Regla del Cociente – Ejercicios Resueltos y para Resolver

Lo primero que debemos hacer es escribir la fórmula de la regla del cociente para nuestra referencia:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

Basado en lo dado, tenemos $latex x^2$ como numerador/dividendo y $latex e^{(2x)}$ como denominador/divisor.

Según la fórmula de la regla del cociente, $latex u$ es el numerador y $latex v$ es el denominador. Por lo tanto, tenemos

$latex u = x^2$
$latex v = e^{2x}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$

Ahora, podemos usar la fórmula de la regla del cociente para derivar nuestro problema dado:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{v \cdot \frac{d}{dx}(u) – u \cdot \frac{d}{dx}(v)}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(e^{2x}) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) – (x^2) \cdot \frac{d}{dx}(e^{2x})}{(e^{2x})^2}$$

A continuación, derivamos $latex u$ y $latex v$ individualmente y luego sustituimos por la fórmula de la regla del cociente más adelante:

$latex u = x^2$
$latex u’ = 2x$

$latex v = e^{2x}$
$latex v’ = 2e^{2x}$

Al sustituir $latex u$, $latex v$, $latex u’$ y $latex v’$ en la fórmula de la regla del cociente, tenemos:

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(e^{2x}) \cdot (2x) – (x^2) \cdot (2e^{2x})}{(e^{2x})^2}$$

Simplificando algebraicamente, obtenemos

$$f'(x) = \frac{(2xe^{2x}) – (2x^2 e^{2x})}{(e^{2x})^2}$$

$$f'(x) = \frac{2xe^{2x}}{(e^{2x})^2} – \frac{2x^2 e^{2x}}{(e^{2x})^2}$$

$$f'(x) = \frac{2x}{e^{2x}} – \frac{2x^2}{e^{2x}}$$

Y la respuesta final es:

$$f'(x) = \frac{2x – 2x^2}{e^{2x}}$$

Siempre es recomendable escribir primero la fórmula de la regla del cociente para nuestra referencia:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

Basado en lo dado, tenemos $latex \ln{(x)}$ como numerador/dividendo y $latex \cos{(x)}$ como denominador/divisor.

Con base en la fórmula de la regla del cociente, $latex u$ es el numerador y $latex v$ es el denominador. Por lo tanto, tenemos

$latex u = \ln{(x)}$
$latex v = \cos{(x)}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$

Después de hacer esto, podemos usar la fórmula de la regla del cociente para derivar nuestro problema dado:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{v \cdot \frac{d}{dx}(u) – u \cdot \frac{d}{dx}(v)}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(\cos{(x)}) \cdot \frac{d}{dx}(\ln{(x)}) – (\ln{(x)}) \cdot \frac{d}{dx}(\cos{(x)})}{(\cos{(x)})^2}$$

A continuación, derivemos $latex u$ y $latex v$ individualmente y luego sustituyamos en la fórmula de la regla del cociente más adelante:

$latex u = \ln{(x)}$
$latex u’ = \frac{1}{x}$

$latex v = \cos{(x)}$
$latex v’ = -\sin{(x)}$

Al sustituir $latex u$, $latex v$, $latex u’$ y $latex v’$ en la fórmula de la regla del cociente, tenemos:

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(\cos{(x)}) \cdot (\frac{1}{x}) – (\ln{(x)}) \cdot (-\sin{(x)})}{(\cos{(x)})^2}$$

Simplificando algebraicamente, obtenemos

$$f'(x) = \frac{(\frac{\cos{(x)}}{x}) – (-\sin{(x)} \ln{(x)})}{(\cos{(x)})^2}$$

$$f'(x) = \frac{\frac{\cos{(x)}}{x}) + \sin{(x)} \ln{(x)}}{(\cos{(x)})^2}$$

$$f'(x) = \frac{\frac{\cos{(x)}}{x}) + \frac{x \sin{(x)} \ln{(x)}}{x}}{\cos^{2}{(x)}}$$

Y la respuesta final es:

$$f'(x) = \frac{\cos{(x)} + x \sin{(x)} \ln{(x)} }{x \cos^{2}{(x)}}$$

Comencemos escribiendo la fórmula de la regla del cociente para nuestra referencia:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

Tenemos $latex x^3$ como numerador/dividendo y $latex \sin^{2}{(x)}$ como denominador/divisor.

