Regla del Cociente – Ejercicios Resueltos y para Resolver

Los ejercicios de derivación que involucran el cociente de funciones se pueden resolver usando la fórmula de la regla del cociente. Esta fórmula nos permite derivar un cociente de funciones como $latex \frac{f}{g} (x) = \frac{f(x)}{g(x)}$.

Aquí, veremos el resumen de la regla del cociente. Además, exploraremos varios ejemplos con respuestas para comprender la aplicación de la fórmula de la regla del cociente.

CÁLCULO
Fórmula para la regla del cociente de derivadas

Relevante para

Explorar la regla del cociente de las derivadas con ejercicios.

Ver ejercicios

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Fórmula para la regla del cociente de derivadas

Relevante para

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Resumen de la regla del cociente

La regla del cociente es una fórmula muy útil para derivar cocientes de funciones. Es una regla que establece que la derivada de un cociente de dos funciones es igual a la función en el denominador g(x) multiplicada por la derivada del numerador f(x) restada al numerador f(x) multiplicada por la derivada del denominador g(x), todo dividido por el cuadrado del denominador g(x).

Esto nos da la fórmula de la regla del cociente como:

$$(\frac{f}{g})'(x) = \frac{g(x) \hspace{1.15 pt} \cdot \hspace{1.15 pt} f'(x) \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} f(x) \hspace{1.15 pt} \cdot \hspace{1.15 pt} g'(x)}{( \hspace{1.15 pt} g(x) \hspace{1.15 pt} )^2}$$

o en una forma más corta, se puede ilustrar como:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’ \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} uv’}{v^2}$$

donde $latex u = f(x)$ es el numerador/dividendo del problema dado y $latex v = g(x)$ es el denominador/divisor del problema dado.

Puedes usar cualquiera de estas dos formas de la fórmula de la regla del producto según tus preferencias.

Usamos esta fórmula para derivar funciones que tienen la siguiente forma:

$$\frac{f}{g}(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$$

o

$$F(x) = \frac{u}{v}$$

donde $latex f(x)$ o $latex u$ es el numerador/dividendo mientras que $latex g(x)$ y $latex v$ es el denominador/divisor del problema dado.


Regla del cociente – Ejercicios resueltos

Usando la fórmula detallada arriba, podemos derivar varias funciones que se escriben como cocientes. Cada uno de los siguientes ejemplos tiene su respectiva solución detallada.

EJERCICIO 1

Encuentra la derivada de $latex f(x) = \frac{x^2}{e^{2x}}$.

Lo primero que debemos hacer es escribir la fórmula de la regla del cociente para nuestra referencia:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

Basado en lo dado, tenemos $latex x^2$ como numerador/dividendo y $latex e^{(2x)}$ como denominador/divisor.

Según la fórmula de la regla del cociente, $latex u$ es el numerador y $latex v$ es el denominador. Por lo tanto, tenemos

$latex u = x^2$
$latex v = e^{2x}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$

Ahora, podemos usar la fórmula de la regla del cociente para derivar nuestro problema dado:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{v \cdot \frac{d}{dx}(u) – u \cdot \frac{d}{dx}(v)}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(e^{2x}) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) – (x^2) \cdot \frac{d}{dx}(e^{2x})}{(e^{2x})^2}$$

A continuación, derivamos $latex u$ y $latex v$ individualmente y luego sustituimos por la fórmula de la regla del cociente más adelante:

$latex u = x^2$
$latex u’ = 2x$

$latex v = e^{2x}$
$latex v’ = 2e^{2x}$

Al sustituir $latex u$, $latex v$, $latex u’$ y $latex v’$ en la fórmula de la regla del cociente, tenemos:

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(e^{2x}) \cdot (2x) – (x^2) \cdot (2e^{2x})}{(e^{2x})^2}$$

Simplificando algebraicamente, obtenemos

$$f'(x) = \frac{(2xe^{2x}) – (2x^2 e^{2x})}{(e^{2x})^2}$$

$$f'(x) = \frac{2xe^{2x}}{(e^{2x})^2} – \frac{2x^2 e^{2x}}{(e^{2x})^2}$$

$$f'(x) = \frac{2x}{e^{2x}} – \frac{2x^2}{e^{2x}}$$

Y la respuesta final es:

$$f'(x) = \frac{2x – 2x^2}{e^{2x}}$$

EJERCICIO 2

¿Cuál es la derivada de $latex f(x) = \frac{\ln{(x)}}{\cos{(x)}}$?

