La multiplicación de matrices de 2×2 es una operación fundamental del álgebra lineal que tiene numerosas aplicaciones. Para encontrar cada elemento de la matriz resultante, multiplicamos cada fila de la primera matriz por las columnas correspondientes de la segunda matriz y sumamos los productos.
En este artículo, exploraremos los conceptos y técnicas clave para resolver la multiplicación de matrices 2×2. Veremos varios ejercicios para dominar los conceptos.
ÁLGEBRA
Relevante para…
Aprender sobre multiplicación de matrices 2×2 con ejercicios.
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Aprender sobre multiplicación de matrices 2×2 con ejercicios.
¿Cómo multiplicar matrices 2×2?
Para multiplicar dos matrices 2×2, tenemos que multiplicar las filas de la primera matriz por las columnas correspondientes de la segunda matriz. Los productos son sumamos para encontrar cada elemento.
Podemos multiplicar dos matrices 2×2 siguiendo los siguientes pasos:
Paso 1: Escribimos a las matrices de la siguiente forma:
$$A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix}$$
Paso 2: Para hallar el primer elemento de la matriz resultante, multiplica la primera fila de la primera matriz por la primera columna de la segunda matriz y suma los productos. Por ejemplo:
$latex a \times e + b \times g = x$
La matriz resultante tendrá dimensiones 2×2, por lo que tendrá cuatro elementos.
Paso 3: Para encontrar los elementos restantes, repite el proceso con las filas y columnas restantes, y rellena los elementos de la matriz resultante de la siguiente manera:
$$A\times B= \begin{bmatrix} a \times e + b \times g & a \times f + b \times h \\ c \times e + d \times g & c \times f + d \times h \\ \end{bmatrix}$$
Ejercicios resueltos de multiplicación de matrices 2×2
EJERCICIO 1
Encuentra el producto A×B:
$$A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$$
Solución
Supongamos que nuestro producto es la matriz M = A×B.
Podemos encontrar al término $latex m_{11}$ al multiplicar a la primera fila de la matriz A por la primera columna de la matriz B. Entonces, tenemos:
$latex m_{11}=2 \times 5 + 1 \times 7$
Para el término $latex m_{12}$, multiplicamos a la primera fila de la matriz A por la segunda columna de la matriz B:
$latex m_{12}=2 \times 6 + 1 \times 8$
El término $latex m_{21}$ es encontrado al multiplicar a la segunda fila de la matriz A por la primera columna de la matriz B:
$latex m_{21}=3 \times 5 + 4 \times 7$
Y el término $latex m_{22}$ es encontrado al multiplicar a la segunda fila de la matriz A por la segunda columna de la matriz B:
$latex m_{22}=3 \times 6 + 4 \times 8$
Entonces, tenemos:
$$M=\begin{bmatrix} 2 \times 5 + 1 \times 7 & 2 \times 6 + 1 \times 8 \\ 3 \times 5 + 4 \times 7 & 3 \times 6 + 4 \times 8 \end{bmatrix}$$
$$M=\begin{bmatrix} 17 & 22 \\ 38 & 53 \end{bmatrix}$$
EJERCICIO 2
¿Cuál es el producto de la multiplicación B×A?
$$A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$$
Solución
Ahora que conocemos cómo calcular cada término de la matriz resultante de la multiplicación, simplemente podemos escribir así:
$$M=\begin{bmatrix} 5 \times 2 + 6 \times 3 & 5 \times 1 + 6 \times 4 \\ 7 \times 2 + 8 \times 3 & 7 \times 1 + 8 \times 4 \end{bmatrix}$$
$$M=\begin{bmatrix} 28 & 29 \\ 46 & 51 \end{bmatrix}$$
Podemos observar al comparar los ejercicios 1 y 2, que la multiplicación A×B no es igual a la multiplicación B×A. Es decir, el orden sí importa.
