}{(x^3)} \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} (3x^2 - 3x^2\sin^{2}{(x^3)})}{\sin^{2}{(x^3)}}

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{-3x^2 \sin^{2}{(x^3)} - 3x^2 + 3x^2\sin^{2}{(x^3)}}{\sin^{2}{(x^3)}}

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{-3x^2}{\sin^{2}{(x^3)}}

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = -3x^2 \cdot \csc^{2}{(x^3)}

Paso 7: Si crees que la ecuación derivada no se puede simplificar más, declárala como tu respuesta final. La respuesta final es:

f'(x) = -3x^2 \csc^{2}{(x^3)}

EJEMPLO 3

Deriva la función f(x) = \frac{\ln{(x)}}{5^x}.

Paso 1: Escribe la fórmula de la regla del cociente como referencia:

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu' \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} uv'}{v^2}

Paso 2: Identifica si existe un dividendo fraccionario o un divisor. En este ejemplo, no tenemos, por lo que podemos proceder directamente usando la fórmula de la regla del cociente para derivar el problema.

Paso 3: El numerador/dividendo se denotará como u mientras que el denominador/divisor será v.

Así, tenemos

u = \ln{(x)}
v = 5^x

Paso 4: Deriva u y v individualmente.

Entonces, tenemos

u = \ln{(x)}
u' = \frac{1}{x}

v = 5^x
v' = 5^x \ln{(5)}

Paso 5: Sustituye u, u', v y v' en la fórmula de la regla del cociente.

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu' \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} uv'}{v^2}

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{(5^x) \cdot (\frac{1}{x}) \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} (\ln{(x)}) \cdot (5^x \ln{(5)}}{(5^x)^2}

Paso 6: Simplifica algebraicamente.

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{\frac{5^x}{x} \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} 5^x \ln{(x)} \ln{(5)}}{25^x}

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{\frac{5^x}{x} \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} \frac{5^x x \ln{(x)} \ln{(5)}}{x}}{25^x}

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{5^x \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} 5^x x \ln{(x)} \ln{(5)}}{25^x x}

Paso 7: Si crees que la ecuación derivada no se puede simplificar más, declárala como tu respuesta final. La respuesta final es:

f'(x) = -\frac{5^x (1 - x \ln{(x)} \ln{(5)})}{25^x x}

EJEMPLO 4

¿Cual es la derivada de f(x) = \frac{\tan^{-1}{(x)}}{\cot^{-1}{(x)}}?

Paso 1: Enumera la fórmula de la regla del cociente como referencia:

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu' \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} uv'}{v^2}

Paso 2: Identifica si existe un dividendo fraccionario o un divisor. En este ejemplo, no tenemos, por lo que podemos proceder directamente usando la fórmula de la regla del cociente para derivar el problema.

Paso 3: El numerador/dividendo se denotará como u mientras que el denominador/divisor será v.

Entonces, tenemos

u = \tan^{-1}{(x)}
v = \cot^{-1}{(x)}

Paso 4: Deriva u y v individualmente.

Entonces, tenemos

u = \tan^{-1}{(x)}
u' = \frac{1}{x^2+1}

v = \cot^{-1}{(x)}
v' = -\frac{1}{x^2+1}

Paso 5: Sustituye u, u', v y v' en la fórmula de la regla del cociente.

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu' \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} uv'}{v^2}

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{(\cot^{-1}{(x)}) \cdot \left(\frac{1}{x^2+1} \right) \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} (\tan^{-1}{(x)}) \cdot \left(-\frac{1}{x^2+1} \right)}{(\cot^{-1}{(x)})^2}

Paso 6: Simplifica algebraicamente y aplica identidades trigonométricas inversas si corresponde.

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{\frac{\cot^{-1}{(x)}}{x^2+1} \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} \left(-\frac{\tan^{-1}{(x)}}{x^2+1} \right)}{(\cot^{-1}{(x)})^2}

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{\frac{\cot^{-1}{(x)}}{x^2+1} + \frac{\tan^{-1}{(x)}}{x^2+1}}{(\cot^{-1}{(x)})^2}

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{\frac{\cot^{-1}{(x)} + \tan^{-1}{(x)}}{x^2+1}}{(\cot^{-1}{(x)})^2}

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{\cot^{-1}{(x)} + \tan^{-1}{(x)}}{(x^2+1) \cdot (\cot^{-1}{(x)})^2}

Paso 7: Si crees que la ecuación derivada no se puede simplificar más, declárala como tu respuesta final. La respuesta final es:

f'(x) = \frac{\cot^{-1}{(x)} + \tan^{-1}{(x)}}{x^2 \left(\cot^{-1}{(x)})^2 + (\cot^{-1}{(x)})^2 \right)}

