Regla del Cociente de Derivadas – Ejercicios Resueltos

Los ejercicios de derivación que involucran el cociente de funciones se pueden resolver usando la fórmula de la regla del cociente. Esta fórmula nos permite derivar un cociente de funciones como $latex \frac{f}{g} (x) = \frac{f(x)}{g(x)}$.

Aquí, veremos el resumen de la regla del cociente. Además, exploraremos varios ejercicios con respuestas para comprender la aplicación de la fórmula de la regla del cociente.

CÁLCULO
Fórmula para la regla del cociente de derivadas

Relevante para

Explorar la regla del cociente de las derivadas con ejercicios.

Ver ejercicios

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Fórmula para la regla del cociente de derivadas

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Resumen de la regla del cociente

La regla del cociente es una fórmula muy útil para derivar cocientes de funciones. Es una regla que establece que la derivada de un cociente de dos funciones es igual a la función en el denominador g(x) multiplicada por la derivada del numerador f(x) restada al numerador f(x) multiplicada por la derivada del denominador g(x), todo dividido por el cuadrado del denominador g(x).

Esto nos da la fórmula de la regla del cociente como:

$$\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{g(x) \hspace{1.15 pt} \cdot \hspace{1.15 pt} f'(x) \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} f(x) \hspace{1.15 pt} \cdot \hspace{1.15 pt} g'(x)}{( \hspace{1.15 pt} g(x) \hspace{1.15 pt} )^2}$$

o en una forma más corta, se puede ilustrar como:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{vu’ \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} uv’}{v^2}$$

donde $latex u = f(x)$ es el numerador/dividendo del problema dado y $latex v = g(x)$ es el denominador/divisor del problema dado.

Puedes usar cualquiera de estas dos formas de la fórmula de la regla del producto según tus preferencias.

Usamos esta fórmula para derivar funciones que tienen la siguiente forma:

$$\frac{f}{g}(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$$

o

$$F(x) = \frac{u}{v}$$

donde $latex f(x)$ o $latex u$ es el numerador/dividendo mientras que $latex g(x)$ y $latex v$ es el denominador/divisor del problema dado.

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Regla del cociente – Ejercicios resueltos

EJERCICIO 1

Deriva lo siguiente:

$$f(x) = \frac{x^3}{x-5}$$

Tenemos $latex x^3$ como numerador/dividendo y $latex x-5$ como denominador/divisor.

Con base en la fórmula de la regla del cociente, $latex u$ es el numerador y $latex v$ es el denominador. Por lo tanto, tenemos

$latex u = x^3$
$latex v = x-5$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$

A continuación, derivamos $latex u$ y $latex v$ individualmente y luego sustituyamos por la fórmula de la regla del cociente más adelante:

$latex u = x^3$
$latex u’ = 3x^2$

$latex v = x-5$
$latex v’ = 1$

Al sustituir $latex u$, $latex v$, $latex u’$ y $latex v’$ en la fórmula de la regla del cociente, tenemos:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(x-5) \cdot (3x^2) – (x^3) \cdot (1)}{(x-5)^2}$$

Simplificando algebraicamente, obtenemos

$$f'(x) = \frac{(3x^3 – 15x^2) – (x^3)}{(x^2-10x+25)}$$

Y la respuesta final es:

$$f'(x) = \frac{2x^3 – 15x^2}{x^2-10x+25}$$

EJERCICIO 2

¿Cuál es la derivada de lo siguiente?

$$f(x) = \frac{6x^3}{\ln{(x)}}$$

Basado en lo dado, tenemos $latex 6x^3$ como numerador/dividendo y $latex \ln{(x)}$ como denominador/divisor. Por lo tanto, tenemos

$latex u = 6x^3$
$latex v = \ln{(x)}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$

A continuación, derivamos $latex u$ y $latex v$ individualmente:

$latex u = 6x^3$
$latex u’ = 18x^2$

$latex v = \ln{(x)}$
$latex v’ = \frac{1}{x}$

Al sustituir $latex u$, $latex v$, $latex u’$ y $latex v’$ en la fórmula de la regla del cociente, tenemos:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(\ln{(x)}) \cdot (18x^2) – (6x^3) \cdot (\frac{1}{x})}{(\ln{(x)})^2}$$

