La paradoja del cuadrado perdido es una ilusión óptica encontrada en matemáticas que es usada para aprender a razonar usando los axiomas de geometría y descripciones textuales en vez de simplemente basarnos en las figuras geométricas. La paradoja constituye de dos triángulos rectángulos con dimensiones 13×5, pero uno de los triángulos tiene un cuadrado hueco de 1×1.

A continuación, aprenderemos sobre la solución a esta paradoja.

GEOMETRÍA
animación de la paradoja del cuadrado perdido

Relevante para

Aprender a resolver la paradoja del cuadrado perdido.

Ver paradoja

GEOMETRÍA
animación de la paradoja del cuadrado perdido (1)

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Aprender a resolver la paradoja del cuadrado perdido.

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Paradoja del cuadrado perdido

PAradoja del cuadrado perdido 1

En la imagen de arriba tenemos un triángulo con dimensiones 13×5 que es formado por 4 polígonos. Si es que reorganizamos los polígonos, obtenemos la siguiente figura:

PAradoja del cuadrado perdido 2

Ambas figuras son formadas por los mismos 4 polígonos, pero podemos ver que la segunda figura tiene un cuadrado 1×1 perdido.

Ambos figuras tienen una altura de 5 unidades y una base de 15. El área de un triángulo puede ser calculada usando la fórmula A=1/2 bh, en donde, b es la longitud de la base y h es la altura del triángulo. Entonces, tenemos:

A=1/2×13×5=32.5


Solución a la paradoja del cuadrado perdido

Para encontrar la solución a esta paradoja, podemos empezar determinando el área de cada uno de los polígonos que conforman a la siguiente figura:

PAradoja del cuadrado perdido 1

Las áreas de los triángulos pueden ser calculadas usando A=1/2 bh y las áreas de las otras figuras pueden ser calculadas al dividirlas en rectángulos o simplemente al contar el número de cuadrados en cada figura.

El área del triángulo azul es 1/2×5×2=5.

El área del triángulo rojo es 1/2×8×3=12.

El área del polígono amarillo es 7.

El área del polígono verde es 8.

El área total de estas figuras es 32. Ten en cuenta que esto es menos que el área del triángulo con dimensiones 13×5. El área de todos los polígonos en la figura de arriba es igual a 32, sin embargo, el área del triángulo con dimensiones 13×5 es 32.5.

Esto nos dice que estamos cometiendo un error en algún lado, ya que el área de las figuras no puede cambiar de la nada.

Ahora, vamos a calcular las pendientes de las hipotenusas de los triángulos azul y rojo separadamente y luego las sumaremos.

La altura del triángulo rojo es 3 y la longitud de su base es 8, por lo que la pendiente del triángulo rojo es 3/8.

La altura del triángulo azul es 2 y la longitud de su base es 5, por lo que la pendiente del triángulo azul es 2/5.

Al sumar estas pendientes, tenemos 3/8+2/5=31/40.

Las pendientes de los triángulos azul y rojo no son las mismas. Esto significa que la hipotenusa de la figura no es una línea recta, lo que significa que las figuras no son triángulos. La figura 1 tiene una pendiente que es curvada ligeramente hacia adentro y la figura 2 tiene una pendiente que es curvada ligeramente hacia afuera. Al comparar estas figuras, vemos que las hipotenusas no coinciden.

PAradoja del cuadrado perdido 3

Paradoja del cuadrado perdido y números Fibonacci

Vimos que, ninguna de las figuras es en realidad un triángulo y la diferencia entre sus áreas es exactamente 1.

Podemos hacer la observación que las longitudes de los lados de los polígonos que forman las figuras, 2, 3, 5 y 8, son números Fibonacci sucesivos.

PAradoja del cuadrado perdido 4

Resulta que podemos recrear la paradoja del cuadrado perdido usando cualesquier 4 números Fibonacci consecutivos para construir los triángulos en una manera análoga. Por ejemplo, en las figuras de abajo tenemos los números Fibonacci 1, 1, 2, 3. Podemos reorganizar el rectángulo para crear un hueco de área 1. Sin embargo, en esta ocasión, la ilusión es menos convincente, ya que las pendientes son notoriamente diferentes.

PAradoja del cuadrado perdido 5

Véase también

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