Siempre es recomendable escribir primero la fórmula de la regla del cociente para nuestra referencia:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

Basado en lo dado, tenemos $latex \ln{(x)}$ como numerador/dividendo y $latex \cos{(x)}$ como denominador/divisor.

Con base en la fórmula de la regla del cociente, $latex u$ es el numerador y $latex v$ es el denominador. Por lo tanto, tenemos

$latex u = \ln{(x)}$
$latex v = \cos{(x)}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$

Después de hacer esto, podemos usar la fórmula de la regla del cociente para derivar nuestro problema dado:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{v \cdot \frac{d}{dx}(u) – u \cdot \frac{d}{dx}(v)}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(\cos{(x)}) \cdot \frac{d}{dx}(\ln{(x)}) – (\ln{(x)}) \cdot \frac{d}{dx}(\cos{(x)})}{(\cos{(x)})^2}$$

A continuación, derivemos $latex u$ y $latex v$ individualmente y luego sustituyamos en la fórmula de la regla del cociente más adelante:

$latex u = \ln{(x)}$
$latex u’ = \frac{1}{x}$

$latex v = \cos{(x)}$
$latex v’ = -\sin{(x)}$

Al sustituir $latex u$, $latex v$, $latex u’$ y $latex v’$ en la fórmula de la regla del cociente, tenemos:

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(\cos{(x)}) \cdot (\frac{1}{x}) – (\ln{(x)}) \cdot (-\sin{(x)})}{(\cos{(x)})^2}$$

Simplificando algebraicamente, obtenemos

$$f'(x) = \frac{(\frac{\cos{(x)}}{x}) – (-\sin{(x)} \ln{(x)})}{(\cos{(x)})^2}$$

$$f'(x) = \frac{\frac{\cos{(x)}}{x}) + \sin{(x)} \ln{(x)}}{(\cos{(x)})^2}$$

$$f'(x) = \frac{\frac{\cos{(x)}}{x}) + \frac{x \sin{(x)} \ln{(x)}}{x}}{\cos^{2}{(x)}}$$

Y la respuesta final es:

$$f'(x) = \frac{\cos{(x)} + x \sin{(x)} \ln{(x)} }{x \cos^{2}{(x)}}$$

EJERCICIO 3

Encuentra la derivada de $latex f(x) = \frac{x^3}{\sin^{2}{(x)}}$.

Comencemos escribiendo la fórmula de la regla del cociente para nuestra referencia:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

Tenemos $latex x^3$ como numerador/dividendo y $latex \sin^{2}{(x)}$ como denominador/divisor.

$latex u$ es el numerador y $latex v$ es el denominador, por lo que tenemos

$latex u = x^3$
$latex v = \sin^{2}{(x)}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$

Después de hacer esto, podemos usar la fórmula de la regla del cociente para derivar nuestro problema dado:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{v \cdot \frac{d}{dx}(u) – u \cdot \frac{d}{dx}(v)}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(\sin^{2}{(x)}) \cdot \frac{d}{dx}(x^3) – (x^3) \cdot \frac{d}{dx}(\sin^{2}{(x)})}{(\sin^{2}{(x)})^2}$$

A continuación, derivemos $latex u$ y $latex v$ individualmente y luego sustituyamos por la fórmula de la regla del cociente más adelante:

$latex u = x^3$
$latex u’ = 3x^2$

$latex v = \sin^{2}{(x)}$
$latex v’ = 2 \sin{(x)} \cos{(x)}$

Al sustituir $latex u$, $latex v$, $latex u’$ y $latex v’$ en la fórmula de la regla del cociente, tenemos:

$$ \frac{d}{dx}f(x) = \frac{(\sin^{2}{(x)}) \cdot (3x^2) – (x^3) \cdot (2 \sin{(x)} \cos{(x)})}{(\sin^{2}{(x)})^2}$$