Simplificando, obtenemos

$$f'(x) = \frac{18x^2 \ln{(x)} – \frac{6x^3}{x}}{(\ln{(x)})^2}$$

Y la respuesta final es:

$$f'(x) = \frac{18x^2 \ln{(x)} – 6x^2}{(\ln{(x)})^2}$$

EJERCICIO 3

Deriva la siguiente función:

$$f(x) = \frac{5x^5-x^4}{30x-12x^2}$$

$latex u$ es el numerador y $latex v$ es el denominador. Por lo tanto, tenemos

$latex u = 5x^5-x^4$
$latex v = 30x-12x^2$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$

A continuación, derivamos $latex u$ y $latex v$ individualmente y luego sustituimos por la fórmula de la regla del cociente más adelante:

$latex u = 5x^5-x^4$
$latex u’ = 25x^4-4x^3$

$latex v = 30x-12x^2$
$latex v’ = 30-24x$

Al usar la regla del cociente, tenemos:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(30x-12x^2) \cdot (25x^4-4x^3) – (5x^5-x^4) \cdot (30-24x)}{(30x-12x^2)^2}$$

Simplificando, obtenemos

$$f'(x) = \frac{(-300x^6+798x^5-120x^4) – (-120x^6+174x^5-30x^4)}{9x^4-72x^3+144x^2}$$

$$f'(x) = \frac{-180x^6+624x^5-90x^4}{9x^4-72x^3+144x^2}$$

$$f'(x) = \frac{-(180x^6-624x^5+90x^4)}{9x^4-72x^3+144x^2}$$

Y la respuesta final es:

$$f'(x) = -\frac{180x^6-624x^5+90x^4}{9x^4-72x^3+144x^2}$$

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EJERCICIO 4

Encuentra la derivada de la siguiente función:

$$f(x) = \frac{x^2}{e^{2x}}$$

Basado en lo dado, tenemos $latex u=x^2$ como numerador/dividendo y $latex v=e^{(2x)}$ como denominador/divisor. Por lo tanto, tenemos

$latex u = x^2$
$latex v = e^{2x}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$

Las derivadas de $latex u$ y $latex v$ son:

$latex u = x^2$
$latex u’ = 2x$

$latex v = e^{2x}$
$latex v’ = 2e^{2x}$

Al sustituir $latex u$, $latex v$, $latex u’$ y $latex v’$ en la fórmula de la regla del cociente, tenemos:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(e^{2x}) \cdot (2x) – (x^2) \cdot (2e^{2x})}{(e^{2x})^2}$$

Simplificando, tenemos:

$$f'(x) = \frac{(2xe^{2x}) – (2x^2 e^{2x})}{(e^{2x})^2}$$

$$f'(x) = \frac{2xe^{2x}}{(e^{2x})^2} – \frac{2x^2 e^{2x}}{(e^{2x})^2}$$

$$f'(x) = \frac{2x}{e^{2x}} – \frac{2x^2}{e^{2x}}$$

Y la respuesta final es:

$$f'(x) = \frac{2x – 2x^2}{e^{2x}}$$

EJERCICIO 5

¿Cuál es la derivada de f(x)?

$$f(x) = \frac{\sin{(x)}}{\tan{(x)}}$$

$latex u$ es el numerador y $latex v$ es el denominador. Por lo tanto, tenemos

$latex u = \sin{(x)}$
$latex v =\tan{(x)}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$

A continuación, derivamos $latex u$ y $latex v$ individualmente:

$latex u = \sin{(x)}$
$latex u’ = \cos{(x)}$

$latex v=\tan{(x)}$
$latex v’ = \sec^{2}{(x)}$

Ahora, podemos usar la fórmula de la regla del cociente para derivar nuestro problema dado:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(\sin{(x)}) \cdot (\sec^{2}{(x)}) – (\tan{(x)}) \cdot (\cos{(x)})}{(\tan{(x)})^2}$$

