Propiedades de los Logaritmos Naturales

Las propiedades de los logaritmos naturales son importantes, ya que nos ayudan a simplificar y resolver problemas de logaritmos que a primera vista parecen muy complicados. Los logaritmos naturales son denotados como ln. Estos logaritmos tienen una base de e. Recordemos que la letra e representa a una constante matemática conocida como el exponente natural. El valor de e es aproximadamente 2.71828.

e aparece en muchas aplicaciones en matemáticas e incluso otras áreas. Debido a que e es usada muy comúnmente en matemáticas y economía, las personas que trabajan en estas áreas muchas veces tienen que tomar el logaritmo con una base de e de un número para resolver una ecuación o encontrar un valor, por lo que el logaritmo natural fue creado como un atajo para escribir y calcular el logaritmo con base e.

ÁLGEBRA
grafica de funcion logaritmo natural

Relevante para

Conocer las propiedades de los logaritmos naturales.

Ver propiedades

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grafica de funcion logaritmo natural

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Conocer las propiedades de los logaritmos naturales.

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Las cuatro propiedades claves de los logaritmos naturales

Propiedad del producto

La propiedad del producto de logaritmos nos dice que podemos escribir al logaritmo de un producto como la suma de los logaritmos individuales de sus factores:

propiedad del producto de logaritmos naturales

Prueba de esta propiedad

Podemos empezar con $latex x=\ln(p)$ y $latex y=\ln(q)$. Si es que ahora escribimos a estas ecuaciones en su forma exponencial, tenemos:

⇒  $latex {{e}^x}=p$

⇒  $latex {{e}^y}=q$

Podemos multiplicar a los términos exponenciales p y para obtener:

$latex {{e}^x}\times {{e}^y}=pq$

Tenemos potencias con la misma base, por lo que aplicamos la regla del producto de exponentes para sumar los exponentes y combinar la base:

$latex {{e}^{x+y}}=pq$

Si es que ahora tomamos el logaritmo natural a ambos lados, tenemos:

$latex \ln({{e}^{x+y}})=\ln(pq)$

Aplicando la propiedad de la potencia de logaritmos (la cual veremos más adelante), tenemos:

$latex (x+y)\ln(e)=\ln(pq)$

$latex (x+y)=\ln(pq)$

Podemos sustituir los valores originales de x y y en la ecuación obtenida:

$latex \ln(p)+\ln(q)=\ln(pq)$

Propiedad del cociente

La propiedad del cociente de logaritmos naturales nos dice que, si es que tenemos un logaritmo de un cociente, podemos reescribirlo como el logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador:

propiedad del cociente de logaritmos naturales

Prueba de esta propiedad

Empezamos con las ecuaciones $latex x=\ln(p)$ y $latex y=\ln(q)$. Si es que las reescribimos en su forma exponencial, tenemos:

⇒  $latex {{e}^x}=p$

⇒  $latex {{e}^y}=q$

Al dividir a los términos exponenciales p y q, tenemos:

$latex \frac{{{e}^x}} {{{e}^y}}=\frac{p}{q}$

Podemos usar la ley del cociente de exponentes para simplificar la expresión de la izquierda:

$latex {{e}^{x-y}}=\frac{p}{q}$

Si es que tomamos el logaritmo natural de ambos lados, tenemos:

$latex \ln({{e}^{x-y}})=\ln(\frac{p}{q})$

Al aplicar la regla de la potencia de logaritmos (la cual veremos más adelante), tenemos:

$latex (x-y)\ln(e)=\ln(\frac{p}{q})$

$latex (x-y)=\ln(\frac{p}{q})$

Al sustituir los valores originales de x y y en la ecuación obtenida, tenemos:

$latex \ln(p)-\ln(q)=\ln(\frac{p}{q})$

Propiedad de la potencia

La propiedad de la potencia de logaritmos naturales nos dice que podemos reescribir al logaritmo de un argumento exponencial de la siguiente manera:

propiedad de la potencia de logaritmos naturales

Prueba de esta propiedad

Empezamos con $latex x=\ln(p)$ y la reescribimos en su forma exponencial:

⇒  $latex {{e}^x}=p$

Si es que elevamos a la potencia de n a ambos lados de la ecuación, tenemos:

$latex {{({{e}^x})}^n}={{p}^n}$

⇒  $latex {{e}^{xn}}={{p}^n}$

Ahora, tomamos el logaritmo natural de ambos lados:

$latex \ln({{e}^{xn}})=\ln({{p}^n})$

$latex xn~\ln(e)=\ln({{p}^n})$

$latex xn=\ln({{p}^n})$

Sustituyendo el valor original de x en la ecuación obtenida, tenemos:

$latex n~\ln(p)=\ln({{p}^n})$

Propiedad recíproca

El logaritmo natural del recíproco de x es el opuesto del logaritmo natural de x:

propiedad reciproca de logaritmos naturales

Ejemplo:

$latex \ln(\frac{1}{3})=-\ln(3)$


Otras propiedades importantes de los logaritmos naturales

Adicional a las cuatro propiedades de los logaritmos naturales detalladas arriba, existen otras propiedades importantes de estos logaritmos que necesitamos conocer si es que estamos estudiando a los logaritmos naturales.

Es recomendable memorizarse estas propiedades para poder simplificar y resolver problemas logarítmicos fácilmente.

Logaritmo natural de un número negativo

El logaritmo natural de cualquier número negativo está indefinido.

Logaritmo natural de cero

El logaritmo natural de cero, es decir, $latex \ln(0)$ también está indefinido:

propiedad de logaritmo natural de cero

Logaritmo natural de uno

El logaritmo natural de 1 es igual a cero:

propiedad de logaritmo natural de uno

Logaritmo natural de infinito

El logaritmo natural de infinito es igual a infinito:

propiedad de logaritmo natural de infinito

Logaritmo natural de e

El logaritmo natural del número natural, e, es igual a 1:

propiedad de logaritmo natural de e

Propiedad del logaritmo del exponente

El logaritmo de e exponencial es igual al exponente:

propiedad del logaritmo natural del exponente

Propiedad del exponente de un logaritmo

Elevar a e al logaritmo natural de un número es igual al número:

propiedad del exponente de un logaritmo

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¿Cuál es la diferencia entre los logaritmos naturales y otros logaritmos?

La diferencia principal entre los logaritmos naturales y otros logaritmos es la base que está siendo usada. Los logaritmos típicamente usan una base de 10 (aunque podría ser otro valor, el cual sería especificado), mientras que los logaritmos siempre usan una base de e. Esto significa que podemos escribir:

$latex \ln(x)=\log_{e}(x)$

Si es que necesitas convertir entre logaritmos y logaritmos naturales, puedes usar las siguientes dos ecuaciones:

$latex \log_{10}(x)=\frac{\ln (x)}{\ln (10)}$

$latex \ln(x)=\frac{\log_{10} (x)}{\log_{10} (e)}$

Aparte de la diferencia en la base (la cual sí es una diferencia grande), las leyes de los logaritmos y las leyes de los logaritmos naturales son las mismas.


Véase también

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