La multiplicación de matrices de 3×3 es una operación que tiene muchas aplicaciones en la física, ingeniería y otros campos. Cada elemento de la matriz resultante es encontrado al multiplicar a cada fila de la primera matriz por las columnas correspondientes de la segunda matriz y sumar los productos.
En este artículo, conoceremos cómo resolver la multiplicación de matrices 3×3. Empezaremos con un proceso paso a paso para multiplicar dos matrices 3×3. Luego, resolveremos varios ejercicios para aplicar este proceso.
ÁLGEBRA
Relevante para…
Aprender sobre multiplicación de matrices 3×3 con ejercicios.
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¿Cómo multiplicar matrices 3×3?
Los elementos del producto de dos matrices 3×3 son encontrados al multiplicar a los elementos de cada fila de la primera matriz por los elementos correspondientes de cada columna de la segunda matriz.
Los siguientes pasos son una guía de cómo multiplicar matrices 3×3:
Paso 1: Escribimos a las matrices de la siguiente forma:
$$A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$$
$$B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix}$$
Paso 2: Empezando por la primera fila de la primera matriz, multiplica cada elemento por el elemento correspondiente de la primera columna de la segunda matriz y suma los productos.
Así obtendremos el primer elemento de la matriz producto.:
$$c_{11} = a_{11} \times b_{11} + a_{12} \times b_{21} + a_{13} \times b_{31}$$
Paso 3: Repite el paso 2 para los elementos restantes de la primera fila de la primera matriz y las columnas restantes de la segunda matriz. Así obtendremos la primera fila de la matriz producto:
$$c_{11} = a_{11} \times b_{11} + a_{12} \times b_{21} + a_{13} \times b_{31}$$
$$c_{12} =a_{11} \times b_{12} + a_{12} \times b_{22} + a_{13} \times b_{32}$$
$$ c_{13}=a_{11} \times b_{13} + a_{12} \times b_{23} + a_{13} \times b_{33}$$
Paso 4: Repite los pasos 2 y 3 para las filas restantes de la primera matriz, utilizando cada fila para producir una fila correspondiente en la matriz del producto.
La matriz resultante es el producto de las dos matrices 3×3.
$$\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{pmatrix}$$
Nota: Ten en cuenta que la multiplicación de matrices no es conmutativa, lo que significa que el orden de las matrices importa. Es decir, AxB no es necesariamente lo mismo que BxA.
Ejercicios resueltos de multiplicación de matrices 3×3
EJERCICIO 1
Encuentra el producto M que resulta de la multiplicación de las matrices A y B:
$$A=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 3 & 4 & 1 \\ 5 & 2 & 3 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 4 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$$
Solución
La matriz M es el resultado de la multiplicación A x B.
El término $latex m_{11}$ es encontrado al multiplicar a los elementos de la primera fila de la matriz A por los elementos de la primera columna de la matriz B. Entonces, tenemos:
$latex m_{11}=2 \times 1 + 1 \times 4+3 \times 3$
$latex m_{11}=2 + 4+9=15$
Para el término $latex m_{12}$, multiplicamos a los elementos de la primera fila de la matriz A por los elementos de la segunda columna de la matriz B:
$latex m_{12}=2 \times 2 + 1 \times 1+3 \times 2$
$latex m_{12}=4 + 1+6=11$