Simplificando algebraicamente y aplicando algunas identidades trigonométricas, obtenemos

$$f'(x) = \frac{(3x^2 \sin^{2}{(x)}) – (2x^3 \sin{(x)} \cos{(x)})}{\sin^{4}{(x)}}$$

$$f'(x) = \frac{3x^2 \sin^{2}{(x)}}{\sin^{4}{(x)}} – \frac{2x^3 \sin{(x)} \cos{(x)}}{\sin^{4}{(x)}}$$

$$f'(x) = \frac{3x^2}{\sin^{2}{(x)}} – \frac{2x^3 \cos{(x)}}{\sin^{3}{(x)}}$$

$$f'(x) = 3x^2 \csc^{2}{(x)} – 2x^3 \cdot \frac{\cos{(x)}}{\sin{(x)}} \cdot \frac{1}{\sin^{2}{(x)}}$$

Y la respuesta final es:

$$f'(x) = 3x^2 \csc^{2}{(x)} – 2x^3 \cot{(x)} \csc^{2}{(x)}$$

EJERCICIO 4

¿Cuál es la derivada de $latex f(x) = \frac{5x^x}{\cos{(3x)}}$?

Primero, debemos escribir la fórmula de la regla del cociente para nuestra referencia:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

Basado en lo dado, tenemos $latex 5x^x$ como numerador/dividendo y $latex \cos{(3x)}$ como denominador/divisor.

Por lo tanto, tenemos

$latex u = 5x^x$
$latex v = \cos{(3x)}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$

Ahora, podemos usar la fórmula de la regla del cociente para derivar nuestro problema dado:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{v \cdot \frac{d}{dx}(u) – u \cdot \frac{d}{dx}(v)}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) =\frac{(\cos{(3x)}) \cdot \frac{d}{dx}(5x^x) – (5x^x) \cdot \frac{d}{dx}(\cos{(3x)})}{(\cos{(3x)})^2}$$

A continuación, derivamos $latex u$ y $latex v$ individualmente y luego sustituimos en la fórmula de la regla del cociente más adelante:

$latex u = 5x^x$
$latex u’ = 5x^x \ln{(x)} + 5x^x$

$latex v = \cos{(3x)}$
$latex v’ = -3 \sin{(3x)}$

Al sustituir $latex u$, $latex v$, $latex u’$ y $latex v’$ en la fórmula de la regla del cociente, tenemos:

$$\frac{d}{dx}f(x) =\frac{(\cos{(3x)}) \cdot (5x^x \ln{(x)} + 5x^x) – (5x^x) \cdot (-3 \sin{(3x)})}{(\cos{(3x)})^2}$$

Simplificando algebraicamente y aplicando algunas identidades trigonométricas, obtenemos

$$f'(x) =\frac{(5x^x \cos{(3x)} \ln{(x)} + 5x^x \cos{(3x)}) – (-15x^x \sin{(3x)})}{\cos^{2}{(3x)}}$$

$$f'(x) =\frac{5x^x \cos{(3x)} \ln{(x)} + 5x^x \cos{(3x)} + 15x^x \sin{(3x)}}{\cos^{2}{(3x)}}$$

$$f'(x) = \frac{5x^x \cos{(3x)} \ln{(x)}}{\cos^{2}{(3x)}}+ \frac{5x^x \cos{(3x)}}{\cos^{2}{(3x)}} + \frac{15x^x \sin{(3x)}}{\cos^{2}{(3x)}}$$

$$ f'(x) = 5x^x \ln{(x)} \cdot \frac{1}{\cos{(3x)}}+ 5x^x \cdot \frac{1}{\cos{(3x)}} + 15x^x \cdot \frac{\sin{(3x)}}{\cos{(3x)}} \cdot \frac{1}{\cos{(3x)}}$$

Y la respuesta final es:

$$f'(x) = 5x^x \ln{(x)} \sec{(3x)} + 5x^x \sec{(3x)}+ 15x^x \sec{(3x)} \tan{(3x)}$$

EJERCICIO 5

Encuentra la derivada de $latex f'(x) = \frac{x^{e^x}}{e^{\sin{(x)}}}$.