$latex u$ es el numerador y $latex v$ es el denominador, por lo que tenemos

$latex u = x^3$
$latex v = \sin^{2}{(x)}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$

Después de hacer esto, podemos usar la fórmula de la regla del cociente para derivar nuestro problema dado:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{v \cdot \frac{d}{dx}(u) – u \cdot \frac{d}{dx}(v)}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(\sin^{2}{(x)}) \cdot \frac{d}{dx}(x^3) – (x^3) \cdot \frac{d}{dx}(\sin^{2}{(x)})}{(\sin^{2}{(x)})^2}$$

A continuación, derivemos $latex u$ y $latex v$ individualmente y luego sustituyamos por la fórmula de la regla del cociente más adelante:

$latex u = x^3$
$latex u’ = 3x^2$

$latex v = \sin^{2}{(x)}$
$latex v’ = 2 \sin{(x)} \cos{(x)}$

Al sustituir $latex u$, $latex v$, $latex u’$ y $latex v’$ en la fórmula de la regla del cociente, tenemos:

$$ \frac{d}{dx}f(x) = \frac{(\sin^{2}{(x)}) \cdot (3x^2) – (x^3) \cdot (2 \sin{(x)} \cos{(x)})}{(\sin^{2}{(x)})^2}$$

Simplificando algebraicamente y aplicando algunas identidades trigonométricas, obtenemos

$$f'(x) = \frac{(3x^2 \sin^{2}{(x)}) – (2x^3 \sin{(x)} \cos{(x)})}{\sin^{4}{(x)}}$$

$$f'(x) = \frac{3x^2 \sin^{2}{(x)}}{\sin^{4}{(x)}} – \frac{2x^3 \sin{(x)} \cos{(x)}}{\sin^{4}{(x)}}$$

$$f'(x) = \frac{3x^2}{\sin^{2}{(x)}} – \frac{2x^3 \cos{(x)}}{\sin^{3}{(x)}}$$

$$f'(x) = 3x^2 \csc^{2}{(x)} – 2x^3 \cdot \frac{\cos{(x)}}{\sin{(x)}} \cdot \frac{1}{\sin^{2}{(x)}}$$

Y la respuesta final es:

$$f'(x) = 3x^2 \csc^{2}{(x)} – 2x^3 \cot{(x)} \csc^{2}{(x)}$$

Primero, debemos escribir la fórmula de la regla del cociente para nuestra referencia:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

Basado en lo dado, tenemos $latex 5x^x$ como numerador/dividendo y $latex \cos{(3x)}$ como denominador/divisor.

Por lo tanto, tenemos

$latex u = 5x^x$
$latex v = \cos{(3x)}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$

Ahora, podemos usar la fórmula de la regla del cociente para derivar nuestro problema dado:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{v \cdot \frac{d}{dx}(u) – u \cdot \frac{d}{dx}(v)}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) =\frac{(\cos{(3x)}) \cdot \frac{d}{dx}(5x^x) – (5x^x) \cdot \frac{d}{dx}(\cos{(3x)})}{(\cos{(3x)})^2}$$

A continuación, derivamos $latex u$ y $latex v$ individualmente y luego sustituimos en la fórmula de la regla del cociente más adelante:

$latex u = 5x^x$
$latex u’ = 5x^x \ln{(x)} + 5x^x$

$latex v = \cos{(3x)}$
$latex v’ = -3 \sin{(3x)}$

Al sustituir $latex u$, $latex v$, $latex u’$ y $latex v’$ en la fórmula de la regla del cociente, tenemos:

$$\frac{d}{dx}f(x) =\frac{(\cos{(3x)}) \cdot (5x^x \ln{(x)} + 5x^x) – (5x^x) \cdot (-3 \sin{(3x)})}{(\cos{(3x)})^2}$$