El término $latex m_{13}$ es encontrado al tomar la primera fila de la matriz A y la tercera columna de la matriz B:
$latex m_{13}=2 \times 0 + 1 \times 2+3 \times 1$
$latex m_{13}= 0 + 2+3=5$
El término $latex m_{21}$ es encontrado al tomar la segunda fila de la matriz A y la primera columna de la matriz B:
$latex m_{21}=3 \times 1 + 4 \times 4+1 \times 3$
$latex m_{21}=3 + 16+ 3=22$
Para el término $latex m_{22}$, multiplicamos a los elementos de la segunda fila de la matriz A por los elementos correspondientes de la segunda columna de la matriz B:
$latex m_{22}=3 \times 2 + 4 \times 1+1 \times 2$
$latex m_{22}=6 + 4+ 2=12$
Para el término $latex m_{23}$ tomamos la segunda fila de la matriz A y la tercera columna de la matriz B:
$latex m_{23}=3 \times 0 + 4 \times 2+1 \times 1$
$latex m_{21}=0 + 8+ 1=9$
Para el término $latex m_{31}$ tomamos la tercera fila de la matriz A y la primera columna de la matriz B:
$latex m_{31}=5 \times 1 + 2 \times 4+3 \times 3$
$latex m_{31}=5 + 8+ 9=22$
El término $latex m_{32}$ es encontrado con la tercera fila de la matriz A y la segunda columna de la matriz B:
$latex m_{32}=5 \times 2 + 2 \times 1+3 \times 2$
$latex m_{32}=10 + 2+ 6=18$
El término $latex m_{33}$ es encontrado con la tercera fila de la matriz A y la tercera columna de la matriz B:
$latex m_{33}=5 \times 0 + 2 \times 2+3 \times 1$
$latex m_{33}=0 + 4+ 3=7$
Entonces, tenemos:
$$M=\begin{bmatrix} 15 & 11 & 5 \\ 22 & 12 & 9 \\22 & 18 & 7 \end{bmatrix}$$
EJERCICIO 2
Encuentra el producto de la multiplicación B×A.
$$A=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 3 & 4 & 1 \\ 5 & 2 & 3 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 4 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$$
Solución
La multiplicación de las matrices, puede ser escrita en la siguiente forma para simplificar el proceso:
$$M=\begin{bmatrix} (1\times 2)+(2\times 3)+(0\times 5) & (1\times 1)+(2\times 4)+(0\times 2) & (1\times 3)+(2\times 1)+(0\times 3) \\ (4\times 2)+(1\times 3)+(2\times 5) & (4\times 1)+(1\times 4)+(2\times 2) & (4\times 3)+(1\times 1)+(2\times 3) \\ (3\times 2)+(2\times 3)+(1\times 5) & (3\times 1)+(2\times 4)+(1\times 2) & (3\times 3)+(2\times 1)+(1\times 3) \end{bmatrix}$$
$$M=\begin{bmatrix}8 & 9 & 5 \\21& 12 & 19 \\17 & 13 & 14\end{bmatrix}$$
Comparando los ejercicios 1 y 2, vemos que la multiplicación A×B no es igual a la multiplicación B×A. El orden es importante al multiplicar matrices.
EJERCICIO 3
Resuelve la multiplicación A×B usando las siguientes matrices:
$$A=\begin{bmatrix} -2 & 3 & 4 \\ 2 & -3 & 5 \\ 0 & 3 & -4 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 4 & 2 & -2 \\ 1 & 4 & 3 \\ 2 & 5 & 3 \end{bmatrix}$$
Solución
Encontramos a cada elemento de la matriz resultante realizando las operaciones requeridas:
$$M=\begin{bmatrix} (-2\times 4)+(3\times 1)+(4\times 2) & (-2\times 2)+(3\times 4)+(4\times 5) & (-2\times -2)+(3\times 3)+(4\times 3) \\ (2\times 4)+(-3\times 1)+(5\times 2) & (2\times 2)+(-3\times 4)+(5\times 5) & (2\times -2)+(-3\times 3)+(5\times 3) \\ (0\times 4)+(3\times 1)+(-4\times 2) & (0\times 2)+(3\times 4)+(-4\times 5) & (0\times -2)+(3\times 3)+(-4\times 3) \end{bmatrix}$$
Simplificando esto, tenemos:
$$M=\begin{bmatrix} 3 & 28 & 25 \\ 15 & 17 & 2 \\ -5 & -8 & -3 \end{bmatrix}$$
EJERCICIO 4
Encuentra la matriz M que es igual a A×B.