Escribimos la fórmula de la regla del cociente para nuestra referencia:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

Tenemos $latex x^{e^x}$ como numerador/dividendo y $latex e^{\sin{(x)}}$ como denominador/divisor. Por lo tanto, tenemos

$latex u = x^{e^x}$
$latex v = e^{\sin{(x)}}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$

Ahora, podemos usar la fórmula de la regla del cociente para derivar nuestro problema dado:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{v \cdot \frac{d}{dx}(u) – u \cdot \frac{d}{dx}(v)}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) =\frac{(e^{\sin{(x)}}) \cdot \frac{d}{dx}(x^{e^x}) – (x^{e^x}) \cdot \frac{d}{dx}(e^{\sin{(x)}})}{(e^{\sin{(x)}})^2}$$

A continuación, derivemos $latex u$ y $latex v$ individualmente y luego sustituyamos por la fórmula de la regla del cociente más adelante:

$latex u = x^{e^x}$
$latex u’ = x^{e^x} e^x \ln{(x)} + \frac{x^{e^x} e^x}{x}$

$latex v = e^{\sin{(x)}}$
$latex v’ = e^{\sin{(x)}} \cos{(x)}$

Al sustituir $latex u$, $latex v$, $latex u’$ y $latex v’$ en la fórmula de la regla del cociente, tenemos:

$$\frac{d}{dx}f(x) =\frac{(e^{\sin{(x)}}) \cdot (x^{e^x} e^x \ln{(x)} + \frac{x^{e^x} e^x}{x}) – (x^{e^x}) \cdot (e^{\sin{(x)}} \cos{(x)})}{(e^{\sin{(x)}})^2}$$

Simplificando algebraicamente y aplicando algunas identidades trigonométricas, obtenemos

$$ \frac{d}{dx}f(x) = \frac{(e^{\sin{(x)}}) \cdot (x^{e^x} e^x \ln{(x)} + \frac{x^{e^x} e^x}{x})}{(e^{\sin{(x)}})^2}– \frac{(x^{e^x}) \cdot (e^{\sin{(x)}} \cos{(x)})}{(e^{\sin{(x)}})^2}$$

$$ \frac{d}{dx}f(x) = \frac{\frac{x^{e^x} (xe^x \ln{(x)} + e^x)}{x} – x^{e^x} \cos{(x)}}{e^{\sin{(x)}}}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{\frac{x^{e^x} (xe^x \ln{(x)} + e^x) – x^{e^x} (x \cos{(x)})}{x}}{e^{\sin{(x)}}}$$

$$f'(x) = \frac{x^{e^x} (xe^x \ln{(x)} + e^x) – x^{e^x} (x \cos{(x)})}{xe^{\sin{(x)}}}$$

Y la respuesta final es:

$$f'(x) = \frac{x^{e^x} \left[ (e^x (x \ln{(x)} + 1)) – x \cos{(x)} \right]}{xe^{\sin{(x)}}}$$

EJERCICIO 6

¿Cuál es la derivada de $latex f(x) = \frac{\cos{(x)}}{\sin^{x}{(x)}}$?

Para nuestra referencia, escribimos la fórmula de la regla del cociente:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

Tenemos $latex \cos{(x)}$ como numerador/dividendo y $latex \sin^{x}{(x)}$ como denominador/divisor. Por lo tanto, tenemos

$latex u = \cos{(x)}$
$latex v = \sin^{x}{(x)}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$

Ahora, podemos usar la fórmula de la regla del cociente para derivar nuestro problema dado:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{v \cdot \frac{d}{dx}(u) – u \cdot \frac{d}{dx}(v)}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) =\frac{(\sin^{x}{(x)}) \cdot \frac{d}{dx}(\cos{(x)}) – (\cos{(x)}) \cdot \frac{d}{dx}(\sin^{x}{(x)})}{(\sin^{x}{(x)})^2}$$

A continuación, derivemos $latex u$ y $latex v$ individualmente y luego sustituyamos por la fórmula de la regla del cociente más adelante:

$latex u = \cos{(x)}$
$latex u’ = -\sin{(x)}$

$latex v = \sin^{x}{(x)}$
$latex v’ = x \cot{(x)} \sin^{x}{(x)} + \sin^{x}{(x)} \ln{(\sin{(x)})}$

