La multiplicación escalar de matrices es una operación esencial del álgebra lineal y se utiliza en diversos campos. Para resolver una multiplicación de una matriz por un escalar, simplemente tenemos que multiplicar cada entrada o elemento de la matriz por el escalar.
En este artículo, exploraremos el concepto de multiplicación escalar y cómo funciona. También resolveremos varios ejercicios para aplicar los conceptos aprendidos.
¿Cómo multiplicar matrices por un escalar?
Para multiplicar una matriz por un escalar, solo tenemos que multiplicar cada elemento de la matriz por el escalar.
La siguiente es la fórmula general para la multiplicación escalar de una matriz:
Dado un escalar «k» y una matriz «m x n» A, la multiplicación escalar de $latex A$ por $latex k$ se define como:
$$ k \times A = [k \times a_{ij}]$$
en donde $latex i = 1,~2,~…,~m$ y $latex j = 1,~2,~…,~n$
En otras palabras, cada elemento $latex a_{ij}$ de la matriz $latex A$ se multiplica por el escalar $latex k$, lo que da como resultado una nueva matriz con las mismas dimensiones que A.
Veamos un ejemplo para comprender mejor este concepto:
Supongamos que tenemos la matriz $latex A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$ y queremos multiplicarla por el escalar $latex k = 2$. La matriz resultante será:
$$k \times A = 2 \times \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$$
$$ = \begin{bmatrix} 2\times 2 & 2\times 3 \\ 2\times 4 & 2\times 5\end{bmatrix}$$
$$ = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 8 & 10 \end{bmatrix}$$
Ejercicios resueltos de multiplicación de matrices por un escalar
EJERCICIO 1
Hallar el resultado de la multiplicación de la siguiente matriz 2×2 por $latex k=4$:
$$A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 7 & 2 \end{pmatrix}$$
Solución
Para multiplicar una matriz por un escalar, multiplicamos cada elemento de la matriz por el escalar.
Dada la matriz $latex A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 7 & 2 \end{pmatrix}$ y el escalar $latex k=4$, realizamos las siguientes operaciones:
- Multiplicamos el primer elemento (superior izquierdo) de la matriz por $latex k$: $latex 3 \\times 4 = 12$.
- Multiplicamos el segundo elemento (superior derecho) de la matriz por $latex k$: $latex 5 \\times 4 = 20$.
- Multiplicamos el tercer elemento (inferior izquierdo) de la matriz por $latex k$: $latex 7 \\times 4 = 28$.
- Multiplicamos el cuarto elemento (inferior derecho) de la matriz por $latex k$: $latex 2 \\times 4 = 8$.
Ahora, podemos construir la matriz resultante colocando los resultados de estas multiplicaciones en sus respectivas posiciones:
$$A’ = \begin{pmatrix} 12 & 20 \ 28 & 8 \end{pmatrix}$$
EJERCICIO 2
Multiplica a la matriz B por el escalar $latex m=2$:
$$B = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$$
Solución
En el ejercicio anterior, vimos cómo resolver este tipo de multiplicación paso a paso. Ahora, vamos a simplificar este proceso.
Distribuimos la multiplicación escalar multiplicando a cada elemento de la matriz por $latex m$:
$$2 \times \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix} 2\times6 & 2\times(-3) \\ 2\times1 & 2\times4 \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix} 12 & -6 \\ 2 & 8 \end{pmatrix}$$
EJERCICIO 3
Encuentra el resultado de la multiplicación de la siguiente matriz por el escalar $latex n=-3$:
$$C = \begin{pmatrix} 0 & 9 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$$
Solución
Realizamos la multiplicación escalar multiplicando cada elemento de la matriz por $latex n$:
$$-3 \times \begin{pmatrix} 0 & 9 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} -3\times0 & -3\times9 \\ -3\times(-5) & -3\times3 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} 0 & -27 \\ 15 & -9 \end{pmatrix}$$
EJERCICIO 4
Si es que multiplicamos a la siguiente matriz por el escalar $latex p=3$, ¿cuál es el resultado?