$$A=\begin{bmatrix} 3 & -2 & -1 \\ 3 & -3 & 2 \\ 2 & 1 & -5 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} -2 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{bmatrix}$$
Solución
Podemos encontrar cada elemento de la matriz M al multiplicar a los elementos de cada fila de la matriz A por los elementos correspondientes de cada columna de la matriz B:
$$M=\begin{bmatrix} (3\times -2)+(-2\times 3)+(-1\times 1) & (3\times 3)+(-2\times 2)+(-1\times 2) & (3\times 0)+(-2\times 1)+(-1\times -2) \\ (3\times -2)+(-3\times 3)+(2\times 1) & (3\times 3)+(-3\times 2)+(2\times 2) & (3\times 1)+(-3\times 2)+(2\times -2) \\ (2\times -2)+(1\times 3)+(-5\times 1) & (2\times 2)+(1\times 2)+(-5\times 2) & (2\times 0)+(1\times 1)+(-5\times -2) \end{bmatrix}$$
Ahora, simplificamos las operaciones y tenemos:
$$M=\begin{bmatrix} -13 & 3 & 0 \\ -13 & 7 & -7 \\ -6 & -2 & 11 \end{bmatrix}$$
EJERCICIO 5
Multiplica las siguientes matrices para encontrar el producto A×B:
$$A=\begin{bmatrix} 5 & -3 & -4 \\ 1 & -2 & -2 \\ 3 & -4 & -3 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 3 & -4 & 1 \\ 0 & -3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 \end{bmatrix}$$
Solución
Realizamos las siguientes operaciones para encontrar los elementos de la matriz resultante:
$$M=\begin{bmatrix} (5\times 3)+(-3\times 0)+(-4\times 3) & (5\times -4)+(-3\times -3)+(-4\times -2) & (5\times 1)+(-3\times 2)+(-4\times 5) \\ (1\times 3)+(-2\times 0)+(-2\times 3) & (1\times -4)+(-2\times -3)+(-2\times -2) & (1\times 1)+(-2\times 2)+(-2\times 5) \\ (3\times 3)+(-4\times 0)+(-3\times 3) & (3\times -4)+(-4\times -3)+(-3\times -2) & (3\times 1)+(-4\times 2)+(-3\times 5) \end{bmatrix}$$
Al simplificar, tenemos:
$$M=\begin{bmatrix} 3& -3 & -21 \\ -3 & 6 & -13 \\ 0 & 6 & -20 \end{bmatrix}$$
EJERCICIO 6
Encuentra el producto A×B:
$$A=\begin{bmatrix} 2 & 6 & 0 \\ 5 & -7 & -1 \\ 2 & -1 & -4 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 2 & 0 & -3 \\ 2 & -3 & 5 \\ 6 & -2 & 4 \end{bmatrix}$$
Solución
Encontramos los elementos de la matriz resultante de la siguiente forma:
$$M=\begin{bmatrix} (2\times 2)+(6\times 2)+(0\times 6) & (2\times 0)+(6\times -3)+(0\times -2) & (2\times -3)+(6\times 5)+(0\times 4) \\ (5\times 2)+(-7\times 2)+(-1\times 6) & (5\times 0)+(-7\times -3)+(-1\times -2) & (5\times -3)+(-7\times 5)+(-1\times 4) \\ (2\times 2)+(-1\times 2)+(-4\times 6) & (2\times 0)+(-1\times -3)+(-4\times -2) & (2\times -3)+(-1\times 5)+(-4\times 4) \end{bmatrix} $$
Cuando resolvemos esto, tenemos:
$$M=\begin{bmatrix} 16 & -18 & 24 \\ -10 & 23 & -54\\ -22 & 11 & -27 \end{bmatrix}$$
EJERCICIO 7
Encuentra el producto de la multiplicación A×B:
$$A=\begin{bmatrix} 2&5&-7\\-3&-5&6\\0&3&2 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 5&5&5\\6&-2&-3\\2&-3&-2 \end{bmatrix}$$
Solución
Los elementos de la matriz resultante son encontrados de la siguiente forma:
$$M=\begin{bmatrix} (2\times 5)+(5\times 6)+(-7\times 2) & (2\times 5)+(5\times -2)+(-7\times -3) & (2\times 5)+(5\times -3)+(-7\times -2) \\ (-3\times 5)+(-5\times 6)+(6\times 2) & (-3\times 5)+(-5\times -2)+(6\times -3) & (-3\times 5)+(-5\times -3)+(6\times -2) \\ (0\times 5)+(3\times 6)+(2\times2) & (0\times 5)+(3\times -2)+(2\times -3) & (0\times 5)+(3\times -3)+(2\times -2) \end{bmatrix}$$
Y la matriz producto es:
$$M=\begin{bmatrix} 26& 21& 9\\-33& -23& -12\\22& -12& -13 \end{bmatrix}$$
EJERCICIO 8
Resuelve la multiplicación A×B.
