Los polígonos estrellados son formados cuando extendemos los lados de un polígono y esos lados intersecan los unos con los otros. El número de veces que los lados intersecan fuera del polígono determina el grado del polígono estrellado.

A continuación, aprenderemos más detalles sobre los polígonos estrellados. Usaremos diagramas y varios ejemplos para entender los conceptos.

GEOMETRÍA
diagramas polígonos estrellados 7dodecaedro

Relevante para

Aprender sobre los polígonos estrellados con diagramas.

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Proceso de estelación

Estelación es el proceso de construir poliedros al extender los lados de los polígonos hasta que se crucen. Si es que los lados nunca se intersecan en un punto fuera del polígono, el polígono no puede ser estelado.

Por ejemplo, la estelación de un hexágono regular se muestra en la siguiente imagen.

diagramas polígonos estrellados 1 hexagono

Ahora, pensemos en cuál de los siguientes polígonos no puede ser estelado:

• Cuadrado
• Pentágono regular
• Octágono regular
• Decágono regular

La respuesta es un cuadrado. Al extender los lados de un cuadrado, formamos líneas paralelas que nunca se cruzan en un punto.

diagramas polígonos estrellados 2 cuadrado

Estelaciones de n orden

Una estelación de primer orden de un polígono extiende los lados hasta que las líneas se cruzan por primera vez fuera del polígono. Una estelación de n orden extiende los lados de un polígono hasta que las líneas intersecan n veces en cada dirección.

Por  ejemplo, el siguiente diagrama muestra una estelación de segundo orden, ya que las líneas que salen del polígono se intersecan dos veces.

diagramas polígonos estrellados 3 hexagono

Podemos determinar la medida del ángulo x usando el siguiente diagrama:

diagramas polígonos estrellados 4

Dado que el octágono es regular, los ángulos interiores del octágono miden 135°. Entonces, en el diagrama tenemos que a=135°. Dado que a y b son una pareja lineal, b=180°-135°=45°. Esto implica que cada triángulo de la estelación es un triángulo isósceles rectángulo, con ángulos rectos.

Los ángulos de un cuadrilátero suman 360°, por lo tanto, y=360°-90°-90°-135°=45°.

Finalmente, dado que y y x son una pareja lineal, tenemos x=180°-45°=135°.

Ahora, veamos otras formas de formar polígonos estrellados. Si es que empezamos con un cuadrado y luego colocamos un cuadrado congruente rotado por 45°, generaremos un octágono estelado de primer orden.

diagramas polígonos estrellados 5 octaedro

Si es que empezamos con un triángulo equilátero y colocamos múltiples copias rotadas por 30° formaremos un dodecágono (12 lados). Si es que rotamos 30°, después de 120° de rotación, el triángulo estará sobreponiéndose en el triángulo original. Eso significa que hay (120°)/(30°)=4 triángulos equiláteros, los cuales forman un polígono con 3×4=12 lados.

diagramas polígonos estrellados 7dodecaedro

La figura es un polígono estelado de tercer orden, ya que las puntas de los triángulos están en la tercera intersección.


Ejemplos de polígonos estrellados

EJEMPLO 1

La siguiente imagen es un polígono regular con área A, y ese mismo hexágono es estelado para formar una estrella. ¿Cuál es el área de la estrella?

diagramas polígonos estrellados 8 hexágono
diagramas polígonos estrellados 9 hexágono

Solución: Un hexágono regular puede ser dividido en triángulos equiláteros. Todos los ángulos serán de 60°.

Las estelaciones también son triángulos equiláteros. Dado que cada ángulo del hexágono regular original es \frac{((6-2)180^{\circ})}{6}=120°, los ángulos de los triángulos exteriores deben ser 180°-120°=60°.

diagramas polígonos estrellados 10 hexágono

Dado que los triángulos son iguales, el área del pentágono original y la suma de áreas de los triángulos exteriores son las mismas. Entonces, el área total es 2A.

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EJEMPLO 2

¿Qué fracción del área total del pentágono estelado representa la región verde?

diagramas polígonos estrellados 11 pentágono

Solución: Cada parte de la figura en la región verde tiene una parte congruente en la región blanca. Estas partes están marcadas en la figura.

diagramas polígonos estrellados 12 pentágono

Debido a esto, el área de la región verde es exactamente la mitad del área de la figura entera.

EJEMPLO 3

Un octágono regular con perímetro de 8 unidades es estelado para formar una estrella como se muestra en la siguiente imagen. ¿Cuál es el perímetro de la estrella?

diagramas polígonos estrellados 13 octágono

Solución: 8√2

diagramas polígonos estrellados 14 octágono

Dado que el octágono es regular, cada uno de los triángulos exteriores es un triángulo rectángulo isósceles con una hipotenusa de 8/8=1.

Los lados de la estrella son congruentes. Podemos usar x para representar la longitud de sus lados y usando el teorema de Pitágoras, tenemos:

{{x}^2}+{{x}^2}={{1}^2}

{{2x}^2}=1

{{x}^2}=\frac{1}{2}

x=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

Dado que la estrella tiene 16 lados, significa que el perímetro es 16\times \frac{\sqrt{2}}{2}=8\sqrt{2}.


Véase también

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