Las matrices 2×3 son matrices con dos filas y tres columnas. Por otro lado, las matrices 3×2 son matrices con tres filas y dos columnas. Para multiplicar estas matrices, multiplicamos a los elementos de las filas de la primera matriz por los elementos de las columnas de la segunda matriz.
A continuación, conocemos los pasos que podemos seguir para multiplicar matrices 2×3 y 3×2. Veremos varios ejercicios para aplicar estos conceptos.
ÁLGEBRA
Relevante para…
Aprender sobre multiplicación de matrices 2×3 y 3×2 con ejercicios.
ÁLGEBRA
Relevante para…
Aprender sobre multiplicación de matrices 2×3 y 3×2 con ejercicios.
¿Cómo multiplicar matrices 2×3 por matrices 3×2?
Para multiplicar una matriz 2×3 por una matriz 3×2, el número de columnas de la primera matriz (3) debe coincidir con el número de filas de la segunda matriz (3).
La matriz resultante tendrá el mismo número de filas que la primera matriz (2) y el mismo número de columnas que la segunda matriz (2).
Supongamos que tenemos la matriz A, de 2×3, y la matriz B, de 3×2:
$$A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}$$
$$B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \end{pmatrix}$$
Para multiplicar este tipo de matrices y encontrar la matriz C, podemos seguir los siguientes pasos:
Paso 1: Multiplicamos la primera fila de la matriz A por la primera columna de la matriz B para encontrar el elemento $latex c_{11}$:
$$c_{11}=a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31}$$
Paso 2: Multiplicamos la primera fila de la matriz A por la segunda columna de la matriz B para encontrar el elemento $latex c_{12}$:
$$c_{11}=a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32}$$
Paso 3: Repetimos los pasos 1 y 2 para la segunda fila de la matriz A y tenemos:
$$C = \begin{bmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32}\\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32} \end{bmatrix}$$
La matriz resultante es el producto de las dos matrices 3×3.
$$\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22}\end{pmatrix}$$
Nota: Ten en cuenta que la multiplicación de matrices no es conmutativa, lo que significa que el orden de las matrices importa. Es decir, AxB no es necesariamente lo mismo que BxA.
Ejercicios resueltos de multiplicación de matrices 2×3 y 3×2
EJERCICIO 1
Multiplica las matrices A y B para encontrar el producto M:
$$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 7 & 8\\9 & 10\\11 & 12\end{bmatrix}$$
Solución
Encontramos el término $latex m_{11}$ de la matriz M multiplicando a los elementos de la primera fila de la matriz A por los elementos de la primera columna de la matriz B. Entonces, tenemos:
$latex m_{11}=(1)(7) + (2)(9) + (3)(11)$
$latex m_{11}=7 + 18+33=58$
El término $latex m_{12}$ es encontrado al multiplicar a los elementos de la primera fila de la matriz A por los elementos de la segunda columna de la matriz B:
$latex m_{12}=(1)(8) + (2)(10) + (3)(12)$
$latex m_{12}=8+20+36=64$
Para encontrar al término $latex m_{21}$, tomamos la segunda fila de la matriz A y la primera columna de la matriz B:
$latex m_{21}=(4)(7) + (5)(9) + (6)(11)$
$latex m_{21}=28 + 45+ 66=139$
Para el término $latex m_{22}$, multiplicamos a los elementos de la segunda fila de la matriz A por los elementos correspondientes de la segunda columna de la matriz B:
$latex m_{22}=(4)(8) + (5)(10) + (6)(12)$
$latex m_{22}=32 + 50+ 72=154$
Entonces, tenemos:
$$M=\begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix}$$
EJERCICIO 2
Encuentra la matriz M resultante de la multiplicación AxB:
$$A=\begin{bmatrix} 3&4&-2\\4&2&-2 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 4&2\\-2&1\\1&2 \end{bmatrix}$$
Solución
Multiplicando a los elementos de cada fila de la primera matriz por los elementos correspondientes de cada columna de la segunda matriz, tenemos:
$$M=\begin{bmatrix} (3)(4) + (4)(-2) + (-2)(1) & (3)(2) + (4)(1) + (-2)(2)\\ (4)(4) + (2)(-2) + (-2)(1) & (4)(2) + (2)(1) + (-2)(2) \end{bmatrix}$$
$$M=\begin{bmatrix}2& 6\\10& 6 \end{bmatrix}$$
EJERCICIO 3
Encuentra el producto de la multiplicación A×B:
$$A=\begin{bmatrix} 4&2&-3\\5&4&3 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} -3&-5\\-3&2\\3&2 \end{bmatrix}$$
Solución
Para encontrar los elementos del producto, multiplicamos a los elementos de las matrices A y B de la siguiente forma:
$$M=\begin{bmatrix} (4)(-3) + (2)(-3) + (-3)(3) & (4)(-5) + (2)(2) + (-3)(2)\\ (5)(-3) + (4)(-3) + (3)(3) & (5)(-5) + (4)(2) + (3)(2) \end{bmatrix}$$
Cuando resolvemos estas operaciones, tenemos:
$$M=\begin{bmatrix} -27& -22\\-18& -11 \end{bmatrix}$$
EJERCICIO 4
Resuelve la multiplicación A×B.