Simplificando algebraicamente y aplicando identidades trigonométricas, obtenemos

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(\sin{(x)}) \cdot (\frac{1}{cos^{2}{(x)}}) – (\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}) \cdot (\cos{(x)})}{\tan^{2}{(x)}}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}) \cdot (\frac{1}{cos{(x)}}) – (\sin{(x)}}{\tan^{2}{(x)}}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{\tan{(x)} \cdot \sec{(x)} – \sin{(x)}}{\tan^{2}{(x)}}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{\tan{(x)} \sec{(x)}}{\tan^{2}{(x)}} – \frac{\sin{(x)}}{\tan^{2}{(x)}}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{\tan{(x)} \sec{(x)}}{\tan^{2}{(x)}} – \frac{\sin{(x)}}{(\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}})^2}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{sec{(x)}}{\tan{(x)}} – \frac{\sin{(x)} \cos^{2}{(x)}}{\sin^{2}{(x)}}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = \left[\frac{\frac{1}{\cos{(x)}}}{\frac{\cos{(x)}}{\sin{(x)}}}\right] – \left[\sin{(x)} \cdot \frac{cos^{2}{(x)}}{sin^{2}{(x)}}\right]$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{\cos{(x)}}{\cos{(x)} \cdot \sin{(x)}} – \frac{cos^{2}{(x)}}{sin{(x)}}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{1}{\sin{(x)}} – \frac{\sin^{2}{(x)}-1}{sin{(x)}}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{1 – \sin^{2}{(x)} – 1}{sin{(x)}}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{-\sin^{2}{(x)}}{sin{(x)}}$$

Y la respuesta final es:

$latex f'(x) = -sin{(x)}$

EJERCICIO 6

Deriva la función f(x):

$$f(x) = \frac{\sqrt[5]{x^3}}{x^5+3x^2-4x}$$

Basado en lo dado, tenemos $latex u=\sqrt[5]{x^3}$ como numerador/dividendo y $latex v=x^5+3x^2-4x$ como denominador/divisor.

$latex u = \sqrt[5]{x^3}=x^{\frac{3}{5}}$

$latex v = x^5+3x^2-4x$

$latex f(x) = \frac{u}{v}$

A continuación, derivemos $latex u$ y $latex v$ individualmente y luego sustituyamos por la fórmula de la regla del cociente más adelante:

$$u = x^{\frac{3}{5}}$$
$$ u’ = \frac{3}{5} x^{-\frac{2}{5}}$$

$latex v = x^5+3x^2-4x$
$latex v’ = 5x^4+6x-4$

Ahora, podemos usar la fórmula de la regla del cociente para derivar nuestro problema dado:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(x^5+3x^2-4x) \cdot \left( \frac{3}{5} x^{-\frac{2}{5}} \right) – \left(x^{\frac{3}{5}} \right) \cdot (5x^4+6x-4)}{(x^5+3x^2-4x)^2}$$

Simplificando, tenemos:

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{\left( \frac{3}{5} x^{\frac{23}{5}}+\frac{9}{5} x^{\frac{8}{5}}-\frac{12}{5} x^{\frac{3}{5}} \right) – \left( 5x^{\frac{23}{5}}+6x^{\frac{8}{5}}-4x^{\frac{3}{5}} \right)}{(x^5+3x^2-4x)^2}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{\frac{22}{5} x^{\frac{23}{5}}-\frac{21}{5} x^{\frac{8}{5}}+\frac{8}{5} x^{\frac{3}{5}}}{(x^5+3x^2-4x)^2}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{\frac{-22 x^{\frac{23}{5}} – 21 x^{\frac{8}{5}} + 8 x^{\frac{3}{5}}}{5}}{(x^5+3x^2-4x)^2}$$

Y la respuesta final es:

$$f'(x) = \frac{8 \sqrt[5]{x^3} -22 \sqrt[5]{x^{23}} – 21 \sqrt[5]{x^8}}{5(x^5+3x^2-4x)^2}$$
en forma radical

EJERCICIO 7

¿Cuál es la derivada de la función dada?

$$f(x) = \frac{\ln{(x)}}{\cos{(x)}}$$

En este caso, tenemos:

$latex u = \ln{(x)}$
$latex v = \cos{(x)}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$

A continuación, derivemos $latex u$ y $latex v$ individualmente:

$latex u = \ln{(x)}$
$latex u’ = \frac{1}{x}$

$latex v = \cos{(x)}$
$latex v’ = -\sin{(x)}$

Después de hacer esto, podemos usar la fórmula de la regla del cociente para derivar nuestro problema dado:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(\cos{(x)}) \cdot (\frac{1}{x}) – (\ln{(x)}) \cdot (-\sin{(x)})}{(\cos{(x)})^2}$$

Simplificando la expresión obtenida, tenemos:

$$f'(x) = \frac{(\frac{\cos{(x)}}{x}) – (-\sin{(x)} \ln{(x)})}{(\cos{(x)})^2}$$

$$f'(x) = \frac{\frac{\cos{(x)}}{x}) + \sin{(x)} \ln{(x)}}{(\cos{(x)})^2}$$

$$f'(x) = \frac{\frac{\cos{(x)}}{x}) + \frac{x \sin{(x)} \ln{(x)}}{x}}{\cos^{2}{(x)}}$$

Y la respuesta final es:

$$f'(x) = \frac{\cos{(x)} + x \sin{(x)} \ln{(x)} }{x \cos^{2}{(x)}}$$

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EJERCICIO 8

Encuentra la derivada de la función dada:

$$f(x) = \frac{x^3}{\sin^{2}{(x)}}$$

$latex u$ es el numerador y $latex v$ es el denominador, por lo que tenemos

$latex u = x^3$
$latex v = \sin^{2}{(x)}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$

Ahora, vamos a derivar a $latex u$ y $latex v$ individualmente y luego sustituyamos por la fórmula de la regla del cociente más adelante:

$latex u = x^3$
$latex u’ = 3x^2$

$latex v = \sin^{2}{(x)}$
$latex v’ = 2 \sin{(x)} \cos{(x)}$

Al sustituir $latex u$, $latex v$, $latex u’$ y $latex v’$ en la fórmula de la regla del cociente, tenemos:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

$$ \frac{d}{dx}f(x) = \frac{(\sin^{2}{(x)}) \cdot (3x^2) – (x^3) \cdot (2 \sin{(x)} \cos{(x)})}{(\sin^{2}{(x)})^2}$$

Simplificando algebraicamente y aplicando algunas identidades trigonométricas, obtenemos

$$f'(x) = \frac{(3x^2 \sin^{2}{(x)}) – (2x^3 \sin{(x)} \cos{(x)})}{\sin^{4}{(x)}}$$

$$f'(x) = \frac{3x^2 \sin^{2}{(x)}}{\sin^{4}{(x)}} – \frac{2x^3 \sin{(x)} \cos{(x)}}{\sin^{4}{(x)}}$$

$$f'(x) = \frac{3x^2}{\sin^{2}{(x)}} – \frac{2x^3 \cos{(x)}}{\sin^{3}{(x)}}$$

$$f'(x) = 3x^2 \csc^{2}{(x)} – 2x^3 \cdot \frac{\cos{(x)}}{\sin{(x)}} \cdot \frac{1}{\sin^{2}{(x)}}$$

Y la respuesta final es:

$$f'(x) = 3x^2 \csc^{2}{(x)} – 2x^3 \cot{(x)} \csc^{2}{(x)}$$

EJERCICIO 9

¿Cuál es la derivada de la siguiente función?

$$f(x) = \frac{5x^x}{\cos{(3x)}}$$

Podemos observar lo siguiente:

$latex u = 5x^x$
$latex v = \cos{(3x)}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$

Encontrando las derivadas de $latex u$ y $latex v$, tenemos:

$latex u = 5x^x$
$latex u’ = 5x^x \ln{(x)} + 5x^x$

$latex v = \cos{(3x)}$
$latex v’ = -3 \sin{(3x)}$

Al sustituir $latex u$, $latex v$, $latex u’$ y $latex v’$ en la fórmula de la regla del cociente, tenemos:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) =\frac{(\cos{(3x)}) \cdot (5x^x \ln{(x)} + 5x^x) – (5x^x) \cdot (-3 \sin{(3x)})}{(\cos{(3x)})^2}$$