Al sustituir $latex u$, $latex v$, $latex u’$ y $latex v’$ en la fórmula de la regla del cociente, tenemos:

$$\frac{d}{dx}f(x) =\frac{(\sin^{x}{(x)}) \cdot (-\sin{(x)}) – (\cos{(x)}) \cdot (x \cot{(x)} \sin^{x}{(x)} + \sin^{x}{(x)} \ln{(\sin{(x)})})}{(\sin^{x}{(x)})^2}$$

Simplificando algebraicamente y aplicando algunas identidades trigonométricas, obtenemos

$$\frac{d}{dx}f(x) =\frac{(-\sin{(x)} \sin^{x}{(x)}) – (x \cos{(x)} \cot{(x)} \sin^{x}{(x)} + \cos{(x)} \sin^{x}{(x)} \ln{(\sin{(x)})})}{\sin^{2x}{(x)}}$$

$$ f'(x) =\frac{-\sin{(x)} \sin^{x}{(x)} – x \cos{(x)} \cot{(x)} \sin^{x}{(x)} – \cos{(x)} \sin^{x}{(x)} \ln{(\sin{(x)})}}{\sin^{2x}{(x)}}$$

$$f'(x) = \frac{-\sin{(x)} \sin^{x}{(x)}}{\sin^{2x}{(x)}} – \frac{x \cos{(x)} \cot{(x)} \sin^{x}{(x)}}{\sin^{2x}{(x)}}– \frac{\cos{(x)} \sin^{x}{(x)} \ln{(\sin{(x)})}}{\sin^{2x}{(x)}}$$

$$f'(x) = \frac{-\sin{(x)}}{\sin^{x}{(x)}} – \frac{x \cos{(x)} \cot{(x)}}{\sin^{x}{(x)}}– \frac{\cos{(x)} \ln{(\sin{(x)})}}{\sin^{x}{(x)}}$$

$$f'(x) = \frac{-\sin{(x)} – x \cos{(x)} \cot{(x)} – \cos{(x)} \ln{(\sin{(x)})}}{\sin^{x}{(x)}}$$

$$f'(x) = -\frac{\sin{(x)} + x \cos{(x)} \cot{(x)} + \cos{(x)} \ln{(\sin{(x)})}}{\sin^{x}{(x)}}$$

Y la respuesta final es:

$$f'(x) = -\frac{\sin{(x)} + \cos{(x)} \cdot (x \cot{(x)} + \ln{(\sin{(x)})})}{\sin^{x}{(x)}}$$

EJERCICIO 7

Encuentra la derivada de $latex f(x) = \left( \frac{x-3}{\sqrt{x}} \right)^2$.

En este problema específico, usaremos las fórmulas de la regla de la cadena y la regla del cociente como las dos fórmulas principales para derivar este problema:

Fórmula de la regla de la cadena:

$$\frac{d}{dx}(s^n) = ns^{n-1} s’$$

Fórmula de la regla del cociente:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

Tenemos

$$s = \frac{u}{v}$$

$$s = \frac{x-3}{\sqrt{x}}$$

$$s^n = \left( \frac{u}{v} \right)^n$$

$$s^n = \left( \frac{x-3}{\sqrt{x}} \right)^2$$

$latex s^n = f(x)$

$$ \frac{d}{dx}(s^n) = \frac{d}{dx}(f(x))$$

Entonces, aplicando la fórmula de la regla de la cadena a nuestro problema, tenemos

$$\frac{d}{dx}(s^n) = n \cdot s^{n-1} \cdot \frac{d}{dx}(s)$$

$$\frac{d}{dx}(s^n) = n \cdot \left( \frac{u}{v} \right)^{n-1} \cdot \frac{d}{dx}\left( \frac{u}{v} \right)$$

$$\frac{d}{dx}(s^n) = 2 \cdot \left( \frac{x-3}{\sqrt{x}} \right)^{2-1} \cdot \frac{d}{dx}\left( \frac{x-3}{\sqrt{x}} \right)$$

$$\frac{d}{dx}(f(x)) = 2 \cdot \left( \frac{x-3}{\sqrt{x}} \right) \cdot \frac{d}{dx}\left( \frac{x-3}{\sqrt{x}} \right)$$

El próximo paso que haremos será derivar $latex s$, que en este caso, ahora usaremos la fórmula de la regla del cociente. Al hacerlo, tenemos