EJEMPLO 5

Deriva lo siguiente: f(x) = \frac{\frac{x}{\ln{(x)}}}{\frac{x}{e^x}}

Paso 1: Enumera la fórmula de la regla del cociente para referencia:

\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu' \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} uv'}{v^2}

Paso 2: En este ejemplo, tanto nuestro dividendo como nuestro divisor son fracciones. Por lo tanto, primero debemos aplicar las reglas de las fracciones antes de derivarlas usando la fórmula del cociente:

f(x) = \frac{\frac{x}{\ln{(x)}}}{\frac{x}{e^x}} = \frac{xe^x}{x \ln{(x)}}

Luego, con esto viene nuestra fórmula del cociente para funciones con múltiples divisiones:

F'(x) = \frac{uv \cdot (sw'+ws') \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} sw \cdot (uv'+vu')}{(uv)^2}

Paso 3: Como tenemos múltiples divisiones en nuestra función dada, representaremos al numerador del dividendo como s, al denominador del dividendo como u, al numerador del divisor como v y al denominador de el divisor como w.

Entonces, tenemos

f(x) = \frac{\frac{s}{u}}{\frac{v}{w}} = \frac{\frac{x}{\ln{(x)}}}{\frac{x}{e^x}}

Aplicando las reglas de las fracciones:

f(x) = \frac{sw}{uv} = \frac{xe^x}{x \ln{(x)}}

Entonces, tenemos

s = x
u = \ln{(x)}
v = x
w = e^x

Paso 4: Deriva s, u, v y w individualmente.

Así, tenemos

s = x
s' = 1

u = \ln{(x)}
u' = \frac{1}{x}

v = x
v' = 1

w = e^x
w' = e^x

Paso 5: Sustituye s, u, v y w en la fórmula de la regla del cociente para funciones con divisiones múltiples:

F'(x) = \frac{uv \cdot (sw'+ws') \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} sw \cdot (uv'+vu')}{(uv)^2}

\frac{d}{dx}f(x) = \frac{\left[(x \ln{(x)}) \cdot ((x) \cdot (e^x) + (e^x) \cdot (1)) \right] \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} \left[(xe^x) \cdot \left((\ln{(x)}) \cdot (1) + (x) \cdot \left(\frac{1}{x} \right) \right) \right]}{(x \ln{(x)})^2}

Paso 6: Simplifica algebraicamente:

\frac{d}{dx}f(x) = \frac{[(x \ln{(x)}) \cdot (xe^x + e^x)] \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} [(xe^x) \cdot (\ln{(x)} + 1)]}{(x \ln{(x)})^2}

\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(x^2 e^x \ln{(x)} + xe^x \ln{(x)}) \hspace{2.3 pt} - \hspace{2.3 pt} (xe^x \ln{(x)} + xe^x)}{(x \ln{(x)})^2}

\frac{d}{dx}f(x) = \frac{x^2 e^x \ln{(x)}}{(x \ln{(x)})^2} + \frac{xe^x \ln{(x)}}{(x \ln{(x)})^2} - \left( \frac{xe^x \ln{(x)}}{(x \ln{(x)})^2} + \frac{xe^x}{(x \ln{(x)})^2} \right)

\frac{d}{dx}f(x) = \frac{e^x}{\ln{(x)}} + \frac{e^x}{x \ln{(x)}} - \frac{e^x}{x \ln{(x)}} - \frac{e^x}{x(\ln{(x)})^2}

\frac{d}{dx}f(x) = \frac{e^x}{\ln{(x)}} - \frac{e^x}{x(\ln{(x)})^2}

\frac{d}{dx}f(x) = \frac{xe^x \ln{(x)}}{x(\ln{(x)})^2} - \frac{e^x}{x(\ln{(x)})^2}

Paso 7: Si crees que la ecuación derivada no se puede simplificar más, declárala como tu respuesta final. La respuesta final es:

f'(x) = \frac{xe^x \ln{(x)} - e^x}{x(\ln{(x)})^2}


Regla del producto – Problemas de práctica

Resuelve los siguientes problemas de diferenciación y prueba tus conocimientos sobre este tema. Usa la fórmula de la regla del producto detallada arriba para resolver los ejercicios. Si tienes problemas con estos ejercicios, puedes estudiar los ejemplos resueltos anteriormente.

Encuentra la derivada de f(x) = \frac{3x^2}{\ln{(3x^2)}}

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¿Cuál es la derivada de f(x) = \frac{x}{\tan{(x-1)}}}?

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Deriva f(x) = \frac{\sin{(x)}}{1 + \cos{(x)}}

Escoge una respuesta






Deriva f(x) = \frac{\frac{x}{\cos{(x)}}}{\frac{\sin{(x)}}{x}}

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