Simplificando algebraicamente y aplicando algunas identidades trigonométricas, obtenemos

$$f'(x) =\frac{(5x^x \cos{(3x)} \ln{(x)} + 5x^x \cos{(3x)}) – (-15x^x \sin{(3x)})}{\cos^{2}{(3x)}}$$

$$f'(x) =\frac{5x^x \cos{(3x)} \ln{(x)} + 5x^x \cos{(3x)} + 15x^x \sin{(3x)}}{\cos^{2}{(3x)}}$$

$$f'(x) = \frac{5x^x \cos{(3x)} \ln{(x)}}{\cos^{2}{(3x)}}+ \frac{5x^x \cos{(3x)}}{\cos^{2}{(3x)}} + \frac{15x^x \sin{(3x)}}{\cos^{2}{(3x)}}$$

$$ f'(x) = 5x^x \ln{(x)} \cdot \frac{1}{\cos{(3x)}}+ 5x^x \cdot \frac{1}{\cos{(3x)}} + 15x^x \cdot \frac{\sin{(3x)}}{\cos{(3x)}} \cdot \frac{1}{\cos{(3x)}}$$

Y la respuesta final es:

$$f'(x) = 5x^x \ln{(x)} \sec{(3x)} + 5x^x \sec{(3x)}+ 15x^x \sec{(3x)} \tan{(3x)}$$

EJERCICIO 10

Encuentra la derivada de la función dada:

$$f'(x) = \frac{x^{e^x}}{e^{\sin{(x)}}}$$

Tenemos $latex x^{e^x}$ como numerador/dividendo y $latex e^{\sin{(x)}}$ como denominador/divisor. Por lo tanto, tenemos

$latex u = x^{e^x}$
$latex v = e^{\sin{(x)}}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$

A continuación, derivemos $latex u$ y $latex v$ individualmente y luego sustituyamos por la fórmula de la regla del cociente más adelante:

$latex u = x^{e^x}$
$latex u’ = x^{e^x} e^x \ln{(x)} + \frac{x^{e^x} e^x}{x}$

$latex v = e^{\sin{(x)}}$
$latex v’ = e^{\sin{(x)}} \cos{(x)}$

Al sustituir $latex u$, $latex v$, $latex u’$ y $latex v’$ en la fórmula de la regla del cociente, tenemos:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) =\frac{(e^{\sin{(x)}}) \cdot (x^{e^x} e^x \ln{(x)} + \frac{x^{e^x} e^x}{x}) – (x^{e^x}) \cdot (e^{\sin{(x)}} \cos{(x)})}{(e^{\sin{(x)}})^2}$$

Simplificando algebraicamente y aplicando algunas identidades trigonométricas, obtenemos

$$ \frac{d}{dx}f(x) = \frac{(e^{\sin{(x)}}) \cdot (x^{e^x} e^x \ln{(x)} + \frac{x^{e^x} e^x}{x})}{(e^{\sin{(x)}})^2}– \frac{(x^{e^x}) \cdot (e^{\sin{(x)}} \cos{(x)})}{(e^{\sin{(x)}})^2}$$

$$ \frac{d}{dx}f(x) = \frac{\frac{x^{e^x} (xe^x \ln{(x)} + e^x)}{x} – x^{e^x} \cos{(x)}}{e^{\sin{(x)}}}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{\frac{x^{e^x} (xe^x \ln{(x)} + e^x) – x^{e^x} (x \cos{(x)})}{x}}{e^{\sin{(x)}}}$$

$$f'(x) = \frac{x^{e^x} (xe^x \ln{(x)} + e^x) – x^{e^x} (x \cos{(x)})}{xe^{\sin{(x)}}}$$

Y la respuesta final es:

$$f'(x) = \frac{x^{e^x} \left[ (e^x (x \ln{(x)} + 1)) – x \cos{(x)} \right]}{xe^{\sin{(x)}}}$$


Regla del cociente – Ejercicios para resolver

Práctica de regla del cociente
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Encuentra la derivada de la siguiente función y determina el valor de $latex f^{\prime}(1)$. $$f(x) = \left( \frac{x-3}{\sqrt{x}} \right)^2$$

Escribe la respuesta en la casilla.

$latex f^{\prime}(1)=$
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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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