EJERCICIO 3
Encuentra la multiplicación A×B con las siguientes matrices:
$$A=\begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 0 & 5 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$$
Solución
Realizamos las operaciones para encontrar cada elemento de la matriz resultante:
$$M=\begin{bmatrix} -1 \times 0 + 3 \times -2 & -1 \times 5 + 3 \times 1 \\ 4 \times 0 + 2 \times -2 & 4 \times 5 + 2 \times 1 \end{bmatrix}$$
Simplificando esto, tenemos:
$$M=\begin{bmatrix} -6 & -2 \\ -4 & 22 \end{bmatrix}$$
EJERCICIO 4
Multiplica las siguientes matrices para encontrar el producto A×B
$$A=\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 0 & 4 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$$
Solución
Multiplicamos a las filas de la primera matriz por las columnas correspondientes de la segunda matriz:
$$M=\begin{bmatrix} 2 \times 0 + (-3) \times 2 & 2 \times 4 + (-3) \times 1 \\ 5 \times 0 + 1 \times 2 & 5 \times 4 + 1 \times 1 \end{bmatrix}$$
Ahora, simplificamos las operaciones y tenemos:
$$M=\begin{bmatrix} -6 & 5 \\ 2 & 21 \end{bmatrix}$$
EJERCICIO 5
Encuentra el producto A×B considerando las siguientes matrices:
$$A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 0 & 4 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$$
Solución
Para encontrar cada elemento de la matriz resultante, escribimos de la siguiente forma:
$$M=\begin{bmatrix} 2 \times 0 + 1 \times -2 & 2 \times 4 + 1 \times 3 \\ 3 \times 0 + (-1) \times -2 & 3 \times 4 + (-1) \times 3 \end{bmatrix}$$
Ahora, solo simplificamos:
$$M=\begin{bmatrix} -2 & 11 \\ 2 & 9 \end{bmatrix}$$
EJERCICIO 6
Multiplica las matrices para encontrar A×B:
$$A=\begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}$$
Solución
Multiplicamos las filas de la primera matriz por las columnas correspondientes de la segunda matriz:
$$M=\begin{bmatrix} 4 \times 0 + (-1) \times 1 & 4 \times 2 + (-1) \times 5 \\ 2 \times 0 + 3 \times 1 & 2 \times 2 + 3 \times 5 \end{bmatrix}$$
Al simplificar, nos queda:
$$M=\begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 3 & 16 \end{bmatrix}$$
EJERCICIO 7
Resuelve la multiplicación A×B con las siguientes matrices:
$$A=\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$$
Solución
Encontramos cada término de la nueva matriz de la siguiente forma:
$$M=\begin{bmatrix} 1 \times 0 + (-2) \times 2 & 1 \times 1 + (-2) \times 4 \\ 3 \times 0 + 0 \times 2 & 3 \times 1 + 0 \times 4 \end{bmatrix}$$
Y la matriz producto es:
$$M=\begin{bmatrix} -4 & -7 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$$
EJERCICIO 8
¿Cuál es el producto A×B?
$$A=\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 5 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -3 \end{bmatrix}$$
Solución
Para encontrar cada elemento de la matriz resultante, tenemos:
$$M=\begin{bmatrix} 3 \times 1 + (-1) \times 0 & 3 \times 2 + (-1) \times (-3) \\ -2 \times 1 + 5 \times 0 & -2 \times 2 + 5 \times (-3) \end{bmatrix}$$
Y al simplificar:
$$M=\begin{bmatrix} 3 & 9 \\ -2 & -13 \end{bmatrix}$$
EJERCICIO 9
Si es que tenemos lo siguiente, ¿cuáles son los valores de $latex a $ y $latex b$?
$$A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & b \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} a & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$$
$$A\times B= \begin{bmatrix} 10 & 1 \\ 10 & 3 \end{bmatrix}$$
Solución
Para encontrar el valor de $latex a$, podemos formar una ecuación con el proceso necesario para obtener el elemento $latex m_{11}$ de la matriz resultante.
Es decir, tenemos:
$latex m_{11}=2 \times a + 1 \times 2$
$latex 10=2 \times a + 1 \times 2$
Resolviendo para $latex a$:
$latex 10=2a+2$
$latex 2a=8$
$latex a=4$
Ahora, formamos una ecuación con el proceso requerido para encontrar $latex m_{22}$:
$latex m_{22}=1 \times 0 + b \times 1$
$latex 3=b$
EJERCICIO 10
Encuentra los valores de $latex p$ y $latex q$ considerando lo siguiente:
$$A=\begin{bmatrix} 2 & p\\ -1 & 4 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 5 & 1\\ q & -3 \end{bmatrix}$$
$$A\times B= \begin{bmatrix} 16 & -7 \\ 3 & -13 \end{bmatrix}$$
Solución
Formamos una ecuación para $latex m_{12}$:
$latex m_{12}=2 \times 1 + p \times -3$
$latex -7=2 + -3p$
Resolviendo para $latex p$:
$latex -3p=-9$
$latex p=3$
Ahora, formamos una ecuación para $latex m_{21}$:
$latex m_{21}=-1 \times 5 + 4 \times q$
$latex 3=-5 + 4q$
$latex 4q=8$
$latex q=2$
Ejercicios de multiplicación de matrices 2×2 para resolver
¿Cuál es el valor de $latex m_{22}$ si tenemos que M = A×B.
$$A=\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix}-2 & 0\\0 & 2\end{bmatrix}$$
Escribe la respuesta en la casilla.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
