Regla de la cadena para integrales con Ejercicios

La regla de la cadena para integrales es una regla de integración obtenida a partir de la regla de la cadena de derivadas. Esta regla es usada para integrar funciones de la forma f'(x)[f(x)]n.

A continuación, conoceremos cómo encontrar integrales de funciones usando la regla de la cadena para integrales. Luego, veremos algunos ejemplos en donde aplicaremos esta regla.

CÁLCULO
Fórmula de la regla de la cadena de integrales

Relevante para

Aprender sobre la regla de la cadena de integrales.

Ver ejercicios

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Fórmula de la regla de la cadena de integrales

Relevante para

Aprender sobre la regla de la cadena de integrales.

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Fórmula de la regla de la cadena de integrales

La fórmula de la regla de la cadena de integrales es la siguiente:

$$\int f'(x)[f(x)]^ndx=\frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1}+c$$

Podemos entender esta fórmula al considerar a la función $latex f(x)=(x^2+1)^4$. Usando la regla de la cadena de derivadas, encontramos que su derivada es:

$latex f'(x)=8x(x^2+1)^3$

Esto significa que podemos escribir de la siguiente forma:

$$\int 8x(x^2+1)^3dx=(x^2+1)^4+c$$

Ahora, podemos reconocer que el integrando $latex 8x(x^2+1)^3$ es de la forma $latex f'(x)[f(x)]^n$.

En este ejemplo tenemos $latex f(x)=x^2+1$, $latex f'(x)=2x$ y $latex n=3$.

Para mirar otro ejemplo, consideremos a la integral $latex \int x(3x^2-2)^5dx$. En este caso, observamos que la derivada de $latex (3x^2-2)$ es $latex 6x$. Además, tenemos el término $latex x$ fuera de la función principal $latex (3x^2-2)^5$.

Esto significa que consideramos a $latex (3x^2-2)^6$, lo cual al ser diferenciado nos da $latex 36x(3x^2-2)^5$. Entonces, tenemos:

$$\int x(3x^2-2)^5=\frac{1}{36}(3x^2-2)^6+c$$


Ejercicios resueltos de la regla de la cadena de integrales

EJERCICIO 1

Encuentra la siguiente integral:

$$\int (x-2)^2dx$$

Solución

EJERCICIO 2

Resuelve la siguiente integral:

$$\int x(3x^2+6)^4dx$$

Solución

EJERCICIO 3

Encuentra la siguiente integral:

$$\int 4x^2(x^3-3)^5dx$$

Solución

EJERCICIO 4

¿Cuál es el resultado de la siguiente integral?

$$\int (x+2)(x^2+4x-1)^3dx $$

Solución

EJERCICIO 5

Encuentra la siguiente integral:

$$ \int \frac{4x}{(3-x^2)^2}dx$$

Solución

EJERCICIO 6

¿Cuál es el resultado de la siguiente integral?

$$ \int \frac{x}{\sqrt{x^2+3}}dx$$

Solución

Regla de la cadena de integrales – Ejercicios para resolver

Práctica de la regla de la cadena de integrales
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Al resolver la siguiente integral, el resultado puede ser expresado como fracción. ¿Cuál es el numerador? $$\int \frac{25x^4}{(3-x^5)^2}dx$$

Escribe el numerador en la casilla.

$latex =$

Véase también

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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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