Simplificando algebraicamente y aplicando algunas identidades trigonométricas, obtenemos

$$f'(x) =\frac{(5x^x \cos{(3x)} \ln{(x)} + 5x^x \cos{(3x)}) – (-15x^x \sin{(3x)})}{\cos^{2}{(3x)}}$$

$$f'(x) =\frac{5x^x \cos{(3x)} \ln{(x)} + 5x^x \cos{(3x)} + 15x^x \sin{(3x)}}{\cos^{2}{(3x)}}$$

$$f'(x) = \frac{5x^x \cos{(3x)} \ln{(x)}}{\cos^{2}{(3x)}}+ \frac{5x^x \cos{(3x)}}{\cos^{2}{(3x)}} + \frac{15x^x \sin{(3x)}}{\cos^{2}{(3x)}}$$

$$ f'(x) = 5x^x \ln{(x)} \cdot \frac{1}{\cos{(3x)}}+ 5x^x \cdot \frac{1}{\cos{(3x)}} + 15x^x \cdot \frac{\sin{(3x)}}{\cos{(3x)}} \cdot \frac{1}{\cos{(3x)}}$$

Y la respuesta final es:

$$f'(x) = 5x^x \ln{(x)} \sec{(3x)} + 5x^x \sec{(3x)}+ 15x^x \sec{(3x)} \tan{(3x)}$$

Escribimos la fórmula de la regla del cociente para nuestra referencia:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

Tenemos $latex x^{e^x}$ como numerador/dividendo y $latex e^{\sin{(x)}}$ como denominador/divisor. Por lo tanto, tenemos

$latex u = x^{e^x}$
$latex v = e^{\sin{(x)}}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$

Ahora, podemos usar la fórmula de la regla del cociente para derivar nuestro problema dado:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{v \cdot \frac{d}{dx}(u) – u \cdot \frac{d}{dx}(v)}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) =\frac{(e^{\sin{(x)}}) \cdot \frac{d}{dx}(x^{e^x}) – (x^{e^x}) \cdot \frac{d}{dx}(e^{\sin{(x)}})}{(e^{\sin{(x)}})^2}$$

A continuación, derivemos $latex u$ y $latex v$ individualmente y luego sustituyamos por la fórmula de la regla del cociente más adelante:

$latex u = x^{e^x}$
$latex u’ = x^{e^x} e^x \ln{(x)} + \frac{x^{e^x} e^x}{x}$

$latex v = e^{\sin{(x)}}$
$latex v’ = e^{\sin{(x)}} \cos{(x)}$

Al sustituir $latex u$, $latex v$, $latex u’$ y $latex v’$ en la fórmula de la regla del cociente, tenemos:

$$\frac{d}{dx}f(x) =\frac{(e^{\sin{(x)}}) \cdot (x^{e^x} e^x \ln{(x)} + \frac{x^{e^x} e^x}{x}) – (x^{e^x}) \cdot (e^{\sin{(x)}} \cos{(x)})}{(e^{\sin{(x)}})^2}$$

Simplificando algebraicamente y aplicando algunas identidades trigonométricas, obtenemos

$$ \frac{d}{dx}f(x) = \frac{(e^{\sin{(x)}}) \cdot (x^{e^x} e^x \ln{(x)} + \frac{x^{e^x} e^x}{x})}{(e^{\sin{(x)}})^2}– \frac{(x^{e^x}) \cdot (e^{\sin{(x)}} \cos{(x)})}{(e^{\sin{(x)}})^2}$$

$$ \frac{d}{dx}f(x) = \frac{\frac{x^{e^x} (xe^x \ln{(x)} + e^x)}{x} – x^{e^x} \cos{(x)}}{e^{\sin{(x)}}}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{\frac{x^{e^x} (xe^x \ln{(x)} + e^x) – x^{e^x} (x \cos{(x)})}{x}}{e^{\sin{(x)}}}$$

$$f'(x) = \frac{x^{e^x} (xe^x \ln{(x)} + e^x) – x^{e^x} (x \cos{(x)})}{xe^{\sin{(x)}}}$$

Y la respuesta final es:

$$f'(x) = \frac{x^{e^x} \left[ (e^x (x \ln{(x)} + 1)) – x \cos{(x)} \right]}{xe^{\sin{(x)}}}$$

Para nuestra referencia, escribimos la fórmula de la regla del cociente:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

Tenemos $latex \cos{(x)}$ como numerador/dividendo y $latex \sin^{x}{(x)}$ como denominador/divisor. Por lo tanto, tenemos

$latex u = \cos{(x)}$
$latex v = \sin^{x}{(x)}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$