$latex u$ es el numerador y $latex v$ es el denominador de $latex s$. Entonces,

$latex u = x-3$
$latex v = \sqrt{x}$
$latex \frac{d}{dx}(s) = \frac{u}{v}$

Ahora, podemos usar la fórmula de la regla del cociente para derivar $latex s$:

$$\frac{d}{dx}(s) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}(s) = \frac{v \cdot \frac{d}{dx}(u) – u \cdot \frac{d}{dx}(v)}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}(s) = \frac{(\sqrt{x}) \cdot \frac{d}{dx}(x-3) – (x-3) \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x})}{(\sqrt{x}}$$

A continuación, derivemos $latex u$ y $latex v$ individualmente y luego sustituyamos la fórmula de la regla del cociente para $latex \frac{d}{dx}(s)$ más adelante:

$latex u = x-3$
$latex u’ = 1$

$latex v = \sqrt{x}$
$latex v = x^{\frac{1}{2}}$
$latex v’ = \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}$

Sustituyendo $latex u$, $latex v$, $latex u’$ y $latex v’$ en $latex \frac{d}{dx}(s)$, tenemos:

$$\frac{d}{dx}(s) = \frac{(x^{\frac{1}{2}}) \cdot (1) – (x-3) \cdot (\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2})}{(x^{\frac{1}{2}})^2}$$

Finalmente, el último paso que debemos hacer es sustituir $latex \frac{d}{dx}(s)$ en $latex \frac{d}{dx}(s^n)$, que también es $latex \frac{d}{dx}(f(x))$:

$$\frac{d}{dx}(f(x)) = 2 \cdot \left( \frac{x-3}{\sqrt{x}} \right) \cdot \frac{d}{dx}\left( \frac{x-3}{\sqrt{x}} \right)$$

Si es que

$$\frac{d}{dx}(s) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x-3}{\sqrt{x}} \right)$$

y

$$\frac{d}{dx}(s) = \frac{(x^{\frac{1}{2}}) \cdot (1) – (x-3) \cdot (\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2})}{(x^{\frac{1}{2}})^2}$$

entonces, tenemos

$$\frac{d}{dx}(s^n) = 2 \cdot \left( \frac{x-3}{\sqrt{x}} \right) \cdot \left( \frac{(x^{\frac{1}{2}}) \cdot (1) – (x-3) \cdot (\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2})}{(x^{\frac{1}{2}})^2} \right)$$

Simplificando algebraicamente, obtenemos

$$ \frac{d}{dx}(s^n) = 2 \cdot \left( \frac{x-3}{\sqrt{x}} \right) \cdot \left(\frac{x^{\frac{1}{2}} – \frac{x-3}{2x^{\frac{1}{2}}}}{x} \right)$$

$$\frac{d}{dx}(f(x)) = 2 \cdot \left( \frac{x-3}{\sqrt{x}} \right) \cdot \left(\frac{\frac{2x-(x-3)}{2x^{\frac{1}{2}}}}{x} \right)$$

$$f'(x) = 2 \cdot \left( \frac{x-3}{\sqrt{x}} \right) \cdot \left( \frac{x+3}{2x \sqrt{x}} \right)$$

$$f'(x) = \frac{2(x-3)(x+3)}{2x^2}$$

$$f'(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{x^2}$$

Y la respuesta final es:

$$f'(x) = \frac{x^2-9}{x^2}$$


Regla del cociente – Ejercicios para resolver

Resuelve los siguientes problemas de derivación y prueba tus conocimientos sobre este tema. Usa la fórmula de la regla del cociente detallada arriba para resolver los ejercicios. Si tienes problemas con estos ejercicios, puedes estudiar los ejemplos resueltos anteriormente.

Encuentra la derivada de $latex f(x) = \frac{x^2+5}{x-4}$.

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¿Cuál es la derivada de $latex f(x) = \frac{\ln{(x)}}{15x^5}$?

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Deriva $latex y = \frac{4 \tan{(x)}}{1 – \tan^{2}{(x)}}$

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Deriva $latex \frac{(9x^3+3x)^4}{\sin^{2}{5x}}$

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Encuentra la derivada de $latex \frac{x^x}{\ln{(e^{2^x})}}$

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