$$A=\begin{bmatrix} 1&2&1\\0&8&7 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 10&5\\-13&-5\\2&1 \end{bmatrix}$$
Solución
Al multiplicar a las filas de la primera matriz por las columnas de la siguiente matriz, formamos lo siguiente:
$$M=\begin{bmatrix} (1)(10) + (2)(-13) + (1)(2) & (1)(5) + (2)(-5) + (1)(1)\\ (0)(10) + (8)(-13) + (7)(2) & (0)(5) + (8)(-5) + (7)(1) \end{bmatrix}$$
Cuando simplificamos, tenemos:
$$M=\begin{bmatrix} -14& -4\\-90& -33 \end{bmatrix}$$
EJERCICIO 5
¿Cuál es el resultado de multiplicar A×B?
$$A=\begin{bmatrix} -3&-4&3\\4&2&8 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 9& 2\\-3&-4\\5&4 \end{bmatrix}$$
Solución
Formamos una matriz de la siguiente forma:
$$M=\begin{bmatrix} (-3)(9) + (-4)(-3) + (3)(5) & (-3)(2) + (-4)(-4) + (3)(4)\\ (4)(9) + (2)(-3) + (8)(5) & (4)(2) + (2)(-4) + (8)(4) \end{bmatrix}$$
Al simplificar, tenemos:
$$M=\begin{bmatrix} 0& 22\\70& 32 \end{bmatrix}$$
EJERCICIO 6
Encuentra el resultado de la multiplicación A×B:
$$A=\begin{bmatrix} -6&-7&1\\-2&4&7 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 7& 5\\-5&-2\\6&4 \end{bmatrix}$$
Solución
Multiplicamos a los elementos de cada fila de la primera matriz por los elementos correspondientes de las columnas de la segunda matriz:
$$M=\begin{bmatrix}(-6)(7) + (-7)(-5) + (1)(6) & (-6)(5) + (-7)(-2) + (1)(4) \\ (-2)(7) + (4)(-5) + (7)(6) & (-2)(5) + (4)(-2) + (7)(4) \end{bmatrix} $$
Cuando resolvemos esto, tenemos:
$$M=\begin{bmatrix} -1& -12\\8& 10 \end{bmatrix}$$
EJERCICIO 7
Resuelve la multiplicación A×B:
$$A=\begin{bmatrix} -4&-5&6\\-3&5&8 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 5& 6\\-3&-4\\2&5 \end{bmatrix}$$
Solución
Podemos formar la siguiente matriz:
$$M=\begin{bmatrix} (-4)(5) + (-5)(-3) + (6)(2) & (-4)(6) + (-5)(-4) + (6)(5) \\ (-3)(5) + (5)(-3) + (8)(2) & (-3)(6) + (5)(-4) + (8)(5) \end{bmatrix} $$
Al simplificar, tenemos:
$$M=\begin{bmatrix} 7& 26\\-14& 2 \end{bmatrix}$$
Ejercicios de multiplicación de matrices 2×3 y 3×2 para resolver
Encuentra el valor de $latex m_{22}$ si tenemos que M = A×B.
$$A=\begin{bmatrix}-6&7&5\\7&3&5\end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix}3& 6\\4&-3\\-4&6\end{bmatrix}$$
Escribe la respuesta en la casilla.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre matrices? Puedes mirar estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