$$A=\begin{bmatrix} 4&2&-3\\5&-1&1\\6&7&3 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 4&-5&6\\3&-3&-3\\4&-4&-4 \end{bmatrix}$$
Solución
Para encontrar cada elemento de la matriz resultante, tenemos:
$$M=\begin{bmatrix} (4\times 4)+(2\times 3)+(-3\times 4) & (4\times -5)+(2\times -3)+(-3\times -4) & (4\times 6)+(2\times -3)+(-3\times -4) \\ (5\times 4)+(-1\times 3)+(1\times 4) & (5\times -5)+(-1\times -3)+(1\times -4) & (5\times 6)+(-1\times -3)+(1\times -4) \\ (6\times 4)+(7\times3)+(3\times 4) & (6\times -5)+(7\times -3)+(3\times -4) & (6\times 6)+(7\times -3)+(3\times -4) \end{bmatrix}$$
Y al simplificar:
$$M=\begin{bmatrix} 10 & -14 & 30\\21& -26& 29\\57& -63& 3 \end{bmatrix}$$
EJERCICIO 9
Encuentra el producto de multiplicar a A por B:
$$A=\begin{bmatrix} -5&4&-3\\3&-5&3\\4&2&-1 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 6&-3&4\\2&-1&2\\5&-3&-3 \end{bmatrix}$$
Solución
Tenemos lo siguiente:
$$M=\begin{bmatrix} (-5\times 6)+(4\times 2)+(-3\times 5) & (-5\times -3)+(4\times -1)+(-3\times -3) & (-5\times 4)+(4\times 2)+(-3\times -3) \\ (3\times 6)+(-5\times 2)+(3\times 5) & (3\times -3)+(-5\times -1)+(3\times -3) & (3\times 4)+(-5\times 2)+(3\times -3) \\ (4\times 6)+(2\times2)+(-1\times 5) & (4\times -3)+(2\times -1)+(-1\times -3) & (4\times 4)+(2\times -3)+(-1\times -3) \end{bmatrix}$$
Simplificando, tenemos:
$$M=\begin{bmatrix} -37& 20& -3\\23& -13& -7\\23& -11& 23 \end{bmatrix} $$
EJERCICIO 10
Encuentra el producto A x B de las siguientes matrices:
$$A=\begin{bmatrix} 6&3&-5\\2&5&3\\-3&4&-4 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 5&-6&7\\3&-4&4\\3&-2&-1 \end{bmatrix}$$
Solución
Tenemos lo siguiente:
$$M=\begin{bmatrix} (6\times 5)+(3\times 3)+(-5\times 3) & (6\times -6)+(3\times -4)+(-5\times -2) & (6\times 7)+(3\times 4)+(-5\times -1) \\ (2\times 5)+(5\times 3)+(3\times 3) & (2\times -6)+(5\times -4)+(3\times -2) & (2\times 7)+(5\times 4)+(3\times -1) \\ (-3\times 5)+(4\times 3)+(-4\times 3) & (-3\times -6)+(4\times -4)+(-4\times -2) & (-3\times 7)+(4\times 4)+(-4\times -1) \end{bmatrix}$$
Entonces, tenemos:
$$M=\begin{bmatrix} 24& -38& 59\\34& -38& 31\\-15& 10& -1 \end{bmatrix} $$
Ejercicios de multiplicación de matrices 3×3 para resolver
Encuentra el valor de $latex m_{22}$ si tenemos que M = A×B.
$$A=\begin{bmatrix}8&3&-6\\-7&5&3\\0&2&3\end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix}5&7&8\\3&-5&4\\2&-3&-2\end{bmatrix}$$
Escribe la respuesta en la casilla.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