Ahora, podemos usar la fórmula de la regla del cociente para derivar nuestro problema dado:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{v \cdot \frac{d}{dx}(u) – u \cdot \frac{d}{dx}(v)}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}f(x) =\frac{(\sin^{x}{(x)}) \cdot \frac{d}{dx}(\cos{(x)}) – (\cos{(x)}) \cdot \frac{d}{dx}(\sin^{x}{(x)})}{(\sin^{x}{(x)})^2}$$

A continuación, derivemos $latex u$ y $latex v$ individualmente y luego sustituyamos por la fórmula de la regla del cociente más adelante:

$latex u = \cos{(x)}$
$latex u’ = -\sin{(x)}$

$latex v = \sin^{x}{(x)}$
$latex v’ = x \cot{(x)} \sin^{x}{(x)} + \sin^{x}{(x)} \ln{(\sin{(x)})}$

Al sustituir $latex u$, $latex v$, $latex u’$ y $latex v’$ en la fórmula de la regla del cociente, tenemos:

$$\frac{d}{dx}f(x) =\frac{(\sin^{x}{(x)}) \cdot (-\sin{(x)}) – (\cos{(x)}) \cdot (x \cot{(x)} \sin^{x}{(x)} + \sin^{x}{(x)} \ln{(\sin{(x)})})}{(\sin^{x}{(x)})^2}$$

Simplificando algebraicamente y aplicando algunas identidades trigonométricas, obtenemos

$$\frac{d}{dx}f(x) =\frac{(-\sin{(x)} \sin^{x}{(x)}) – (x \cos{(x)} \cot{(x)} \sin^{x}{(x)} + \cos{(x)} \sin^{x}{(x)} \ln{(\sin{(x)})})}{\sin^{2x}{(x)}}$$

$$ f'(x) =\frac{-\sin{(x)} \sin^{x}{(x)} – x \cos{(x)} \cot{(x)} \sin^{x}{(x)} – \cos{(x)} \sin^{x}{(x)} \ln{(\sin{(x)})}}{\sin^{2x}{(x)}}$$

$$f'(x) = \frac{-\sin{(x)} \sin^{x}{(x)}}{\sin^{2x}{(x)}} – \frac{x \cos{(x)} \cot{(x)} \sin^{x}{(x)}}{\sin^{2x}{(x)}}– \frac{\cos{(x)} \sin^{x}{(x)} \ln{(\sin{(x)})}}{\sin^{2x}{(x)}}$$

$$f'(x) = \frac{-\sin{(x)}}{\sin^{x}{(x)}} – \frac{x \cos{(x)} \cot{(x)}}{\sin^{x}{(x)}}– \frac{\cos{(x)} \ln{(\sin{(x)})}}{\sin^{x}{(x)}}$$

$$f'(x) = \frac{-\sin{(x)} – x \cos{(x)} \cot{(x)} – \cos{(x)} \ln{(\sin{(x)})}}{\sin^{x}{(x)}}$$

$$f'(x) = -\frac{\sin{(x)} + x \cos{(x)} \cot{(x)} + \cos{(x)} \ln{(\sin{(x)})}}{\sin^{x}{(x)}}$$

Y la respuesta final es:

$$f'(x) = -\frac{\sin{(x)} + \cos{(x)} \cdot (x \cot{(x)} + \ln{(\sin{(x)})})}{\sin^{x}{(x)}}$$

En este problema específico, usaremos las fórmulas de la regla de la cadena y la regla del cociente como las dos fórmulas principales para derivar este problema:

Fórmula de la regla de la cadena:

$$\frac{d}{dx}(s^n) = ns^{n-1} s’$$

Fórmula de la regla del cociente:

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

Tenemos

$$s = \frac{u}{v}$$

$$s = \frac{x-3}{\sqrt{x}}$$

$$s^n = \left( \frac{u}{v} \right)^n$$

$$s^n = \left( \frac{x-3}{\sqrt{x}} \right)^2$$

$latex s^n = f(x)$

$$ \frac{d}{dx}(s^n) = \frac{d}{dx}(f(x))$$

Entonces, aplicando la fórmula de la regla de la cadena a nuestro problema, tenemos

$$\frac{d}{dx}(s^n) = n \cdot s^{n-1} \cdot \frac{d}{dx}(s)$$

$$\frac{d}{dx}(s^n) = n \cdot \left( \frac{u}{v} \right)^{n-1} \cdot \frac{d}{dx}\left( \frac{u}{v} \right)$$

$$\frac{d}{dx}(s^n) = 2 \cdot \left( \frac{x-3}{\sqrt{x}} \right)^{2-1} \cdot \frac{d}{dx}\left( \frac{x-3}{\sqrt{x}} \right)$$

$$\frac{d}{dx}(f(x)) = 2 \cdot \left( \frac{x-3}{\sqrt{x}} \right) \cdot \frac{d}{dx}\left( \frac{x-3}{\sqrt{x}} \right)$$

El próximo paso que haremos será derivar $latex s$, que en este caso, ahora usaremos la fórmula de la regla del cociente. Al hacerlo, tenemos

$latex u$ es el numerador y $latex v$ es el denominador de $latex s$. Entonces,

$latex u = x-3$
$latex v = \sqrt{x}$
$latex \frac{d}{dx}(s) = \frac{u}{v}$

Ahora, podemos usar la fórmula de la regla del cociente para derivar $latex s$:

$$\frac{d}{dx}(s) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}(s) = \frac{v \cdot \frac{d}{dx}(u) – u \cdot \frac{d}{dx}(v)}{v^2}$$

$$\frac{d}{dx}(s) = \frac{(\sqrt{x}) \cdot \frac{d}{dx}(x-3) – (x-3) \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x})}{(\sqrt{x}}$$

A continuación, derivemos $latex u$ y $latex v$ individualmente y luego sustituyamos la fórmula de la regla del cociente para $latex \frac{d}{dx}(s)$ más adelante:

$latex u = x-3$
$latex u’ = 1$

$latex v = \sqrt{x}$
$latex v = x^{\frac{1}{2}}$
$latex v’ = \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}$

Sustituyendo $latex u$, $latex v$, $latex u’$ y $latex v’$ en $latex \frac{d}{dx}(s)$, tenemos:

$$\frac{d}{dx}(s) = \frac{(x^{\frac{1}{2}}) \cdot (1) – (x-3) \cdot (\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2})}{(x^{\frac{1}{2}})^2}$$

Finalmente, el último paso que debemos hacer es sustituir $latex \frac{d}{dx}(s)$ en $latex \frac{d}{dx}(s^n)$, que también es $latex \frac{d}{dx}(f(x))$:

$$\frac{d}{dx}(f(x)) = 2 \cdot \left( \frac{x-3}{\sqrt{x}} \right) \cdot \frac{d}{dx}\left( \frac{x-3}{\sqrt{x}} \right)$$

Si es que

$$\frac{d}{dx}(s) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x-3}{\sqrt{x}} \right)$$

y

$$\frac{d}{dx}(s) = \frac{(x^{\frac{1}{2}}) \cdot (1) – (x-3) \cdot (\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2})}{(x^{\frac{1}{2}})^2}$$

entonces, tenemos

$$\frac{d}{dx}(s^n) = 2 \cdot \left( \frac{x-3}{\sqrt{x}} \right) \cdot \left( \frac{(x^{\frac{1}{2}}) \cdot (1) – (x-3) \cdot (\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2})}{(x^{\frac{1}{2}})^2} \right)$$

Simplificando algebraicamente, obtenemos

$$ \frac{d}{dx}(s^n) = 2 \cdot \left( \frac{x-3}{\sqrt{x}} \right) \cdot \left(\frac{x^{\frac{1}{2}} – \frac{x-3}{2x^{\frac{1}{2}}}}{x} \right)$$

$$\frac{d}{dx}(f(x)) = 2 \cdot \left( \frac{x-3}{\sqrt{x}} \right) \cdot \left(\frac{\frac{2x-(x-3)}{2x^{\frac{1}{2}}}}{x} \right)$$

$$f'(x) = 2 \cdot \left( \frac{x-3}{\sqrt{x}} \right) \cdot \left( \frac{x+3}{2x \sqrt{x}} \right)$$

$$f'(x) = \frac{2(x-3)(x+3)}{2x^2}$$

$$f'(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{x^2}$$

Y la respuesta final es:

$$f'(x) = \frac{x^2-9}{x^2}$$