$$D = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 7 \end{pmatrix}$$
Solución
En este caso, tenemos una matriz 3×3, pero el proceso para resolver la multiplicación es el mismo. Solo tenemos que distribuir la multiplicación a cada elemento:
$$3 \times \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 7 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} 3\times2 & 3\times4 & 3\times6 \\ 3\times1 & 3\times3 & 3\times5 \\ 3\times0 & 3\times1 & 3\times7 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} 6 & 12 & 18 \\ 3 & 9 & 15 \\ 0 & 3 & 21 \end{pmatrix}$$
EJERCICIO 5
Multiplica a la matriz 3×3 por el escalar $latex q=-2$:
$$E = \begin{pmatrix} -2 & 5 & 1 \\ 0 & 3 & 6 \\ 8 & -4 & 2 \end{pmatrix}$$
Solución
Multiplicamos a cada elemento de la matriz E por el escalar $latex q=-2$:
$$-2 \times \begin{pmatrix} -2 & 5 & 1 \\ 0 & 3 & 6 \\ 8 & -4 & 2 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} -2\times(-2) & -2\times5 & -2\times1 \\ -2\times0 & -2\times3 & -2\times6 \\ -2\times8 & -2\times(-4) & -2\times2 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} 4 & -10 & -2 \\ 0 & -6 & -12 \\ -16 & 8 & -4 \end{pmatrix}$$
EJERCICIO 6
Multiplica a la matriz F por el escalar $latex r=0.5$:
$$F = \begin{pmatrix} 9 & 6 & 3 \\ 5 & 7 & 1 \\ 4 & 8 & 2 \end{pmatrix}$$
Solución
Distribuyendo la multiplicación del escalar $latex r=0.5$ a cada elemento de la matriz F, tenemos:
$$0.5 \times \begin{pmatrix} 9 & 6 & 3 \\ 5 & 7 & 1 \\ 4 & 8 & 2 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} 0.5\times9 & 0.5\times6 & 0.5\times3 \\ 0.5\times5 & 0.5\times7 & 0.5\times1 \\ 0.5\times4 & 0.5\times8 & 0.5\times2 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} 4.5 & 3 & 1.5 \\ 2.5 & 3.5 & 0.5 \\ 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}$$
EJERCICIO 7
Multiplica a la matriz G por el escalar $latex s=2$ y luego, suma la matriz H:
$$G = \begin{pmatrix} 2 & 7 & 4 \\ 3 & 1 & 5 \\ 6 & 2 & 9 \end{pmatrix}$$
$$H = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$
Solución
Primero, multiplicamos a la matriz G por el escalar $latex s=2$:
$$2 \times \begin{pmatrix} 2 & 7 & 4 \\ 3 & 1 & 5 \\ 6 & 2 & 9 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} 2\times2 & 2\times7 & 2\times4 \\ 2\times3 & 2\times1 & 2\times5 \\ 2\times6 & 2\times2 & 2\times9 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} 4 & 14 & 8 \\ 6 & 2 & 10 \\ 12 & 4 & 18 \end{pmatrix}$$
Ahora sumamos la matriz resultante a la matriz $latex H$:
$$\begin{pmatrix} 4 & 14 & 8 \\ 6 & 2 & 10 \\ 12 & 4 & 18 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} 4+1 & 14+3 & 8+2 \\ 6+0 & 2+1 & 10+4 \\ 12+3 & 4+0 & 18+2 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} 5 & 17 & 10 \\ 6 & 3 & 14 \\ 15 & 4 & 20 \end{pmatrix}$$
EJERCICIO 8
Encuentra el resultado de la resta $latex I-J$ y luego multiplica la matriz resultante por el escalar $latex t=-1$:
$$I = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 3 \\ 1 & 6 & 2 \\ 7 & 3 & 1 \end{pmatrix}$$
$$ J = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$
Solución
Restando la matriz $latex J$ de la matriz $latex I$, tenemos:
$$\begin{pmatrix} 5 & 8 & 3 \\ 1 & 6 & 2 \\ 7 & 3 & 1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} 5-2 & 8-4 & 3-1 \\ 1-1 & 6-2 & 2-0 \\ 7-3 & 3-1 & 1-1 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 0 & 4 & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}$
Ahora, multiplicamos la matriz resultante por el escalar $latex t=-1$:
$$-1 \times \begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 0 & 4 & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} -1\times3 & -1\times4 & -1\times2 \\ -1\times0 & -1\times4 & -1\times2 \\ -1\times4 & -1\times2 & -1\times0 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} -3 & -4 & -2 \\ 0 & -4 & -2 \\ -4 & -2 & 0 \end{pmatrix}$$
Ejercicios de multiplicación de matrices 2×2 por un escalar para resolver
Encuentra el valor de $latex m_{22}$ si tenemos que M = 7×A.
$$A=\begin{bmatrix}8 & 21\\32 & -23\end{bmatrix}$$
Escribe la respuesta en la casilla.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
